中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章-平面向量.课件

数学（基础模块）下册第七章平面向量平面向量是一种既有大小、又有方向的量，它的应用非常广泛．例如，汽车从A点出发向东行驶3km到达B点，再向南行驶4km到达C点，如图所示．此时若要描述汽车与A点的位置关系，不仅需要给出汽车与A点之间的距离，还需要指明汽车相对A点的方向．这就需要大家了解平面向量的知识．7.1平面向量的概念7.2平面向量的线性运算7.3平面向量的坐标表示7.4平面向量的内积7.1平面向量的概念标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等；向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．规定：模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的．模为1的向量称为单位向量．如图所示，规定了起点和终点的线段称为有向线段，记作，其箭头由A指向B，A称为起点，B称为终点．向量的大小称为向量的模，记作．例题解析例1

一辆汽车从A处向正北方向行驶100m，另一辆汽车从A处向正东方向行驶100m，请问两辆汽车的位移相同吗？分别用有向线段表示两辆汽车的位移．解

位移是向量，它包括大小和方向两个要素．本题中，虽然这两个向量的模相等，但它们的方向不同，所以，两辆汽车的位移不相同．如图所示为用有向线段表示两辆汽车的位移．规定：零向量与任何一个向量平行．方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作．如图所示，向量平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出，．也就是说，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量又称为共线向量．规定：零向量的负向量仍为零向量．例题解析例2

在图所示向量中，找出：（1）平行向量；

（2）模相等的向量；（3）相等向量；

（4）互为负向量的向量．解

（1）平行向量为

．（2）模相等的向量为

．（3）相等向量为

．（4）互为负向量的向量为

．7.2平面向量的线性运算7.2.1平面向量的加法如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点走到C点，则他的最终位移可以看作是位移与的和．如右图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作，

，则向量称为向量a与b的和，记作，即根据三角形法则进行向量a与b的加法运算，其结果仍然是向量，称为a与b的和向量．和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．求向量和的运算称为向量的加法．上述求向量和的方法称为向量加法的三角形法则．例题解析例1如图所示，已知向量，分别作出向量．（a）

（b）

（c）解

在平面内任取一点O，作，，则，如图所示．（a）

（b）

（c）如图所示，ABCD为平行四边形，由于，则根据三角形法则可得可以看出，在平行四边形ABCD中，所表示的向量即为与的和．这种求和的方法称为向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量．向量的加法具有以下性质：例题解析例2一艘船以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，已知河水的水流速度为3km/h，求该船的实际航行速度．解

如图所示，设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，表示水流的速度．由向量加法的平行四边形法则可知，就是船的实际航行速度．根据题意可得因为所以故船的实际航行速度大小为5km/h，方向与水流方向的夹角约为53°．7.2.2平面向量的减法向量a加上向量b的负向量称为向量a与b的差，记作，即求向量差的运算称为向量的减法．如图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作，则向量即为向量a与b的差，即起点相同的两个向量a与b，其差仍然是一个向量，称为a与b的差向量．差向量的起点是向量b的终点，终点是向量a的终点．例题解析例3如图（a）所示，已知向量c与d，求作差向量．（a）

（b）解

如图（b）所示，在平面内任取一点O，作，则例4

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且，试用a和b表示向量．解

7.2.3平面向量的数乘运算如图所示，已知非零向量a，和，可以看出，向量a与向量，共线，且．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为当时，λa的方向与a的方向相同；当时，λa的方向与a的方向相反；当时，．数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算．可以验证，对于任意向量及任意实数，向量的数乘运算满足如下法则：例题解析例5如图所示，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，若，试用a和b表示向量．解

因为所以因为所以例6计算下列各式．（1）

；（2）

；（3）

．解（1）

．（2）

．（3）我们将称为的一个线性组合（均为系数）．如果

，则称l可以用线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都称为向量的线性运算．例5中，等都称为向量线性组合，或者说，等可以用向量线性表示．7.3平面向量的坐标表示7.3.1平面向量的直角坐标在平面直角坐标系中，每一个平面向量也都可以用一对实数来表示．例题解析解

它们的坐标分别为因为所以它的坐标为解7.3.2向量线性运算的坐标表示所以类似可得例题解析解即于是消去λ，得所以，7.3.3共线向量的坐标表