2022-2023学年高一物理举一反三系列（人教版必修第二册）专题7.6 双星、三星问题（解析版）

专题7.6双星、三星问题【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1双星中的对比问题】 【题型2双星中的定量运算问题】 【题型3三星问题】 【题型4四星、综合问题】 【题型5联系实际问题】 【题型1双星中的对比问题】【例1】如图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d.下列说法正确的是()A．A星的轨道半径为eq\f(m1,m1＋m2)dB．A星和B星的线速度之比为m1∶m2C．若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零D．若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝eq\f(m23,m1＋m22)答案D解析双星系统中，两颗星球属于同轴转动模型，角速度相等，周期相等，根据万有引力提供向心力可得eq\f(Gm1m2,d2)＝m1ω2rA＝m2ω2rB，又有d＝rA＋rB，解得rA＝eq\f(m2d,m1＋m2)，rB＝eq\f(m1d,m1＋m2)，故A错误；由v＝ωr得A星和B星线速度之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(rA,rB)＝eq\f(m2,m1)，故B错误；在O点放一个质点，设质量为m，受到B的万有引力FB＝eq\f(Gm2m,rB2)，受到A的万有引力FA＝eq\f(Gm1m,rA2)，因为eq\f(m1,m2)≠eq\f(rA2,rB2)，可得FA≠FB，故质点受到的合力不为零，故C错误；A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，由万有引力定律可得eq\f(Gm1m2,d2)＝eq\f(Gm1m′,rA2)，解得m′＝eq\f(rA2,d2)m2＝eq\f(m23,m1＋m22)，故D正确．【变式1-1】(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是()A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等[解析]由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v＝ωr知，线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，有eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r1，eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r2，联立可得eq\f(T2,4π2)＝eq\f(r1＋r23,Gm1＋m2)，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律a＝eq\f(F,m)可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D错误。[答案]BC【变式1-2】(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则()A．b星的周期为eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的线速度大小为eq\f(πl－Δr,T)C．a、b两星的轨道半径之比为eq\f(l,l－Δr)D．a、b两星的质量之比为eq\f(l－Δr,l＋Δr)解析：选BD两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，A错误。a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq\f(l＋Δr,2)、rb＝eq\f(l－Δr,2)。a、b两星的轨道半径之比eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，b星的线速度大小vb＝eq\f(2πrb,T)＝eq\f(πl－Δr,T)，B正确，C错误。两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则Geq\f(mamb,l2)＝maraeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，所以a、b两星的质量之比eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，D正确。【变式1-3】引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则()A．两星的运动周期均逐渐减小B．两星的运动角速度均逐渐减小C．两星的向心加速度均逐渐减小D．两星的运动线速度均逐渐减小解析：选A双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力。根据Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离减小，则双星的轨道半径都变小，根据万有引力提供向心力，知角速度变大，周期变小，故A正确，B错误；根据Geq\f(m1m2,L2)＝m1a1＝m2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根据Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(v12,r1)，解得v1＝eq\r(\f(Gm2r1,L2))，由于L平方的减小比r1的减小量大，则线速度增大，故D错误。【题型2双星中的定量运算问题】【例2】(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积 B．质量之和C．速率之和 D．各自的自转角速度答案BC解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得eq\f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq\f(ω2l3,G)，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求解．故选B、C.【变式2-1】(多选)如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星P、Q组成，P、Q质量分别为M、m(M>m)，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球上A点看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L。观测发现质量较大的恒星P做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则()A．恒星Q的角速度为eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的轨道半径为eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的线速度为eq\f(πML·Δθ,mT)D．两颗恒星的质量m和M满足的关系式为eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)解析：选BCD恒星P与Q具有相同的角速度，则角速度ω＝eq\f(2π,T)，A错误；恒星P的轨道半径R＝Ltaneq\f(Δθ,2)＝eq\f(1,2)L·Δθ，对双星系统，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的轨道半径为r＝eq\f(ML·Δθ,2m)，B正确；恒星Q的线速度大小v1＝ωr＝eq\f(2π,T)·eq\f(ML·Δθ,2m)＝eq\f(πML·Δθ,mT)，C正确；对双星系统，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋r2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，联立可得eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)，D正确。【变式2-2】银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为()A.eq\f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq\f(4πr13,GT2)C.eq\f(4π2r3,GT2) D.eq\f(4π2r2r1,GT2)答案D解析取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：Geq\f(m1m2,r2)＝m1(eq\f(2π,T))2r1，得：m2＝eq\f(4π2r2r1,GT2)，故D正确．【变式2-3】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T答案B解析设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r，双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r，对质量为M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)，得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，选项B正确．【题型3三星问题】【例3】(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A．每颗星做圆周运动的线速度大小为eq\r(\f(Gm,R))B．每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(3Gm,R3))C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案ABC解析每颗星受到的合力为F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq\f(\r(3),3)R，由向心力公式得F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确，D错误．【变式3-1】宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是()A．每颗星做圆周运动的线速度为eq\r(\f(3Gm,L3))B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的2倍[解析]任意两颗星之间的万有引力F＝Geq\f(m2,L2)，每一颗星受到的合力为F1＝eq\r(3)F，由几何关系知：它们的轨道半径为r＝eq\f(\r(3),3)L，合力提供它们的向心力eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(v2,r)，联立解得v＝eq\r(\f(Gm,L))，故A错误；根据eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝ma，得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，故加速度与它们的质量有关，故B错误；根据eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(4π2r,T2)，解得T＝eq\f(2,3)πeq\r(\f(3L3,Gm))，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；根据v＝eq\r(\f(Gm,L))，可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度不变，故D错误。[答案]C【变式3-2】宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体()A．线速度大小关系是vA>vB>vCB．加速度大小关系是aA>aB>aCC．质量大小关系是mA>mB>mCD．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC答案C解析三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B错误；设等边三角形ABC的边长为L，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，以C为研究对象，有Geq\f(mAmC,L2)>eq\f(GmBmC,L2)，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；由于mA>mB>mC，结合万有引力定律，可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力，又知A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D错误．【变式3-3】由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T.答案(1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))解析(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA方向如图所示则合力大小为FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)方向如图由余弦定理得合力FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FAB·FCB·cos120°)＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点则RC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝m(eq\f(2π,T))2RC，可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))【题型4四星、综合问题】【例4】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是()A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为eq\f(a,2)C．四颗星表面的重力加速度均为eq\f(Gm,R2)D．四颗星的周期均为2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))[解析]四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq\f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确。[答案]B【变式4-1】(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是()A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变答案BD解析四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,\r(2)L2)＝(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝mω2·eq\f(\r(2),2)L，可知ω＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq\f(1,2)，故C错误；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．【变式4-2】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是()A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为eq\f(a,2)C．四颗星表面的重力加速度均为eq\f(Gm,R2)D．四颗星的周期均为2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))答案ACD解析其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为eq\f(\r(2),2)a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正确．【变式4-3】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则()A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系统的线速度大小为eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))答案BC解析直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,2R2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，又由题知两种系统的运动周期相同，即T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，联立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2cos30°))),T)＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，选项D错误．【题型5联系实际问题】【例5】经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)计算出该双星系统的运动周期T；(2)若该实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T＝1∶eq\r(N)(N>1)．为了理解T观测与T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．答案(1)πLeq\r(\f(2L,GM))(2)eq\f(3N－1M,2πL3)解析(1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则Geq\f(M2,L2)＝Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2·eq\f(L,2)，解得T＝πLeq\r(\f(2L,GM)).(2)N>1，根据观测结果，星体的运动周期为T观测＝eq\f(1,\r(N))T<T，这是由于双星系统内(类似一个球体)均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在双星系统内的暗物质对双星系统的作用与一个质点(质点的质量等于球内暗物质的总质量M′且位于中点O处)的作用等效，考虑暗物质作用后双星系统的运动周期，即Geq\f(M2,L2)＋Geq\f(MM′,\f(L,2)2)＝Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T观测)))2·eq\f(L,2)，代入T＝πLeq\r(\f(2L,GM))并整理得M′＝eq\f(N－1,4)M.故所求的暗物质密度为ρ＝eq\f(M′,\f(4,3)π\f(L,2)3)＝eq\f(3N－1M,2πL3).【变式5-1】2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图2所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的．假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()A．它们做圆周运动的万有引力保持不变B．它们做圆周运动的角速度不断变大C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小答案C解析对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝Geq\f(M1M2,L2)，距离L不变，M1与M2的和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律有：Geq\f(M1M2,L2)＝M1ω2r1，Geq\f(M1M2,L2)＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝eq\f(ω2L3,G)，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质