河南省南阳六校2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

河南省南阳六校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z=m+3+加i(mwR)为纯虚数，则z-(l+2i)=()

A.6+3iB.6—3i

C.—6+3iD.—6—3i

2.已知向量或B满足同=2,归=3,且23+^=5-2^,则Q.g=()

-1515

A.-2B.2C.-----D.—

88

3.若,由^|一“二一；，贝Ijcos(兀一2a)=

()

A一谨B.迪八77

C.-D.——

9999

4.若圆锥的侧面展开图是圆心角为年

,半径为2的扇形，则该圆锥的高为()

A.迪B.V202A/2D.旦

V/•------

333

5.已知在V/3C中，内角48,C所对的边分别为a,b,c,若a=2/=3,cosC=-,，贝ljsin4=

4

()

AV15N3A/6「屈口屈

8844

6.已知V/5C为锐角三角形，设函数/(x)=e=e，贝ij()

A.f(sirU)>f(cos5)>f(tarU)

B.f(tarU)>f(siib4)>f(cos^)

C./(tarU)>/(cos5)>/(sirU)

D./(sirU)>/(tarU)>f(cos5)

7.将函数/(x)=sin(0x+0)(0>O)的图象向左平移二个单位长度后，与函数

g(x)=cos(5+o)的图象重合，则。的最小值为()

32

A.6B.3C.-D.-

23

试卷第1页，共4页

8.已知在四棱锥尸-/BCD中，底面ABCD为矩形，PA=PB=BC=2AB=4,cosZPBD=—,

4

则四棱锥尸-/BCD的体积为（）

AoR88而16A/T1

A.oD.~C.

333

二、多选题

9.已知z,w为复数，则下列说法中正确的是（）

A.匕|=|可

B.z-w=z-w

C.若匕一可=匕+山贝”.■二（）

D.若z2+M=0，则z=w=O

10.已知加，凡/为空间中三条不同的直线，巴尸,7为空间中三个不同的平面，则下列说法中

正确的是（）

A.若加则冽与〃为异面直线

B.若ac£=也加_Ly,则a_L/,p_Ly

C.若ac/3=l,/3cy=m,yca=n,且/口加=尸，贝I」尸

D.若a〃/3,acy=m,/3cy=n,且/_Lm,贝！J/_L〃

11.在边长为3的正方形/BCD中，M,N分别是边45,4）上的动点（含端点），且MN=2,

则国.乙元的取值可以是（）

A.12B.11C.10D.9

三、填空题

12.在直角坐标系中，已知角c的终边过点P（l,-2）,角尸的终边与角C的终边关于V轴对

称，则cos尸=.

JT_

13.已知在边长为2的菱形/BCD中，=点E满足砺=3反，贝U

AC-AE=.

14.已知三棱锥尸-4BC的四个顶点都在半径为3的球0的球面上，。为棱3c的中点，P。1

平面ABC,PB=BC=2s/3,则VABC外接圆的半径为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.设1高是单位向量且夹角为若向量。尸=xq+ye2ayeR),则称有序数对[x,习为

向量而在基后，可下的坐标.已知在基｛A，可下，OA=[1,3],OB=[4,?],OC=[5,4].

(1)若a_L无，求，的值；

⑵若”2,且四边形/3C。为平行四边形，求向量历在基付£｝下的坐标.

16.已知ae(K),sin((z+—)=

4245

(1)求sina的值；

⑵求tan(2a+：)的值.

17.已知函数/'(x)=/sin((yx+9)(/>O,0>O,OV"VTI)的部分图象如图所示.

⑴求“X)的解析式；

(2)若在区间[-y,当]上存在实数x1,x2,x3(x1<x2<x3),使得/(再)=/(x,)=/伍)=,求

612

实数加的取值范围以及玉+2尤2+退的值.

18.如图，在三棱锥/-BCD中，/ABC=NABD,BC=BD=AB=4,E,F分别为棱BD,4D

的中点，且CELEF.

(1)证明：48_L平面BCO；

(2)若二面角A-EF-C的余弦值为"，求点C到平面N8D的距离.

试卷第3页，共4页

19.已知在V48c中，■，点。满足数=几函.

(1)若4=；,/C=2,Z8=A/7,求ND；

(2)若彳＞0,1.ADAC=2ABAC,求2的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCAABBCABBCD

题号11

答案ABC

1.B

【分析】利用纯虚数的定义求出z,再利用复数的乘法计算得解.

【详解】由z为纯虚数，得加+3=0且加。0,解得加=-3,即z=-3i,

所以z(l+2i)=-3i«(l+2i)=6-3i.

故选：B

2.D

【分析】由恢+可=1-2可，两边平方即可得解.

【详解】由四+同=|”23,

两边平方可得4/+4%.平片=/一4%.5+4片,

整理得。力二上.

8

故选：D

3.C

【分析】根据条件，利用诱导公式和二倍角公式，即可求出结果.

【详解】由sin(]-[=-；,得cosc=-g,

7

贝Ucos(兀-2c)=-cos2a=l-2cos2tz=—,

故选：C.

4.A

【分析】由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即圆锥底面圆的周长建立方程，求得底面圆半径,

再由圆锥轴截面即可求出高.

兀

【详解】设圆锥底面圆的半径为「，依题意得2仃=亍27r、2=4£,解得，•=2：,

而圆锥的母线长/=2,因此圆锥的高4=J/一户=迪

3

故选：A.

5.A

答案第1页，共11页

【分析】首先由余弦定理求C,再根据正弦定理求Sin4.

【详解】由余弦定理得一2%osC=16,所以c=4.

/ry°Vr5

由题可得sin。二空，由正弦定理得./tzsinCV15.

4S1IL4=-----=-----=一=---

c48

故选：A

6.B

TTTT

【分析】由三角形的性质可得彳>/>彳-8>0,由三角函数的性质可得tarM>sirU,结合

22

f(x)的单调性即可求解.

7TTTTT

【详解】因为V4BC为锐角三角形，所以4+5>彳，所以7〉/〉彳-3〉0,

222

又函数y=siwc在区间上单调递增，所以siM>sin11—“=cos8,

因为所以taivl>siivl.

因为函数/(x)=e*-eT在R上单调递增，

所以/(taiU)>/(siM)>/(cosB).

故选：B

7.B

【分析】根据题意，函数y=sin(0x+e+詈1的图象与g(x)=cos(0x+0)的图象重合，可

得詈4+2析(旌Z),从而得解.

【详解】将/(x)=sin(0x+°)的图象向左平移刍个单位长度，

6

得/口至小Uy=si.n」co(\x+-兀y、-(p1=si.nl(6xr+^?+兀前1,

其图象与g(尤)=COS(0X+e)的图象重合，

则詈=^+2析(左ez),所以0=3+12左优eZ),

又。>0,所以。的最小值为3.

故选：B

8.C

【分析】连接交于点。，先证明底面/BCD,再利用锥体体积公式求解即可.

答案第2页，共11页

【详解】如图:

连接交于点O,连接尸0,由底面/8CA为矩形，知。为/C,AD的中点.

又BC=24B=4,可得/C=BD=2#,贝U8O=/O=右，

又PA=PB,所以AP4O三APBO,所以"BO=NP4O,

在△尸BZ)中，由余弦定理得尸0=++(2后一2x4x26x亨=4，

同理可得PC=4,所以R4=PC=PB=PD.

所以尸O_L/C,PO±BD,/C,ADu平面/BCD

所以尸。，平面48CZ),所以PO7PB2-B0°=旧，

所以四棱锥尸一/BCD的体积K=,x4gx3CxPO=®".

33

故选：C

9.AB

【分析】设出复数工卬的代数形式，利用复数运算计算判断AB；举例说明判断CD.

【详解】设z=〃+Z)i,w=c+di,其中a,6,c,dwR,

对于A,|z|=J/+/,团=击2+(一份27a1+b2,A正确；

对于B,z・w=(〃+6i)(c+di)=(ac-6d)+(ad+bc)i,

贝！Jz.w=(〃c—6d)_(ad+姐i,妄加=(〃_万)(c—d)=(ac-b^[ad+琢:,B正确;

对于C,令z=l,w=i,则|z-w|=|l-i|=V5,|z+"=|l+j=◎,

满足|z—M=|z+M，但z.w=iwO,C错误；

对于D,令z=l,w=i,满足z2+M=0，但z=w=0不成立，D错误.

故选：AB.

10.BCD

【分析】A选项，根据线面位置关系可得线线位置关系；B选项，线面垂直得到面面垂直;

答案第3页，共11页

C选项，根据点，直线和平面的关系得到P为平面C〃的公共点，从而得到结论；D选项,

由面面平行得到线线平行，又Um,所以

【详解】对于A,由，"ua,R<za,得加与〃可能相交、平行，也可能异面，故A错误；

对于B,由々|"|尸=%，得mua,mu?,又加_Ly,所以a_L7，£_L7,故B正确；

对于C,由ac/3=l,0cy=m,lcm=P,知点尸在平面生夕,7内，

即为平面的公共点，而71a=〃，因此Pe〃，故C正确；

对于D,因为a〃川,ac7=：〃，6c7=〃，所以〃？〃“，又/_!.加，所以/_L〃，故D正确.

故选：BCD

11.ABC

【分析】通过建系，设出点M（x,O）,N（O/）,通过计算得西7.国=-3（x+y）+18,结合

/+必=4,利用基本不等式和三角形三边关系定理即可求得西.国的范围即可判断

【详解】

如图，以A为坐标原点，射线/民/。的方向分别为x轴J轴的正方向，建立平面直角坐标

系.

则C（3,3）.设M（x,O）,N（O,y）,其中xe[0,2],y平,2],因AW=2,则x'+/=4,

贝!]屈=（工_3,_3）,函=（-3,y_3）,CM-CN=-3x+9-3y+9=-\x+））+18.

因为x2+y2=a+y）2_2xyN（x+y）2_^^=，

故得（x+»48,解得X+”2A/I,当且仅当x=y=VI时，等号成立.

Xx+y=AM+AN>MN=2,当且仅当点M或点N与点A重合时等号成立，

故得18-6亚4-3（x+>）+18412,即乙/国e口8-6后,12],又18-60a9.5，

所以10/1,12都满足其范围，9不满足其范围，故ABC正确，D错误.

故选：ABC.

答案第4页，共11页

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为代数运算，从而结

合基本不等式即可得解.

【分析】由三角函数的定义及诱导公式求解即可.

【详解】由题意知cosa二好，因为角，的终边与角。的终边关于〉轴对称，

5

得,=兀_。+2历左eZ),所以cos'=cos(7i-a+2E)=-coscr=

故答案为：—好

5

21

3T

【分析】根据相似比可得/尸=(/C,即可利用数量积的几何意义求解.

8

【详解】如图，设/C与80交于点。，过点E作AD的平行线交/C于点尸.因为丽=3就,

—1―•1——7—

所以尸C=-0C=—/C,所以/尸=一/。，

488

JT

因为四边形/8C。是边长为2的菱形，ZDAB,

所以/C=2百，且跖，NC,所以衣在刀上的投影向量为春，

—►—►—►—►7—►221

所以==—/C=—.

82

【分析】利用三棱锥和球的几何关系，构造图形，根据几何关系，即可求解.

【详解】因为P。工平面/3C,所以PQLBC,由三线合一可知，PB=PC,

因为PB=BC=2用,所以△尸3c为等边三角形，i^LBQ=CQ=V3,PQ=3,

且球心O在平面PBC上的射影为的中心，设为则M在线段尸。上,

PM=2,QM=1,如图，

答案第5页，共11页

过点。作ON，平面于点N,连接BN,OB,

则N为V/3C的外心，O3=3,ON与M0平行，且。N=M0=1,由勾股定理得

BN=\IOB2-ON2=2V2»所以V48C外接圆的半径为2vL

故答案为：2后

20

15.（l）^-y

(2)[2,5].

【分析】（1）根据向量坐标新定义表示出相关向量，计算出基向量的数量积，利用题设条件

建立方程，解之即得；

（2）设历在基底下的坐标，利用觉=历-历求出次，同法求出方，由题设得五§=皮,

即可求出.

—>—*7T]

【详解】（1）由题意知64=lxlxcoS1=

因为OA=[1,3],05=[41],所以04=,+3e2,OB=4,+te2.

因为厉_L砺，所以方.砺=0，

即（q+3g）,（4,+/。2）=4+3，+（12+%）6,4=4+3/+6+5=10+-0,

解得”_亨20.

（2）由题意知。/=,+302,05=42i+2?2,所以=05—04=3,—%.

设而在基｛。9｝下的坐标为卜,则。C=OC-QD=（5-机）6+（4-〃）02,

因为四边形/3C。为平行四边形，所以方=反，所以5-机=3,4-〃=-1,

解得%=2,〃=5,即历在基,勺｝下的坐标为[2,5].

踪小3而

16.（1）---；

10

答案第6页，共11页

1

⑵7

【分析】(1)利用平方关系及差角的正弦公式计算即得.

(2)由(1)的信息求出tan(a+：),再利用二倍角的正切及差角的正切公式计算即得.

【详解】(1)由aw。,多，得a+手)，由sin(a+«)=："，得cos(a+&)=,

42424'4545

所以sina=sin[(a+-)--]=sin®+—)cos--cos®+—)sin—

444444

2斯后6逝3而

=-----x-----1-----x----=-------.

525210

sin(cr+—)2tan(＜7+—

(2)由(1)得tan(a+/)=----------^-=-2,则tan2(a+4

4cos*)4l-tan2(a+r

tan2(a+—)-tan—4-1,

所以tan(2a+a=tan[2(a+＞?=4431

兀l4~7

l+tan2(a++

43

JT

17.(1)/(x)=2sin(2x+―)；

⑵[。川，x+XX

x22+3=5

【分析】(1)根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.

JT11JT

(2)分析函数/(x)在皆］的性质，并作出图象，结合图象及对称性求出机的范围、

612

西+2超+%3的值.

兀兀兀

【详解】(1)观察图象知N=2,函数/(x)的周期T=?4313一攵=兀，则。=干2=2,

13兀13兀7i5兀

由/(^-)=2,得2x-^-+e=万+2左兀,左GZ,BP(p=--+2kn,keZ,

JT

而0＜夕＜兀，贝ij斤=i,0=§,

jr

所以/(x)的解析式是“X)=2sin(2x+.

⑵当xe院,图时，2'+乂0,修，由0.+?哈得-台x雄,

,兀兀，3兀/口兀/,7兀,3兀,八71,13兀/口7兀，，11兀

由一V2x+一＜—,得一—,由一＜2x+-＜——,得一＜%＜—,

23212122361212

答案第7页，共11页

则函数/（X）在与上递增，函数值从0增大到2；在/,=］上递减，函数值从2减小

6121212

到一2,

在［二,坐］上递增，函数值从-2增大到1,作出函数＞=/（x）在［-3,当］的图象，如图，

观察图象知，当0W加＜1时，直线了=切与函数＞=/（x）在［-3当］的图象有3个交点，

612

因此〃制=加在区间［-3当］上有三个不同的根时，则加的取值范围是［0,1］，

612

令2x+g=hr+和eZ）,得的图象的对称轴方程为x=1+展（丘Z）,

jr77r

于是匹用关于直线X=已对称，马,£关于直线X=力对称，

以X］+2%2+/=（/+%）+（%2+13）=2x+2x］2—3•

18.（1）证明见解析

(2)715.

【分析】（1）取CO中点M,连接AM,BM,证明CD，平面ABM得CD1AB,再证CE1AB,

即得N8_L平面2cD；

（2）由（1）结论易得N3EC为二面角/-族-C平面角，在ABCE中，由余弦定理求得

CE=2遍,说明点C到直线孔）距离即所求距离，利用sin/2EC=Y^即可求得.

4

【详解】（1）

答案第8页，共11页

A

F

如图，设。的中点为M,连接4W,A彼.

因为8c=8£>,"为C。的中点，所以期LCD.

在VABC和△ABD中，/ABC=NABD,BC=BD,AB为公共边,

所以V/3C=V/助，所以/C=/D.

又因为M为CD的中点，所以/MLCD.

又因为u平面/BAf,所以CD_L平面A8A1,

又因为48u平面NBA/,所以CD_L/B-

因为瓦尸分别为5。,/。的中点，所以EF//4B,

因为CE_LEF,所以CE14B,

因为CDcCE=C,CD,CEu平面BCD,所以_L平面BCD.

(2)由(1)知，EFIIAB,ABV^\^BCD,所以EF_L平面8CA,

因3E,CEu平面BCD,故EF工BE,EFLCE,

所以/BEC为二面角A-EF-C的平面角，cos/BEC=—.

4

易知平面_L平面BCD,故点C到平面ABD的距离即点C到直线的距离.

在ABCE中，由余弦定理可得cos/BEC=BE°+0、-BC”=显(*),

2BEY.CE4

设CE=x,将2E=2,8C=4代入(*)整理得一一如-12=0,即

(X+V6)(X-2A/6)=0,解得CE=x=2«(负值舍去).

由cosZBEC="可得sinZBEC=如，

44

所以点C到直线BD的距离为CEsinNBEC=2A/6X—=屈,

4

故点C到平面ABD的距离为V15.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的证明和二面角、点到平面的距离求法等内容,

属于较难题.

解题关键在于求二面角时，一般考虑寻找一个平面内的一点在另一个平面上的垂线，再利用