数学4教学设计：向量的减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教学设计2．2。2向量的减法eq\o（\s\up7（)，\s\do5（整体设计)）教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数），首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法（减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想,并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点:对向量减法定义的理解．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程））导入新课思路1.(问题导入）上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究,由此展开新课．思路2.(直接导入）数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法;向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则,那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－（－a）＝a.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a＋（－a）＝（－a）＋a＝0。所以，如果a、b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差,记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则,我们可以得到向量a－b的作图方法.如图1，设向量eq\o(AB,\s\up6（→）)＝b，eq\o（AC,\s\up6（→)）＝a,则eq\o(AD,\s\up6(→）)＝－b，由向量减法的定义，知eq\o（AE,\s\up6（→)）＝a＋（－b）＝a－b。图1又b＋eq\o(BC，\s\up6(→））＝a，所以eq\o(BC,\s\up6（→）)＝a－b。进一步，如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a,eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，则eq\o(BA,\s\up6（→)）＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合,其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义,这也是数形结合思想的重要体现．教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a－b是表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1见课本本节例1.变式训练1．如图3（1）,已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作eq\o(OA，\s\up6(→))＝a，eq\o（OB,\s\up6（→))＝b，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝c,eq\o（OD，\s\up6（→))＝d，则eq\o（BA，\s\up6（→）)＝a－b,eq\o(DC,\s\up6（→)）＝c－d.2．在ABCD中，下列结论错误的是（)A。eq\o(AB，\s\up6(→）)＝eq\o（DC，\s\up6（→）)B.eq\o（AD,\s\up6（→)）＋eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o（AC，\s\up6（→））C。eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o(AD,\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→）)D.eq\o（AD，\s\up6(→））＋eq\o(BC,\s\up6（→））＝0解析:A显然正确，由平行四边形法则可知B正确,C中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\o(BD，\s\up6(→))错误，D中eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→)）＋eq\o（DA,\s\up6(→））＝0正确．答案：C例2课本本节例2.变式训练1．如图4，ABCD中，eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，你能用a、b表示向量eq\o（AC，\s\up6(→））、eq\o(DB，\s\up6(→）)吗?图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a＋b，同样，由向量的减法，知eq\o(DB，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→))－eq\o（AD,\s\up6（→)）＝a－b.2．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量eq\o(OD，\s\up6（→）)等于（)A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c解析：如图5，点O到ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，图5结合图形有eq\o（OD,\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OC,\s\up6(→）)－eq\o（OB,\s\up6(→）)＝a－b＋c.答案:B3．若eq\o（AC，\s\up6(→）)＝a＋b,eq\o(DB,\s\up6（→））＝a－b。①当a、b满足什么条件时,a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时,｜a＋b|＝｜a－b｜?③当a、b满足什么条件时,a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量eq\o(AC，\s\up6（→))、eq\o(DB，\s\up6（→))恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得eq\o（AC，\s\up6（→））＝a＋b，eq\o（DB，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（AD，\s\up6（→))＝a－b.图6由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a｜＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？（a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角?(|a|＝|b|)④a＋b与a－b可能是相等向量吗?（不可能，因为对角线方向不同）点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟。思路2例1判断题．(1）若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同．(2)△ABC中，必有eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→))＋eq\o（CA,\s\up6（→）)＝0.（3）若eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CA,\s\up6(→)）＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．（4)｜a＋b｜≥|a－b｜。解：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥．(2）由向量加法法则得：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o（AC,\s\up6(→））与eq\o(CA，\s\up6(→)）互为相反向量,所以有上述结论．(3）因为当A、B、C三点共线时也有eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o(CA,\s\up6（→））＝0，而此时构不成三角形．（4)当a与b不共线时,由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．当a、b为非零向量共线时,同向则有|a＋b｜>|a－b|，异向则有|a＋b｜〈｜a－b|；当a、b中有零向量时，|a＋b|＝｜a－b|。综上所述,只有(2)正确．例2若|eq\o(AB,\s\up6（→）)｜＝8,｜eq\o（AC,\s\up6(→）)｜＝5,则｜eq\o(BC，\s\up6(→）)｜的取值范围是（）A．［3,8］B．(3，8）C．［3,13]D．（3，13)解析：eq\o（BC,\s\up6（→))＝eq\o(AC,\s\up6（→）)－eq\o（AB，\s\up6(→）).（1)当eq\o（AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6（→))同向时，｜eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；（2)当eq\o(AB,\s\up6(→）)，eq\o（AC，\s\up6（→））反向时,|eq\o(BC,\s\up6（→）)|＝8＋5＝13；(3）当eq\o(AB，\s\up6（→)）,eq\o（AC,\s\up6（→))不共线时，3<|eq\o(BC，\s\up6(→）)｜〈13。综上,可知3≤|eq\o（BC，\s\up6(→））|≤13。答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a｜－｜b｜|≤｜a＋b|≤｜a|＋|b|求解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练））课本本节练习．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图,分类讨论．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业）)已知O为△ABC的外心,H为垂心，求证：eq\o(OH,\s\up6（→))＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)）.证明：作直径BD，连结DA，DC，有eq\o（OB,\s\up6(→))＝－eq\o（OD，\s\up6（→)）,DA⊥AB，DC⊥BC,故CH∥DA，AH∥DC,得四边形AHCD为平行四边形，∴有eq\o（AH，\s\up6(→）)＝eq\o（DC,\s\up6(→)）。又∵eq\o(DC,\s\up6(→））＝eq\o（OC，\s\up6（→)）－eq\o（OD，\s\up6(→)）＝eq\o(OC，\s\up6(→))＋eq\o(OB，\s\up6（→))，∴eq\o(OH，\s\up6(→))＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o（AH，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6（→))＋eq\o（DC，\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o(OB，\s\up6（→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))。∴结论成立．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（设计感想)）1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a－b的箭头方向要指向a的终点，如果指向b的终点则表示b－a，在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．eq\o（\s\up7（），\s\do5（备课资料）)一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容,那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：eq\o(AB,\s\up6（→))－eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o（BD，\s\up6(→））－eq\o（CD，\s\up6（→))。解：原式＝eq\o(CB,\s\up6(→)）＋eq\o（BD，\s\up6(→)）－eq\o（CD，\s\up6（→）)＝eq\o(CD，\s\up6(→））－eq\o(CD，\s\up6（→）)＝0。例2化简：eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6（→)）＋eq\o（CO，\s\up6（→））.解：原式＝(eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o（BO,\s\up6（→))）＋(eq\o(OC，\s\up6(→)）＋eq\o(CO，\s\up6（→）））＝(eq\o（OA，\s\up6(→））－eq\o（OB，\s\up6（→）)）＋0＝eq\o(BA，\s\up6(→）).二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是()①a＋b＝b＋a②a－b＝b－a③0－a＝－a④－（－a)＝a⑤a＋(－a)＝0A．5B．4C．3