2025年高考数学一轮复习：第八章 直线和圆的方程

第八章

直线和圆的方程

第一节直线的方程

［学习要求］1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理

解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线

斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点

斜式、两点式及一般式）.

,必备知识

［知识梳理］

知识点一直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

（1）定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正方向与直线/向上方

向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角；

（2）规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

（3）范围：直线/的倾斜角a的取值范围是（TWa〈斜0。.

2.直线的斜率

（1）定义：当直线I的倾斜角时，其倾斜角a的正切值tana叫做这条直线的斜率，

斜率通常用小写字母上表示，即仁tana；

（2）斜率公式：经过两点Pi（X1，M）,尸2（X2,"）（Xi#X2）的直线的斜率为左=_

旷2一兀

々—％］——,

知识点二直线的方程

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率与X轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率,v—y“=k（x—X。）

y-yx%一七

两点式过两点丫2一丫1%2一与两坐标轴均不垂直的直线

（X1W%2，乃‘为）

xy不过原点且与两坐标轴均不

截距式纵、横截距a+b=i

垂直的直线

Ax+By+C=0

一般式所有直线

（42+炉#0）

［小题诊断］

1.已知直线/的倾斜角为120。，则直线/的斜率为（）

BT

D.—平

答案：D

2.已知直线/过点（1,1）,且倾斜角为90。，则直线/的方程为（）

A.x+y=lB.x-y=\

C.y=1D.x=l

答案：D

解析,因为直线/的倾斜角为90。，

所以该直线的斜率不存在，与x轴垂直.

又因为直线/过点（1,1）,

所以直线/的方程为x=l.

3.若直线/：y=—（〃+1）x+a—2不经过第二象限，则实数〃的取值范围为.

答案：（-8,—1］

解析：因为直线不过第二象限，

的iz、J—（Q+1）2o

所以a-2<0,

解得aW—1,

所以实数。的取值范围为(-8,—1],

4.过点尸(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

答案：3x—2y=0或x+y—5=0

学生用书[第184页

.关键能力步露建整

考点一直线的倾斜角与斜率

[例1](1)已知点/(2,3),B(一3,-2),若直线/过点P(1,1),且与线段NB

始终没有交点，则直线/的斜率左的取值范围是()

A.Q,2)B.(—8,(2,+°0)

C.Q,+co)D.(—8,2)

(2)直线2xcosa—y—3=0(aG卜，的倾斜名三的变化范围是()

A.Ri]B.g9

eg，gD.[=¥]

[答案](1)A(2)B

3

[解析](1)由已知得心尸=fz[=2,自产=二|二|；=%.如图，因为过点尸(1,1)的直线/

是保2)

与线段始终没有交点，所以斜率后的取值范围

J

~~2~~3x

(2)直线2xcos仪一^一3=0的斜率左=2cosa.

由于f-,-1,所以cosaW*,

因此左=2cos邓].

设直线的倾斜角为仇则有tan<9£[l,病.

由于。£[0,7i),

所以.4,3卜

|方法总结|

直线的斜率与倾斜角的区别与联系

直线/的斜率4直线/的倾斜角a

当直线1垂直于1轴

区当直线/垂直于.r轴

别时./的斜率归不存在时,/的倾斜角a为长

(1)&=tana,aC

(2)当aS[o,时.a越大，/的斜率越大；当aC

用

系(£".7r)时.a越大"的斜率越大.

(3)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都存在

斜率

内跟踪训练

1.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别

为,.

答案：3—3

解析：在正方形中，对角线05所在直线的斜率为2,建立如图所示的平面直角坐

标系.

设对角线OB所在直线的倾斜角为仇则tan9=2,

由正方形性质可知，直线04的倾斜角为6—45。，直线。。的倾斜角为9+45。,

tan0-tan4502-11

--?

故七tan(0—45°)~1+tan0tan4501+23

tan0+tan4502+1

华C-tan("+45。)—I_tan6tan450—1-2——3.

考点二直线方程的求法

［例2］(1)直线过点(一4,0),倾斜角为30。的直线方程为；

(2)直线过点(一3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,则该直线方程为.

［答案］(1)a一3y+44=0(2)4x—y+16=0或x+3y—9=0

［解析］(1)A;=tan由点斜式得

y=-y(x+4),即—3j+4-\/^=0.

(2)由题设知纵、横截距不为0,设直线方程式为:十五:=1,又直线过点(一3,4),

—34

从而吃一l-12_a—1,解得a=-4或a=9.

故所求直线方程为4x—y+16=0或x+3y—9=0.

|方法总结|

求直线方程时的注意点

1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2

.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用：若采用点斜式，应先考虑斜率

不存在的情况;若采用截距式，应判断截距是否为零.

3.截距是数，不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标，在x轴上的截距是直线与x

轴交点的横坐

标，在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0

,因此在解与截距有关

的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.

E跟踪训练

2.已知直线/的一个方向向量为〃=(2,3),若/过点/(-4,3),则直线/的方程为

()

3,、

A.j—3=-2(x+4)

3,、

B.J，+3=2(x—4)

3、

C.y-3=2(%+4)

3、

D.j+3=—2(%—4)

答案：C

解析：法一,：因为直线/的一个方向向量为

n=(2,3),

3

所以直线/的斜率k=2,

3

故直线/的方程为y—3=2(x+4).

法二：设尸(x,y)是直线/上的任意一点(不同于4),则而=(x+4,y-3).

因为直线/的一个方向向量为〃=(2,3),

所以3(x+4)-2(y—3)=0,

3

故直线/的方程为y—3=2(x+4).

3.(多选)若直线过点力(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/的方程为

()

A.x—y-\~1—0B.x+y—3=0

C.2x~y=0D.x~y—1=0

答案：ABC

2—0

解析：当直线经过原点时，斜率为左=工1=2,

所求的直线方程为y=2x,即2x—y=0;

当直线不过原点时，

设所求的直线方程为x±y=a,

把点4(1,2)代入可得1—2=。或1+2=凡

求得〃=-1或Q=3,故所求的直线方程为%—j+l=0或x+y—3=0.

综上知，所求的直线方程为2x—y=0,x—y+l=0或x+y—3=0.

学生用书1第185页

考点三直线方程的应用

［例3］已知直线/过点尸（3,2）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于4,8两点，如图所

示，求的面积的最小值及此时直线I的方程.

xv

［解］法一：依题意，设直线/的方程为z+*=l（°>0,6>0）,将点尸（3,2）的坐标

代人方程得%+g=1篇,即°6224,当且仅当「不时，等号成立，从而SA^OB=2

b2

ab^l2,故△402的面积的最小值为12,此时直线/的斜率左=一£=一§,从而所求直线/

的方程为2x+3y—12=0,所以△4OB的面积的最小值为12,此时直线/的方程为2x+3y

-12=0.

法二：依题意，直线/的斜率左存在，且左<0,可设直线/的方程为y—2=左（x—3）（k

<0）,则/（3—0）,B（0,2—3左），所以S=OB=?（2—3左）（3—1）=:

［12+（-%+冷卜

1I4-1

2［12+2J（-9fc）-^y］=,X（12+12）=12,

42

当且仅当一9左即左=—§时，等号成立.此时直线/的方程为2x+3y—12=0.所以

△/。2的面积的最小值为12,此时直线/的方程为2无+3y-12=0.

|方法总结|

与直线有关的求最值的常用方法

1.与直线的倾斜角、斜率、方程等有关的最值问题，常常转化为求函数最值、利用基本不等

式求最值等.

2.直线过定点问题，常常把直线方程整理变为含有参数为主元的方程，得到两个关于直线方

程中的变量的方程组求解得到定点坐标.

』跟踪训练

4.若［例3］条件不变，求方•丽的最大值及此时直线/的方程.

解：由原例题法二知/（3—0）,B（0,2—3人），k<0.

故两•丽=（_£_2）（一3,一3k）

—~^+6k——[(_/+(-6k)]W

当且仅当一］=-6k,即左=—1时，等号成立.此时直线/的方程为x+y—5=0.

所以五『丽的最大值为一12,此时直线/的方程为x+了-5=0.

学生用书1第389页

巩固提变Q

［A组基础保分练］

1.（2024・湖北武汉模拟）若直线/的一个方向向量为（一1,P）,求直线的倾斜角

（）

答案：C

解析：直线/的一个方向向量为（-1,平），则直线/斜率为一平，

2n

所以直线/的倾斜角为彳.

2.过点尸（-1,®且倾斜角为30。的直线方程为（）

A.y^x—3y+%内=0B.y/^x—y+2v^=0

C.点x—3y+2A/^=0D.px—y=0

答案：A

3.若将直线/沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿》轴负方向平移2个单位长度，又回到

了原来的位置，贝心的斜率是（）

答案：C

解析：由题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为（左W0）,

则平移后直线的方程为丁=左（x—3）~\-b—2=（fcr+Z?）+（—3k—2）,

可得Ax+6=（履+6）+（—3左一2）,

2

即k=~3-

4.（多选）（2024•辽宁大连模拟）已知直线/：底一y+l=0,下列说法正确的是

（）

A.直线/的倾斜角为60。

B.直线/在x轴上的截距为1

C.直线/的一个方向向量为a=（1,邪）

D.直线/与直线x+J9+c=0垂直

答案：ACD

解析：由y+l=0,可得/:y—y/^x+1,所以直线的斜率左=4，即tana=©,又

«e[0,IT）,所以倾斜角为60°,故A正确；

在.y+1=0中，令y=0,解得x=一~Y，所以直线/在x轴上的截距为一"，故B错

、口

沃；

由直线的方向向量可知4=（1,&）是直线/的一个方向向量，故C正确；

由直线方程可得两直线的斜率分别为避，-y,所以6x（—4）=—1,所以两直线垂直,

故D正确.

5.（多选）下面说法错误的是（）

A.经过定点尸（劭，泗）的直线都可以用方程yo=左（x—%o）表示

B.不经过原点的直线都可以用方程£+3=1表示

C.经过定点/（0,b）的直线都可以用方程y=fcc+6表示

D.经过任意两个不同的点P（xi，为），Q（M，”）的直线都可以用方程（切一xi）（y—

为）=（”一%）（X—%1）表不

答案：ABC

解析：A错，斜率不存在，则不可用.

B错，与坐标轴垂直的直线不可用.

C错，天轴不可用.

6.方程>0)表示的直线可能是()

_________X.—、一

oXo

CD

答案：A

解析：当〃>0时，直线的斜率a>0,该直线在y轴上的截距]>0,则直线歹=办

十%过一>二、三象限.

7.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么6的取值范围是

()

A.[-2,2]

B.(―8,-2]U[2,+")

C.[-2,0)U(0,2]

D.(一巴+8)

答案：C

b

解析：令x=0,得歹=2，令y=0,得x=—b,

所以所求三角形的面积为|-bI=%2,且6W0,%W1,所以〃W4,

所以6的取值范围是[-2,0)U(0,2].

8.直线/的方程为依一y+2左+l=0(/ceR),则该直线过定点.

答案：(-2,1)

解析：y+2左+1=0可化为左(x+2)~y~\-1=0,令得｛j=/

即直线过定点(一2,1).

9.直线/的倾斜角是直线网一天一1=0的倾斜角的2倍，且过点(口，一1),则直线/的

方程为.

答案：居r+y—2=0

解析：直线&x—y—l=0可化为^=居;一1,其斜率为平，

・•・其倾斜角为60°,

・•・直线/的倾斜角为120°,

.\ki=tan1200=一杂，

・,•直线/的方程为y+1=—避(x—平)，

即V^x+歹一2=0.

10.过点(1,I),且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为.

答案：x+4y—2=0

解析：因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，

x

所以可设直线方程为之十町=1QW0).

又直线过点(1,，，所以工+铲=1,解得。=2,所以所求直线方程为/+2了=1,即x+4y—

2=0.

11.在△/BC中，点/(2,1),8(1,3),C(5,5).若。为3C的中点，则直线所

在直线方程为.

答案：y=3x—5

解析：因为。为2c的中点，

1—4

所以。(3,4),直线4D的斜率左=厂^=3,

所以直线/。所在的直线方程为y—4=3(x-3),即直线方程为＞=3x—5.

学生用书1第390页

[B组能力提升练]

12.直线/：环由30。+产05150。+1=0的斜率是()

A.yB.V^

C.—A/3D.—y

答案：A

心■,—

解析：设直线/的斜率为左，则左=一7s^in记30°不=J》3

13.(2024・贵州遵义模拟)若直线/：(a—2)x+即+2a—3=0经过第四象限，则〃的取值

范围为()

A.(――,o)U(2,+8)

B.(―8,o)U[2,+8)

C.(―8,0)u(|,+oo)

D.(―8,0)u[|,+oo)

答案：C

3

解析：若4=0,则/的方程为X=—5，不经过第四象限.

若<7=2,则/的方程为^=—2，经过第四象限.

若aWO且Q#2,将/的方程转化为y=----1X----------.

a-2

a—2一—"n->0,3

因为/经过第四象限，所以一~rV0或，2a—3解得qVO或5Vq<2或6Z>2.

-——n<0,，

综上知，a的取值范围为(-8,o)uQ,+(»).

14.已知两点/(3,0),B(0,4),动点尸(无，7)在线段上运动，则孙()

A.无最小值，且无最大值

B.无最小值，但有最大值

C.有最小值，但无最大值

D.有最小值，且有最大值

答案：D

Xy/

解析：线段N8的方程为§+*=1（0WxW3）,则y=4（l—。（0WxW3）,所以孙=4x

x\4/3\23

（1—§）=-3,[x—2）+3,显然当x=2时，中取最大值3;当x=0或3时，孙取最小值0.

15.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央

索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知

拉索上端相邻两个锚的间距I2昌+1I。=1，2,3,9）均为3.4m,拉索下端相邻两

个锚的间距I44+1I。=1，2,3,9）均为16m.最短拉索的锚尸4满足I。%I=

66m,IOAiI=86m,则最长拉索所在直线的斜率为（）

A.±0.47B.±0.45

C.±0.42D.±0.40

答案：C

解析：根据题意，IOAl0I=I04I+II=86+9X16=230,即点4°（230,

0）,同理So（-230,0）,又IOP。I=IORI+IPMI=66+9X3.4=96.6,即点

96.6-096.6-0

尸io（0,96.6）,所以0-230=-M2,%出。=o+230="42.

16.（多选）垂直于直线3x—4y—7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x

轴上的截距是（）

A.4B.-4

C.3D.-3

答案：CD

解析：设直线方程是4x+3j+，=0,分别令x=0和y=0,得直线在两坐标轴上的截距分

2

dd1Id|Id|d

别交L-Q,—j,所以6=,X卜.*|一9=方,

所以d=±12,则直线在x轴上的截距为3或一3.

17.（多选）已知直线xsina+ycosa+l=0（Q£R）,则下列命题正确的是（）

A.直线的倾斜角是兀一a

B.无论a如何变化，直线不过原点

C.直线的斜率一定存在

D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

答案：BD

解析：根据直线倾斜角的范围为［0,7i),而兀一a£R,所以A不正确；当x=y=0时，

xsina+ycos1=1W0,所以直线必不过原点，B正确；当a=］时，直线斜率不存在，C

不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为

1—^-1=I,^I^1,所以D正确.

|—cosa|Ism2aI，

18.过点P(-1,0)且与直线小屏一了+2=0的夹角为二的直线的一般式方程

是.

答案：x+l=0或x—Wy+l=0

解析：直线A的倾斜角力引0,兀)且tanD=P,

则6日

U

因为所求直线与直线/1的夹角为％,

TCH

所以所求直线的倾斜角为/或2，

当所求直线的倾斜角为2时，直线为x=—1;

当所求直线的倾斜角为，时，直线为y=g(x+l),故直线为工一眄；+1=0.

综上，所求直线为x+i=o或%—V^y+1—0.

19.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：N+俨=1,过尸(一2,-2)作圆。

的两条切线，切点记为4,B,求直线45方程”，部分解答如下：设yj,B{x2,y2)

,由尸404=0,化简可得久1+'1+2为+2为=0,又因为所以2修+2为+1=

0,同理可得2必+2及+1=0,…则直线45的方程为.

答案：2x+2y+l=0

解析：由于公1+2为+1=0,2必+2为+1=0,故/(吗，yj,2(叼，巧)均满足方程2x+2y

+1=0,由两点确定唯一的直线，故直线的方程为2x+2y+l=0.

20.已知不全为零的实数a,b,c成等差数列，过点/（1,2）作直线/：G+6J+C=0的

垂线与直线/交于点尸，点。在直线3x—4y+12=0上，则|尸。1的最小值为.

答案：1

解析：：不全为零的实数a,b,c成等差数列，

代入动直线/:ax+by+c=0,

a+c

仔ax-\--*y+c=0,

即a（2%+y）+c（y+2）=0.

Va,c不全为零，...{jjd'解得x=l,尸一2,

.•.动直线/过定点N（1,-2）.

设点P（x,y）,

•・,当点尸与点N不重合时，AP±NP,

...而•而=（X-1,了-2）-（X-1,y+2）=0,

整理,得N+产一2x—3=0,即（X-1）2+y=4,

.•.点尸在以（1,0）为圆心，2为半径的圆上，

I3+12I

点0在直线3x—4了+12=0上，圆心（1,0）到直线3x—4.y+12=0的距离d=三7-=

3>2,

IPQI的最小值等于圆心（1,0）到直线3x—4y+12=0的距离d减去圆的半径2,

IPQI的最小值为3—2=1.

学生用书1第185页

第二节两条直线的位置关系与距离公式

［学习要求］1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的

交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行

直线间的距离.

,必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点一两直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线h，其斜率分别为肩，k2,则有的=坛，特别地，当

直线3，2的斜率都不存在时，I、与卜平行.

（2）两条直线垂直

如果两条直线办斜率都存在，设为七，七，则/」/,=任屁=—1,当一条直线斜率

为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

直线小小工+83+3=0和小工2尤+8少+C2=0的公共点的坐标与方程组

'i41x+F1y+C1=0,

的解一一对应.

A2x+B2y+C2=0

相交O方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解;

平行Q方程组无解；

重合O方程组有无数个解.

知识点二距离公式

1.两点间的距离公式

平面上任意两点Pl（X1，力）,P2（x2,V2）间的距离公式为IPp?2I=_

2

（々一叼）之十（y2—y1）_.

特别地，原点。（0,0）与任一点P（X,7）的距离IOPI=&+y2.

学生用书1第186页

2.点到直线的距离公式

|i4%0+By0+C|

平面上任意一点尸0（如外）到直线/:4v+为+C=o的距离"=一"二一（4+

炉》0）.

3.两条平行线间的距离公式

I。2I

—*般地，两条平行直线/［：4V+5y+G=0,b：4%+为+。2=0间的距离d=~（"

+5M0).

［小题诊断］

1.经过两点/(-2,5),B(1,-4)的直线/与x轴的交点的坐标是()

A.(—g,0)B.(一3,0)

C.(1,0)D.(3,0)

答案：A

解析：过点/(-2,5)和8(1,-4)的直线方程为3x+y+l=0,故它与x轴的交点的

坐标为°).

2点A(2,5)到直线/：x—2y+3=0的距离为()

A.2避B.g

C.V5D.等

答案：C

解析：点/(2,5)到直线/:了—27+3=0的距离为12：黑3।=木.

3.直线2x+(加+1)y+4=0与直线加x+3歹一2=0平行，则加=()

A.2B.-3

C.2或一3D.3

答案：C

4.已知点力(3,2)和5(-1,4)到直线"+y+l=0的距离相等，则Q的值为.

答案：2或一4

解析：由点到直线的距离公式可得

I3a+2+l|_|-a+4+l|

-Ja+1旧+1'

解得4=］或a——4.

1关键能力重直探究。

考点一两直线的位置关系

⑥角度(一)判断两直线的位置关系

［例1］(2024•天津模拟)“a=l”是“直线办+2丁-8=0与直线x+(a++>+4=0平

行”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］设直线/i：ax-\-2y—8=0,直线小：x+(〃+1)y+4=0.若(与小平行，则。(a

+1)-2=0,即Q2+Q—2=0,解得。=1或〃=—2.当—2时，直线/］的方程为一2x+

2y—8=0,即x—y+4=0,直线b的方程为x~y+4=0,此时两直线重合，故QW—2.当Q

=1时，直线。的方程为x+2y—8=0,直线4的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故

“q=l"是"直线办+2y—8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.

⑥角度(二)由两直线的位置关系求参数

［例2］已知两直线(m—1)x—6y—2=0,以加x+y+l=0,若。，区则冽

=;若h〃I2,贝口m=.

［答案］3或一2y

—

［解析］因为/i：(m1)x~6y—2=0,办：1=0,所以，若/I_L，2,则加(冽一

1)—6=0,解得加=3或加=-2.

若人〃/2,则冽一1+6冽=0,解得冽=》,经检验符合题意.

|方法总结|

两直线位置关系的三种判断方法

方法平行垂直适合题型

化成斜

k।，-S-仇电局=11斜率存在

截式

设直线Z1：All

设直线:八1彳

+B[y+(1=0.

+B]<y+C]=0,

1)：A2]+152y+

，2：A.r-\~By-\~

一般式C"2=0"l〃%㈡22无限制

C*2=0"i-L，20

A13—AB]=0,

2A]A2+I)]

且B1G-3cl

2=0

#0

后与局都不存

k\与k2中一个不

直接法4不存在

在，且仇¥仇存在，另一个为零

E跟踪训练

1.am—3J,是“直线A：2（"?+l）x+（m—3）y+7—57M=0与直线，2：（加—3）x-\-2y

—5=0垂直”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由得，2（加+1）（m—3）+2（加一3）=0,解得加=3或加=—2,即加=

3是的充分不必要条件.

学生用书1第187页

2.若直线x+（1+加）y—2=0与直线加x+2y+4=0平行，则实数加的值为（）

A.lB.-2

„3

C.1或一2D.—2

答案：A

解析：由题意可知2—m（1+m）=0,解得加=—2或〃?=1.

经检验，当加=一2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当机=1时，符合题意.故加的

值为1.

3.若直线(2m-1)x+zwy+l=0和直线加x+3y+3=O垂直，则实数%的值为()

A.lB.0

C.2D.T或0

答案：D

解析：由题意可知加(2m—1)+3"，=0,解得机=0或加=—1.

考点二两直线的交点问题

［例3］(2024•海南海口模拟)若直线y=—2x+4与直线的交点在直线y=x+2

上，则实数4=()

A.4B.2

1

C-2DZ

［答案］A

［解析］解方程组匕匚2苣生得直线产一2x+4与直线y=x+2的交点(|,|),

82

依题意，解得左=4,所以实数4=4.

|方法总结|

在解决与两直线的交点坐标有关的题目时，先求出两直线的交点，再结合其他条件求解.

口.跟踪训练

2

4.已知直线/经过直线小x+y=2与82x—y=l的交点，且直线/的斜率为一丞则直线

/的方程是()

A.3x—2y—1=0B.3x—27+1=0

C.2x+3y—5=0D.2x—3y+l=0

答案：C

解析：解方程组｛省［得L；：，,

所以两直线的交点为(1,1).

2

因为直线/的斜率为一事

2

所以直线/的方程为y—1=—3(x—1),即2x+3y—5=0.

考点三距离问题

［例4］(1)已知三角形的三个顶点N(2,4),5(3-6),C(5,2),则8C边上中线的长为

()

A.2回B.710

C.IIA/2D.3迎

(2)点尸(3,1)到直线/：3x+4y+2=0的距离为()

A.2B.3

3

C，2D.4

(3)(2024•福建厦门模拟)若两平行直线3x—2y—1=0,6x+ay+c=0之间的距离为

2.J13

嚷则C的值是.

［答案］(1)A(2)B(3)2或一6

3+5

X=：-n-=4,

［解析］(1)设3c的中点为。(％,y),由中点坐标公式得，_6：2所以。(4,—2)

/=―2—=—2，

所以\AD\=J(4—2产+［(—2)—4产=加=2迎.

|9+4+2|

(2)由点到直线的距离公式可得d=,9+16一=3・

(3)依题意，§=与#与，解得—4,cW—2,则直线方程6%+砂+。=0可化为3%—

c.\-2+1\、

27+5=0.又两平行线之间的距离为FF，所以7T万=13、解得°=2或c=-6.

I方法总结I

距离问题的常见题型及解题策略

1

.求两点间的距离.关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.

2

.解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求

直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.

3.求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y

的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离

公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.

出跟踪训练

5.过点N(4,a)和点3(5,b)的直线与>=》+加平行，则的值为()

A.6B.2

C.A/2D.不能确定

答案：C

b-a

解析：由题意知旗8=1,即々一=1,则6—0=1.

故IASI=J(5—4/+(b—a)2Kl+1=也.

6.(2024・广东广州模拟)已知点尸(4,a)到直线以一3伊一1=0的距离不大于3,则a的

取值范围为.

答案：［0，10］

解析：点P到直线的距离为何钎—5~L.

由I1515W3,即I15—3aIW15,得OWaWlO,所以a的取值范围为［0,10］.

直线系方程

［例1］过直线无+2了+1=0与直线2%—了+1=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直

线方程为.

［答案］1—3歹=0或5x+5y+4=0

［解析］设所求直线方程为x+2y+l+；l(2x一歹+1)=0,当直线过原点时，1+4=0得，

入=—1,此时所求直线方程为x—3y=0;当直线不过原点时，令x=0,得y=，令^二

A+1A+1A+1

0,付X=-2；l+r由题息彳寸;I—2=-2—+17

1

解得丸=g或2=一1(舍)，

此时所求直线方程为5x+5y+4=0.

综上所述，所求直线方程为x—3y=0或5x+5y+4=0.

［例2］经过两条直线2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交点，且垂直于直线3x+4y—7=0

的直线的方程为.

［答案］4x-3y+9=0

［解析］法一:由｛经3羿4］二0“

5

%=一？（57\

解得，7故交点的坐标为（一?9）.

,y=g，

4

因为所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，所以所求直线的斜率为所以所求直线的方程

,74/5\

为即4x—3y+9=0.

法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x—3y+冽=0.

由伊右黑：二o°'可解得交点的坐标为«!）■

将点（一目，的坐标代入4x—3了+加=0,得加=9,

故所求直线的方程为4x~3y+9=0.

学生用书1第188页

|方法总结|

1.过直线交点的直线系

过直线J：&久+B］y+C］=0与直线qi&x+Bzy+C2=0父点的直线系方程为AF+Bp

+C1+^A2x+B2y+C2）=为参数），其中不包括直线q.

2.平行直线系

与Ar+By+C=。平行的直线设为Ax+By+n=0.

3.垂直直线系

^-Ax+By+C=0垂直的直线设为Bx—Ay+zn=0.

咨跟踪训练

1.求经过/（2,4）,且与直线2x+y—1=0垂直的直线/的方程.

答案：x—2y+6=0

解析：设所求直线方程为X—2y+〃?=0,:直线过定点(2,4),/.2-2X4+w=0,：.m

=6,

.•.直线/的方程为x~2y+6=0.

2.过直线3x~y+5—0与2x—y+6=0的交点，且垂直于直线x~2y+1—0的直线方程

是.

答案：2x+y—10=0

解析：由凄二月之士解得母黑：直线x—2y+l=0的斜率为:，

故过点(1,8)且垂直于直线1—2》+1=0的直线方程为歹一8=—2(X—1),即2x+y—

10=0.

学生用书I第391页

■课时作业巩固提个

[A组基础保分练]

1.已知N(2,1),N(-1,5),则|MN|=()

A.V13B.4

C.5D.A/37

答案:C

解析：M(2,1),N(-1,5),所以1MN1=』(2+1产+(1—5及=5.

2.已知直线A：ZMX+3y—3=0,L：(3m—2)x+乎y+l=0.则''拉=—是"/J/z”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案：A

1