数学备课资料：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精备课资料一、｜a·b｜≤｜a||b｜的应用若a=（x1,y1)，b=(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a|｜b|的坐标表示为x1x2+y1y2≤≤（x12+y12)（x22+y22).不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12）（x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式）：(a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。例1已知实数x,y满足x+y—4=0,则x2+y2的最小值是______;(2）已知实数x,y满足(x+2）2+y2=1,则2x-y的最大值是_______.解析:（1)令m=（x，y）,n=（1,1)。∵|m·n｜≤|m｜｜n|,∴｜x+y｜≤,即2（x2+y2）≥（x+y）2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8。(2)令m=(x+2,y）,n=（2，—1)，2x—y=t。由｜m·n|≤｜m||n｜，得|2（x+2）-y|≤解得。故所求的最大值是-4。答案:(1)8（2)-4例2已知a,b∈R,θ∈(0，)，试比较与（a+b）2的大小。解:构造向量m=（），n=(cosθ，sinθ）,由|m·n|≤|m|｜n｜得(）2≤（)（cos2θ+sin2θ),∴（a+b)2≤。同类变式：已知a，b∈R,m,n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2+b2n2,令M=解:构造向量p=（)，q=(n,m）,由|p·q|≤|p|｜q|得(）2≤()（m2+n2)=（m2+n2）〈m2+n2,∴M>N。例3设a，b∈R,A={(x,y）｜x=n，y=na+b，n∈Z｝，B={(x,y）|x=m,y=3m2+15,m∈Z}，C={（x,y）｜x2+y2≤144｝是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得A∩B=与(a，b）∈C能同时成立.解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足设存在a和b满足①②两式，构造向量m=（a,b)，n=（n，1).由｜m·n｜2≤|m|2｜n|2得（na+b)2≤（n2+1)(a2+b2）,∴（3n2+15)2≤144（n2+1）n4-6n2+9≤0。解得n=±,这与n∈Z矛盾,故不存在a和b满足条件。二、备用习题1.若a=（2,-3）,b=（x,2x），且a·b=,则x等于（）A.3B。C。D.—32。设a=（1，2)，b=(1,m）,若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是（）A.m>B。m<C.m〉D。m<3.若a=（cosα,sinα），b=(cosβ,sinβ）,则（）A。a⊥bB。a∥bC.(a+b）⊥（a-b)D。（a+b）∥(a-b）4.与a=(u，v)垂直的单位向量是（）A.()B.(）C。（)D。（)或（）5。已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，u=a+tb（t∈R），求u的模的最小值.6。已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a—2b垂直，求a与7.已知△ABC的三个顶点为A（1,1），B（3,1)，C(4，5),求△ABC的面积。参考答案：1。C2。D3。C4。D5.|a｜==1，同理有|b|=1。又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=∴｜u｜2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.当t=时，|u｜min=。6。由已知(a+3b）⊥(7a-5b）(a+3b）·(7a-5b）=07a2+16a·b—15b2=0.又（a—4b)⊥(7a—2b）(a-4b)·（7a—2b）=07a2—30a·b+8b2=0.①-②得46a·b=23b2，即a·b=③将③代入①,可得7|a｜2+8|b|2—15｜b|2=0,即|a｜2=｜b|2，有|a｜=|b｜，∴若记a与b的夹角为θ,则cosθ=。又θ∈［0°,180°]，∴θ=60°,即a与b的夹角为60°.7.分析:S△ABC=｜||｜sin∠BAC,而||，|｜易求，要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.解:∵=（2,1)，=（3,4),｜｜=2，｜|=5，∴cos∠BAC=.∴sin∠BAC=.∴S△ABC=|｜｜|sin∠BAC=×2×5×=4.三、新教材新教法的二十四个“化"字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化;探究例题多变化，引导思路发散化;学生活动主体化，一石激浪点拨化;大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化,