2025届西藏自治区某中学高三第二学期期末考试数学试题（含解析）

2025届西藏自治区林芝一中第二学期高三期末考试数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

Ax—1%>0

1.己知函数/(x)=1'c若函数/(X)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数左的取值范围是()

—In(—xI,%<U,

A.(—8,0)B.(0,1)C.(0,+oo)D.

2.AABC中，BC=2非，。为8C的中点，ZBAD=~,AD=1,则AC=()

4

A.275B.2&C.6-拓D.2

3.某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A(L0)作x轴的垂线与曲线

y=e”相交于点3,过3作V轴的垂线与V轴相交于点C(如图)，然后向矩形。43c内投入M粒豆子，并统计出

这些豆子在曲线丁="上方的有N粒(N<M),则无理数e的估计值是()

4.已知双曲线一=Z,>,Z>0),其右焦点F的坐标为〔二：，点二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二为

坐标原点，满足二二=二，线段二二交双曲线于点二.若二为二二的中点，则双曲线的离心率为（）

A.\B.2C.-D.

5.如图，四边形A5CD为正方形，延长CD至石，使得DE=CD,点尸在线段CD上运动.设=

则1+y的取值范围是（）

A.[L2]B.[1,3]C.[2,3]D.[2,4]

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-2）,N（l,0）,若动点M满足鬻=◎,则OAf.ON的取值范围是

6.

()

A.[0,2]B.[。,2@

C.[-2,2]D.[-20,20]

7T

7.若函数y=2sin(2x+e)的图象过点(：/)，则它的一条对称轴方程可能是()

6

n7in57r

A.x——B.x——C.x——D.x——

631212

8.如图，ABC中NA=2/5=60。，点。在5C上，ZBAD=30°9将△Afi。沿4。旋转得到三棱锥夕―ADC,

分别记与平面ADC所成角为。,则。，4的大小关系是（）

A.a<(3<2aB.2a</3<3a

C.f3<2a,2a〈尸<3a两种情况都存在D.存在某一位置使得3。

9.已知函数〃%)=依+1+|2九2+依一”(aeR)的最小值为0,则〃=()

111

A.—B.—1C.+1D.±—

22

10.已知数列｛4｝的首项％=。(。70),且4+1=总〃+乙其中左，t&R,neN*，下列叙述正确的是()

A.若｛4｝是等差数列，则一定有左=1B.若｛凡｝是等比数列，则一定有/=0

C.若｛4｝不是等差数列，则一定有k*lD.若｛4｝不是等比数列，则一定有

11.两圆(x+a)+丁=4和尤2+仔_与2=］相外切，且就00,则的最大值为()

a~+b~

91

A.-B.9C.-D.1

43

12.已知函数/(x)=x+ej,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e为自然对数的底数，若存在实数使

/(%)—g(%)=3成立，则实数。的值为()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

冗

13.已知AABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c.。=4,b=R,A=—则cos23=.

3

14.(2x-l)6的展开式中必的系数为(用具体数据作答).

15.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为AB,C三组，其人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方

法从总体中抽取一个容量为20的样本，若。组中甲、乙二人均被抽到的概率是g,则该部门员工总人数为.

16.已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3j5cm,则这个正四棱柱的体积是—cm3.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知a>0,b>0,且a+6=l.

12

(1)求一+7的最小值；

ab

ab+2by/5

(2)证明:-o---------n<

a-+b~+l2

18.(12分)已知函数吧，g(x)=x-cos九一sinx.

(I)判断函数g(x)在区间(0,3»)上零点的个数，并证明;

(II)函数/(可在区间(0,3%)上的极值点从小到大分别为药，4,证明：/(^)+/(x2)<0

19.(12分)已知函数/(x)=|x—2|,g(x)=a\x\-l.

(1)若不等式g(x—3)2—3的解集为[2,4],求。的值.

(2)若当xeR时，f(x)>g(x),求。的取值范围.

20.(12分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

%=2+2cos。

(6•为参数)，直线/经过点M(-L-3石)且倾斜角为a.

y=2sinO

(1)求曲线。的极坐标方程和直线/的参数方程;

(2)已知直线/与曲线。交于AB,满足A为MB的中点，求tane.

%—cose%，—2%

21.(12分)在平面直角坐标系九0y中，将曲线一.八(。为参数)通过伸缩变换，，得到曲线。2,

[y=sin”

x=2+%cosa

设直线/：厂a为参数)与曲线。2相交于不同两点A，B.

y=73+%sina

7T

(1)若a=§,求线段AB的中点M的坐标；

(2)设点P(2,6),若忸从忸用=|°邛，求直线/的斜率.

22.(10分)a,b,c分别为ABC的内角AB,C的对边.已知a(sinA+4sinB)=8sinA.

7T

(1)若b=l,A=—,求sin5；

6

JT

(2)已知C=—,当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.

3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

考虑当x>0时，立—l=lnx有两个不同的实数解，令〃(x)=lnx—丘+1,则可力有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数上的取值范围.

【详解】

因为/(%)的图象上关于原点对称的点有2对，

所以x>0时，Ax-l=lnx有两个不同的实数解.

令/z(x)=lnx—Ax+l,则力⑴在(0,+。)有两个不同的零点.

又h(x)=----,

x

当左<0时，〃(x)>0,故〃(九)在(0,+8)上为增函数，

网外在(o,+“)上至多一个零点，舍.

当上>0时，

若则〃(x)〉0,在上为增函数；

,则〃(%)<0,网力在［,+<»

若上为减函数;

故〃(“鹏

因为/z(九)有两个不同的零点，所以ln、>0,解得0〈左<1.

K

又当〈左时，!〈工且无0,故秋光)在H

0<1<上存在一个零点.

ek

ee|

又无=In-----+1=2+2In%—々，其中/二—〉1.

kkk

令8(/)=2+21117-々，则g«)=2：,

当/〉1时，g'(/)<0,故g⑺为。,+°°)减函数,

所以gW<g(l)=2—e<0即丸<0.

因为我＞所以3）在1

,+co上也存在一个零点.

综上，当。＜左＜1时，可可有两个不同的零点.

故选：B.

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

2.D

【解析】

在AABD中，由正弦定理得sinB=巫；进而得cosNADC=cos［三+/=^,在AA0C中，由余弦定理可得

10UJ5

AC.

【详解】

ADBDJ—\l

在AABD中，由正弦定理得sin3一.万，得sinB=M9,又BD＞AD，所以3为锐角，所以cos5=%9，

smJ1010

cosZADC=cosf—+81=,

UJ5

在AADC中，由余弦定理可得AC?=人。2+。。2—2AD・£）CCOSNADC=4，

AC=2.

故选：D

本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

3.D

【解析】

利用定积分计算出矩形Q43C中位于曲线y=e”上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e的等式，

解出e的表达式即可.

【详解】

在函数y=e*的解析式中，令x=l,可得y=e,则点6（l,e）,直线的方程为丁=6,

矩形Q43c中位于曲线y=e*上方区域的面积为S=J(e-e*)公=(勿一6。|=1,

0

矩形Q钻。的面积为lxe=e,

N1M

由几何概型的概率公式得一=一，所以，e=——.

MeN

故选：D.

本题考查利用随机模拟的思想估算e的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的

面积，考查计算能力，属于中等题.

4.C

【解析】

计算得到：二”!，.二三〕，代入双曲线化简得到答案.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为二==二，二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二二|=三,

故Zl([l嚼，口(口.的，故口(口》明，代入双曲线化简得到：等=，，故口=耳.

故选:二

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

5.C

【解析】

以A为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1,

则3(1,0),£(-1,1),设POJXOVIWI),则0,i)=MLO)+y(-M),所以1=%—y,且y=i,

故x+y=f+2e[2,3].

故选：c.

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，

是一道基础题.

6.D

【解析】

设出M的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点"的轨迹方程f+(y-2)2=8,

写出点Af的参数方程，贝1」。0.皿=2血1：05。，根据余弦函数自身的范围，可求得OA/ON结果.

【详解】

设,则

喘=乱2

.•.&：+七+2)2=0

M+丁

：.x2+(y+2)2=2(x2+y2)

：.d+(y-2『=8为点"的轨迹方程

x=2A/2COS0

点"的参数方程为｛「(。为参数)

y=2+2,2sin。

则由向量的坐标表达式有：

OMON=141cose

XVCOS6^G[-1,1]

/.OMON=272cos0e[-272,272]

故选：D

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

7.B

【解析】

把已知点坐标代入求出9,然后验证各选项.

【详解】

由题意2sin(—1~(p)—1,sin(—I-(p)——,(p—2左〃---或。=2k7i-\—,kGZ,

33262

不妨取°=一：或。=一，

62

TTTT

若°=5，则函数为丁=sin(2x+5)=cos2x,四个选项都不合题意，

TTTTTTTTTCTC

若夕=——，则函数为y=2sin(2x——),只有x=一时，sin(2x-----)=1,即》=一是对称轴.

663363

故选：B.

本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键.

8.A

【解析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得£、/角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得

答案.

【详解】

由题可得过点3作BELAD交于点E，过B'作CD的垂线，垂足为。，则易得。=N8AO,13=AB'DO.

设CD=1,则有ftD=AD=2，DE=1,BE=5

••可得WAB=2百，BD=BD=2.

sinc=空,sin/7="，

ABfDBr

/.sinp=y/3sina>sina,/3>cc-

OBre[0,43]，sinew

sin2a=2sinacosa=—sin1a,

2^1-sin1aG[A/3,2],•*-sin2a..指sina=sin4,

/.2a..4.

综上可得，a<B，,2a.

故选：A.

本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平.

9.C

【解析】

。2(:x\-+篙h(x二]=ax八+以\-厂计算可得/小、)血2g(，x),g(x)>h(x)，再结合图像即可求出答案.

设2Tw

【详解】

g(x)+/2(x)=ta+lg(x)=x2+ax

设

g(%)-/?(%)=2x2+ax-l'/z(x)=l-x2

2g(x),g(x)Z/z(x)

则/(X)=g(X)+丸(X)+1g(X)-"(x)|=,

2/z(x),g(x)<'

由于函数/(%)的最小值为0,作出函数g(x)/(x)的大致图像,

所以〃=±1.

故选：C

本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.

10.C

【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当左=Oj=a时，a.=a,显然符合｛4｝是等差数列，但是此时左=1不成立，故本说法不正确；

B：当左=Oj=a时，%+i=a,显然符合｛4｝是等比数列，但是此时/=0不成立，故本说法不正确；

C：当左=1时，因此有a,.-。“=也+-%,=/=常数，因此｛4｝是等差数列，因此当｛叫不是等差数列时，一定

有左/1,故本说法正确；

D：当/时，若左=0时，显然数列｛为｝是等比数列，故本说法不正确.

故选：C

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

11.A

【解析】

由两圆相外切，得出储+〃=9,结合二次函数的性质，即可得出答案.

【详解】

2

因为两圆(x+aj+y2=4和x?+(y-Z?)=1相外切

所以行两=3,即储+廿=9

(9丫81

a2b②片(9一叫一12(J+4

a~+b2~9-9

,9crb1QI19

当。2=一时,取最大值一X—

2a2+b"494

故选：A

本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.

12.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+ex"a-1n(x+1)+4ea'x,

.1x+1

令y=x-In(x+1),y-1----------=--------,

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是减函数，(-1,+co)上是增函数,

故当x=T时，y有最小值-1-0=-1,

而ex=+4ea-噎4,(当且仅当ex-=4ea-x,即x=a+lnl时，等号成立)；

故f(x)-g(x)>3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；

故x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7

13.—

16

【解析】

利用正弦定理求得角8,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【详解】

4_V6

由正弦定理得耳=嬴万，

~2

.•.sin3=述，cos2B=l-2x^=^.

86416

7

故答案为：—.

16

本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.

14.60

【解析】

利用二项展开式的通项公式可求炉的系数.

【详解】

6

(2x-l)的展开式的通项公式为Tr+l=C；(2x)6-,

令6—r=2,故r=4,故6的系数为(-1)4。；x2?=60.

故答案为：60.

本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.

15.60

【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得c组中的人数；由c组中甲、乙二人均被抽到的概率是J

可求得C组的总人数,

即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

AB,C三组人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,

则AB,C三组抽取人数分别10,6,4.

C2121

设。组有〃人，则。组中甲、乙二人均被抽到的概率追=-7―八=77，

G/T)11

***解得〃=12.

12

该部门员工总共有万X(5+3+2)=60人.

故答案为：60.

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

16.54

【解析】

Aa设正四棱柱的高为h得到的+*=3也=h=6,故得到正四棱柱的体积为V=9x6=54.

故答案为54.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)3+2夜(2)证明见解析

【解析】

(1)利用基本不等式即可求得最小值;

(2)关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证.

【详解】

(1)—I";=(。+6)(—I-y)=3+—H—..3+2、［三.—=3+2叵,当且仅当"b=J5a”时取等号，

ababba\ba

12

故一+7的最小值为3+2行;

ab

ab+2bab+2bab+2bab+2bA/5

2222

(2)a+b+l~2b4b."-?(，「八一万,

。十三+「2陋+24・l-(…

当且仅当a=L,b=且时取等号，止匕时a+bwl.

22

故ab+2b<45

<72+&2+12

本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题.

18.(I)函数g(x)在区间(0,3乃)上有两个零点.见解析(II)见解析

【解析】

(I)根据题意，gf(x)=cosx—xsinx—cosx=—xsinx,利用导函数研究函数的单调性，分类讨论g(x)在区间

（0,3»）的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；

（II）求导，r（x）=x0°sx；smx,由于/（x）在区间（0,3"）上的极值点从小到大分别为再，0,求出

f（x,）+f（x2）=?土+生詈=COSX]+cosx2,利用导数结合单调性和极值点，即可证明出/（石）+/（々）<0.

【详解】

解：(I)g(x)=x-cosx-sinx,

g'(%)=cos%-xsinx-cosx=-xsinx,

当xe(0,〃)时，,sinx>0,.,.g,(%)<0,

g（X）在区间（0,乃）上单调递减,g（x）<g（o）=o,

•・收（九）在区间（0,乃）上无零点；

当xe(兀,2兀)时,sinx<0,gf(x)>0

二g（x）在区间（肛2»）上单调递增，g）=一万<0,g（2»）=2»>0

，g（%）在区间（肛2%）上唯一零点;

当xe(2肛3»)时，sinx>0,.,.g'(x)<0,

二g（x）在区间（2兀,3兀）上单调递减，g（2乃）=2»>0,g（3»）=-3»<0；

，g（x）在区间（2兀,3兀）上唯一零点;

综上可知，函数g（x）在区间（0,37）上有两个零点.

/s、“、sinx「,（、xcosx-sinx

（II）f（x）=——，/（%）=--------；-------

XX

由（I）知〃尤）在（0,句无极值点；

在（乃,2句有极小值点，即为国；在（2»,3句有极大值点，即为4,

由x“cosx“一sinx“=0,即xn=tanx“，n=l,2...

x2>%!,tan%>tan(%+兀),

37r57r

•.g⑺<0,g-l<0,g(2句>0,g<0,以及y=tanX的单调性,

{3万，“2万三

%,药+〃万与,由函数在肛获

2y=tanx12单调递增,

得々〉西+乃，

••・小)+”6嗫等=COS%1+COSx2,

由y=cosx在12匹万J单调递减，得cos%<cos(x,+»)=-cos%,

gpcosx2+COS%1<0,故/(石)+/(%2)<0.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能

力.

19.(1)Q=-2;(2)(—00,—]

【解析】

试题分析：(1)求得g(x-3)2-3的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解。的值；

1I।.lx—2|+1lx—2|+1,、

(2)①当％=0时，卜―2|>a]乂—1恒成立，②当%/0时，转化为a<—,设h(x)=J~3一,求得函数可可

rlrl

的最小值，即可求解。的取值范围.

试题解析：

(1)由g(x—3)»—3,得a|x—3|之一2,

2

因为不等式g(x—3)2—3的解集为[2,4],所以a<0,故不等式可化为|x—3|<—二，

3+-=2

22

解得3+—<x<3——,所以《:,解得a=—2.

aa

3--=4

(2)①当x=0时,x-2|2a|x|—l恒成立，所以aeR.

--+1,%<0

X

।II।lx—2|+1zlx—2+1z、3

②当xwO时，x—22ax—1可化为—,设h(xx)=———(x/O),则h(x)=——l,0<x<2,所

|x||xX

--+l,x>2

X

以当x=2时，h(x).=—,所以aV—.

\/minnn

综上，。的取值范围是1一.

%=-l+Zcosa

20.(1)夕=4cos。，<r；(2)5

y=-3。3+tsinq

【解析】

(1)由曲线。的参数方程消去参数可得曲线。的普通方程，由此可求曲线C的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角

以及经过的点求出直线的参数方程即可；

(2)将直线的参数方程，代入曲线C的普通方程V+y2=4%,整理得『―6/(eSina+costz)+32=0,利用韦达

定理，根据A为MB的中点，解出e即可.

【详解】

x=2+2cos9

(1)由＜(。为参数)消去参数,

y-2sin。

可得(1—2)2+/=4,即/+/=4》,

已知曲线C的普通方程为%2+y2=4%,

X=pcos0,p2=X2+y2,

..•夕?二4月cos。，即/7=4cos9,

..•曲线C的极坐标方程为夕=4cose,

,■直线/经过点M(-1,-36),且倾斜角为a,

x=-l+fcosa

二直线/的参数方程：］厂a为参数，ow&w»).

y=-3A/3+/sina

(2)设A,3对应的参数分别为

将直线/的参数方程代入C并整理,

得，-6%(A/3sina+cosaj+32=0,

tA+tB=6(gsina+cos。)，tA-tB=32.

又A为MB的中点，

••=，

tA=2^V3sin6/+cosj=4sinI6if+—I,tB=8sinlcr+—

71

/.t-t=32sin2CLH---=32,gpsin2(dz+—)=1,

AB66

0<a<7r,

71"7"

「•—<a+—<——，

666

TCTC口r71

••aH———,即a=—，

623

••tan—=-^3.