2023-2024学年北京东城区景山学校高三（上）期中数学试题及答案

2023北京景山学校高三（上）期中数学注意事项（1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷.（2）认真审题，字迹工整，卷面整洁.（3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟.（4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分），B=，则AB等于（）A=xx11.已知集合−2,−A.B.C.D.D.D.2.若复数ziz2i，则=−|z=（）A.1B.2C.533.下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（）y=x+2y=x+x3y=sinxy=2xA.B.C.(,3).若a//b，则m==（4.已知向量a=(−，b）323−−A.6B.6C.D.2且圆心在直线3x+y−5=05.经过原点和点上的圆的方程为（）(x−2+(y+10)2=125B.(x−(x+D.2+(y−2)2=25=5A.C.(x−6.在中，“A3是“A”的（2+y2=92+(y−2)2π）3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件111，b=，c=sin，则（）7.已知a=e222A.abcB.bcaC.cabD.acby=+1与圆x2−4x+y2=0相交于M，N两点，且|MN|，那么实数k的取值范围8.已知直线是（）1444A.4B.0C.kD.−或k333ππ−,π4ππ=−f−，则f(x)=x+0)f=f9.已知函数在上单调，且的取36633值不可能为（）375957A.B.C.D.5ABCD−ABCD的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是110.如图，点P是棱长为2的正方体111（）1BP−AADD的体积不变11A.当P在平面上运动时，四棱锥1ππ32B.当P在线段上运动时，1PAC与所成角的取值范围是,11ABABCDBCD上运动时，不存在点P满足PF//平面11C.若F是的中点，点P在底面1145所成的角为D.若点P在底面ABCD上运动，则使直线AP1与平面ABCD的点P的轨迹为圆上的一段弧二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）函数f(x)=3xln(x的定义域是_________．−+−x22y2212.已知椭圆C:+=ab0)的两个焦点分别为F1F，点P在C，上，且2abPF+PF=3FF，则椭圆C的离心率为__________.1212的前项和为，且Sn=，==3，则ann+22nS215=Sm30，则13.已知数列__________nm的最小值为__________.−x+a,x1()=fx，若f(x)的值域为(−,+)，则a的取值范围是__________.14.设函数−(−)2+x1ax2l:x+y−2=0l:x−2y+1=0lPPxx15.已知直线与相交于点P，直线与轴交于点，过点作轴的12111垂线交直线l2于点1，过点Q作y轴的垂线交直线于点，过点lPP2x作轴的工线交直线l于点2112(，…，记点n)的横坐标构成数列QP1，QP2，QPnN*，…，这样一直作下去，可得到一系列点，212，给出下列四个结论：xn1324①点Q,②数列单调递减；x2n2；n1142=2xnS2Sn1+Sn=4n+3③；的前项和满足：.nnn其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知中，a（1）求B的大小；2+c2=b+2ac.2（2）若c积.=3+1，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面13条件①sinA=；条件②b=2；条件③A=.22注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.π317.已知函数f(x)23sinxx2sin=+2xa，且+f=3.af(x)的最小正周期；（1）求的值及x[0,m]，且f(x)0，求实数m的最大值.（2）若AA1⊥是等腰直角三角形，18.如图，在三棱柱中，，D，E，F分别是棱平面，AA1=AB=AC=2BC，，BC的中点.11（1）证明：AD//平面CEF；1（2）求平面ADE与平面CEF1夹角的余弦值.x22y2219.已知椭圆C:+=ab0)的左、右顶点分别为A1，A2B(0,2)，焦距为25，点在椭圆上.ab（1）求C的方程；P0)的任意直线与椭圆CMNA1A2AM的斜率为，直k（2）过点交于，（不同于，）两点，直线112Nkk=k1线的斜率为.试问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.221f(x)=ln(ax)−x3(a0).在点20.已知函数31122（1）当a2时，求曲线=y=f(x),f处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）当a=1时，设g(x)=f(x)+t，若g(x)t有两个不同的零点，求参数的取值范围.是无穷数列，=，=，且对于中任意两项，，在中都存在一项aiaji)ana1aa2ba21.已知nnk(jk2)，使得akai.=−j（1）若a（2）若a=3，b=5，求a；3，求证：数列中有无穷多项为0；an（3）若ab，求数列a的通项公式.n参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】A【分析】应用集合的交运算求结果.−xx1{{.=−A【详解】由题设故选：A2.【答案】D【分析】根据复数除法的运算法则和复数模的计算公式进行求解即可.2−i(2−i)i+1【详解】iz=2−iz====−1−，iii1所以|z=故选：D(2+(2)=5，23.【答案】B【分析】根据指数函数、正弦函数及简单幂函数的性质及奇偶性定义判断各项函数的单调性、奇偶性.y=f(x)=x+2f(−x)=−x+2−f(x)【详解】A：由在定义域R上递增，但，不满足；y=f(x)=x+x3在定义域R上递增，且f(−x)=−x−x3=−f(x)，满足；B：由C：由ysinx在定义域R上不为增函数，不满足；=y=f(x)=2x在定义域R上递增，但f(x)2−=−x−f(x)，不满足D：由.故选：B4.【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.m−23=m=−6.【详解】由题设1故选：B5.【答案】A【分析】直接验证圆心是否在已知直线上以及圆是否过原点与点．(5,−10)2)在已知直线上，CD的圆心不在已知直线上，【详解】由已知只有选项A中圆心和B中圆心，代入原点和点故选：A．的坐标得，只有A中圆过原点和点6.【答案】A【分析】由三角形内角的性质，结合正切函数的性质及充分、必要性定义判断推出关系.πππAπ)AAA03或或正切3，则，则A【详解】由题设，若A；若323值不存在；所以“A故选：Aπ3”是“A”的充分不必要条件.37.【答案】D0,1【分析】利用中间值可以比较三者的大小关系.111()，【详解】因为=1，a=e2e0b=ln1=0c=sin，22所以acb故选：D.8.【答案】D【分析】利用弦长公式，建立关于k的不等式，直接求解.2k+1(−)2+y2=4，圆心(0)到直线y=+1的距离d=【详解】圆化简为标准方程为x2，2k+12+2k1=24−k23，+124−k0.解得：3故选：D9.【答案】Bππ4π4π【分析】由已知易得Tπ、f(−)=012，结合f=fx=不，利用正弦型函数的图象讨论633同对应点求的取值，即可得答案.ππ−,π6π=−f−Tπππf−(−)=Tπ，【详解】由f(x)在上单调，，故3362632ππ−+ππ4π4ππf(−)=0f=fx=对应为点C,,D,E四而326，则，又，如下图依次讨论=−1263312种情况，4ππTπ35−(−)==，则=，满足Tπ；若若3324ππ12−+=T=，则=，满足Tπ；3674ππ3ππ33π93π−(−)=T=12，则=，满足Tπ；由36，若=445244ππ4π247−=T=，则=，不满足Tπ，其它情况均不符合；若36综上，B不可能，A、C、D可能.故选：B10.【答案】C【分析】根据棱锥体积公式即判断A，建立空间直角坐标系，向量法求线线角、线面角，及利用法向量判断线面关系，即可判断BCD.1BDDP−AADD的距离恒为2，故四棱锥的体积不变，11【详解】当P在平面A对；上运动时，P到111D(0,2),P(x,2−x,A(2,C(0,2)如下图示空间直角坐标系，，111DP=(x,2−x,AC=(0)x[0,2]所以且，111π21PAC1所成角为设与且，则14|1−x|22x+(2−x)|1−x|cos|DP,AC==111，22+4(x−+321cos=1x=1cos=0；3x]当x1时，且，可得；当时，1+2(x−21ππ32cos],所以，故，B对；2D(0,2),C(0,0),B(2,2),(2,0),C(0,2)如下图示空间直角坐标系，，111所以DC=2),CB=(2,2),AC=(2)，则ACDC=ACCB=0，1111111所以AC⊥DC,AC⊥CB，又C且DC,CBCB1D面，1111111所以1⊥面CB11，即1是面CB1D的一个法向量，1F2),P(x,y,0)，则FP(xy−−2)，=−由BCDFP1=−2(x−2)+2(y−−4=0x−y+1=0，即，若PF//平面，则11x−y+1=0BCD有公共点，即存在点P满足PF//平面，C错；11显然，直线若点P在底面ABCD与底面ABCDABCDP(x,y,0)A(2,AP=(x−y,2)，则，1上运动，设，，则直线21AP1ABCD45所成的角为，又面的一个法向量m=(0,与平面2所以|,1P|=，整理得(x2)y24，−+=2|m||1P|−2+2+42(x2)y所以P的轨迹是以故选：C(2,0)为圆心，2为半径的圆，其在底面ABCD上轨迹为圆上的一段弧，D对.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）(3【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．3−x，解得1x3，【详解】解：由题意得x−1∴函数f(x)的定义域为3，故答案为：3．112.【答案】3+=2aFF=【分析】根据椭圆的定义及性质有，，结合已知条件即可求离心率.1212+=2aFF=PF+PF=3FF，1212【详解】由，，又1212c132a=6ce==.所以a1故答案为：313.【答案】①.4②.8a,aa}的奇数与偶数项分别成等比数列，从而可得数列的前几n【分析】求出，再由递推关系得出数列12项，利用{Sn}是递增数列，求出和在30左右的后可得的最小值．SmnS=a=3a=1a=2，，12【详解】∵，∴21an+2=2aa}a=a2=4a}，各项均为正，n2∵，∴的奇数与偶数项分别成等比数列，nn51因此{Sn}是递增数列，数列an}的前几项依次为：4,8,8,16,16,S7=1+2+2+4+4+8+8=29S=S+a=29+16=4530，，878m∴的最小值是8，故答案为：；814.【答案】0a2【分析】由分段函数解析式，结合一次函数、二次函数性质分别求出对应区间的值域，结合已知列不等式求参数范围.y=−x+a在(−上递减，且值域为[a−+)，又f(x)的值域为(−,+)，【详解】由y=−a(x−2)2+1开口向下，即a0，在+)上值域为(−,，对于所以a−11，即a2，故故答案为：0a215.【答案】①③0a2.P,1l1,l在直线上，设P(x,y)，依据题设各点的关系推得n【分析】由题设在直线上，12nn3112n1=−xxn=1+(−)n1，并构造等比数列，进而求得，最后依次判断各项正误.n2231313P(2,0),Q(2,P(,),Q(,)【详解】由题设，，故①对；1122222241131121231=−x，nQ(x,x+)P(−x,x+)x，即n1设P(x,y)，则，进而有nnnnnnn1nn2222221121所以−是以为首项，−x=1+(−)n1为公比的等比数列，则n，xn1−1=−(x−，故{x1nn2211对于，x=1+(−)2n1=1−2，易知数列单调递增，②错；x2nx2n2n4n2n114PP(x,2x)−，则n2=−2+−2=2(n=2−2由两直线交点和PP(nx)，③对；nnnn11−(−)n22110212S=n+n=n+−(−)n2Sn1=2n++(−)n2Sn1+Sn=n+4，所以，④由，故13323321−(−)2错；故答案为：①③三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）π16.1）B=；42+6（2）选①或③，三角形面积为．2）由余弦定理求得得B；（2）选①，由sinBsinA得三角形只有一解，然后求得sinC，由正弦定理求得，从而可得三角形面a积；选②，分析得三角形有两解；选③，求出sinA后，同选①计算．【小问1a2+c2−b22π∵a20BπB=，∴；+c2=b2+2ac，∴B==，又2ac24【小问21abπ21选①，sinA=，因为sinB，由=得ba，所以BAA=，因此，=2sinAsinB6223A=，26+2sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sinAB+AsinB=，42+3)cacsinAsinC2=a===2，由得sinCsinA6+241122+6S=acsinB=2+3)=；2222选②，b=2，c=1+CB，3b，∴2cb+3)=+又sinCsinB，sinCcsinB26，∴C角可能为锐角也可能为钝角，三角2===b24形是两解，不合题意；π123=Aπ)A=，sinA=选③，A，而，∴，以下同选①．2617.1）a0=，最小正周期为T=π；2π（2）.3πf(x)=2sin(2x−)+1+a1）由倍角正余弦公式、辅助角公式有，结合已知求参数，进而求6正弦型函数的最小正周期；ππ7π−2m−.（2）根据正弦型函数的性质有【小问1求参数范围，即可得最大值666ππ3πf(x)=3sin2x−cos2x+1+a=2sin(2x−)+1+af2sin=+1+a=3，由，且62π2π所以a=0，故f(x)=2sin(2x−)+1，其最小正周期为T==π.62【小问2πx[0,m]，显然f(0)=02sin(2m−)+10，结合正弦函数的性质，只需，即由6π1sin(2m−)−，62ππ7π2π2π−2m−0mm，即的最大值为.所以，可得6663318.1）证明见解析；1（2）.5FD,CD，且CD,FC交于GC为矩形，即G是CD中点，连接）连接点，易得四边形1，中位线性质有EG//AD，再由线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，向量法求面面角的余弦值.【小问1FD,CD，且CD,FC交于GAA1⊥面BC1BC，的中点，连接所以点，又，D、F分别是棱11DF//CC//AA,DF=CC,CCBC垂直，面，11，即都与面1111⊥BCC⊥，故四边形11C为矩形，即G是CD中点，连接所以，111又E是棱的中点，在中EG//AD，EG面1EFAD1EF，面，所以AD//平面CEF1；【小问2是等腰直角三角形且=，故△BAC=90，111ABC也为等腰直角三角形且111AA1⊥面，构建如图空间直角坐标系A−xyz，1又则(0,2),D0),E2),F2),1(0,0)，所以AD=−=0),EF=0),1=2)，my−2z=0若m(x,y,z)是面=ADE的一个法向量，则，取，z=1，则m=)2m=y=0n0若n=(a,b,c)是面1EF的一个法向量，则，取c=1，则n=(0,，nb−c=01111所以|,n|=，平面ADE与平面1EF夹角的余弦值为.|m||n|5555x2y2+=119.1）941=.（2）存在，2）根据题设及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程；t9+t329+t2:x=ty+1y+y=−yy=−、MN（2）令，联立椭圆并应用韦达定理求得，进而MN2429表示出xM+xN、xxM，令AN1的斜率为，结合椭圆性质易得kk=−k1=−，且，即可判断存N9k2在性.【小问1c=2522==4a94x2y2=1=b，故C+=1；由题设的方程为b2b94a22+c2【小问2由题意，直线MN不与x轴重合，令:x=ty+1，联立椭圆方程得4(ty+2+9y2=36，t9+t329+t22)y2+ty−32=0，显然0，则yMyN+=−yy=−，MN所以所以+t，2189+t−t2)x+x=t(y+y)+2=xx=tyy+t(y+y)+1=2，，MNMN2MNMNMN+9t2yNyNy2N−2N92N4y2N−49xyAN1的斜率为，则kkk2==+=1，即=−令，而，所以xN3x+−3x2N9x2N9N4k=−，9k23294−yM+yNMyyN+t2k1===又+3xMxNxMx)9t)+++−254xM3xNN++99+t29+t2−32)+54+81+t29==−2，−t2419k221k21211−=−=k=k=.所以，即存在21922x−12y−11=020.1）；1（2）答案见解析；）t.3）利用导数的几何意义求切线方程；1−x3（2）由题设f(x)=，讨论、，结合对应的定义域及其导数符号判断单调性；a00x1t=x3−xx+)有两个不同根，利用导数研究右侧的值域范围，即可得参数（3）问题化为在在3范围.【小问11111174f(x)=ln(2x)−x3f(x)=−x2f()=−f()=由题设，则，故，，3x22421122171,fy+=(x−)，即x−12y−11=0.所以在点处的切线方程为2442【小问211−x3=−x2=由f(x)，xxx(,0)f(x)0(−,0)，即f(x)在当0，定义域为当a0，定义域为，此时1x30，故−上递减；x+)，f(x)0，x若若，则f(x)上递增；x+)f(x)0+)上递减；，则，f(x)在【小问31133f(x)=x−x3g(x)=x−x+tx在+)有两个不同零点，由题设，，故31t=x3−xx+)所以在在有两个不同根，313x3−1h(x)x