数学备课资料第三章概率§

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精备课资料几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定。高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例1有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题。解：记两段木棍都不小于3米为事件A，则P(A)=。2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目:例2郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛，比赛规则如下:在很远的地方有一顶帐篷，可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上。已知铜板的直径是方几边长的，谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上，且没有掉下，问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析:这是一道几何概型问题,在几何概型中，样本空间是问题所涉及的整个几何图形，在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.图10解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上，也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个×的小正方形内（如图10），这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的。整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为×=，所以郭靖进入下一轮比赛的概率为。例3甲、乙两人相约在上午9：00至10:00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大?图11解:设甲到的时间为（9+x)小时，乙到的时间为(9+y）小时,则0≤x≤1，0≤y≤1。点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以(0，0)，（1，0),(0，1)，(1,1)为顶点(如图11）。由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在｜x-y｜≤时,两人才能会面。由于|x-y｜≤是两条平行直线x—y=,y-x=之间的带状区域，正方形中除去这个带状区域是两个三角形，其面积之和为（1—)×（1—)=(）2。从而带形区域在这个正方形内的面积为1—（）2=,因此所求的概率为。3。与体积有关的几何概型例4在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？分析:病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.解:“取出1升水,其中含有病毒"这一事件记作事件A，则P(A)===0.2.从而所求的概率为0。2.现在我们将这个问题拓展一下：例5在5升水中有两个病毒，现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大?分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙。随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为，含有病毒乙的概率也是，而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙"的情况，所以应当将这种情况去掉。解:记“取1升水，含有病毒甲"为事件A；“取1升水,含有病毒乙"为事件B，则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.从而所求的概率为P=P(A）+P（B）-P(AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B)=+—×==0.36.4.与角度有关的几何概型例6在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.图12解：设事件A是“作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”,则μa=90°-30°—30°=30°，而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P（A）=.注意:在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求