作业06 开普勒定律和万有引力定律的应用（原卷版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：暑假作业06开普勒定律和万有引力定律的应用一、开普勒行星运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。二、万有引力与重力的关系1．万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。（2）表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。（3）适用条件：①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。三、星体表面上的重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得所以。四、天体质量密度估算1.“自力更生”法(g－R)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。2.“借助外援”法(T－r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。1．奥陌陌是人类发现的第一个来自太阳系之外的星际物体。它于2017年被观测到。由于其飞行轨迹几乎垂直于太阳系中行星的轨道平面，天文学家们很快就确定它来自太阳系之外。奥陌陌的飞行轨迹如图所示，其中N点是奥陌陌飞行轨迹中距离太阳最近的点，P点为地球绕太阳运行轨道上的一点，且N点离太阳的距离比P点离太阳的距离更近。若在太阳系内只考虑太阳引力作用，则下列说法正确的是（）A．奥陌陌从Q点飞向N点的过程中，动能逐渐增大B．在相等时间内，奥陌陌、地球与太阳中心的连线扫过的面积一定相等C．奥陌陌在N点的速度可能小于第三宇宙速度16.7km/sD．奥陌陌在N点的加速度不一定大于地球在P点的加速度【答案】A【详解】A．奥陌陌从Q点飞向N点的过程中，万有引力做正功，动能逐渐增大，故A正确；B．根据开普勒第二定律可知，在同一个轨道上，在相等的时间内行星与太阳的连线扫过的面积相等，故B错误；C．奥陌陌是人类发现的第一个来自太阳系之外的星际物体，故奥陌陌在N点的速度必须等于或大于第三宇宙速度16.7km/s，故C错误；D．根据牛顿第二定律有解得其中M为太阳的质量，r为天体离太阳的距离，可知，奥陌陌在N点的加速度大于地球在P点的加速度，故D错误。故选A。2．火星一直被科学家视为人类的第二家园，人类很可能在二十一世纪内成功移民火星。如图所示，火星的半径为，甲、乙两种探测器分别绕火星做匀速圆周运动与椭圆轨道运动，两种轨道相切于椭圆轨道的近火点A，圆轨道距火星表面的高度为，椭圆轨道的远火点与近火点A之间的距离为，若甲的运动周期为，则下列说法正确的是（）A．乙的运动周期为B．乙的运动周期为C．甲、乙两探测器在相同时间内与火星中心连线扫过的面积相等D．乙从飞向的过程中加速度逐渐增太【答案】A【详解】AB．根据题意可得，甲的公转轨道半径为乙的椭圆运动的半长轴为设乙的运动周期为，由开普勒第三定律综合解得A正确,B错误；C．开普勒第二定律中相同时间内扫过的面积相等是对于同一天体，C错误；D．由近火点向远火点运动，根据可知其所受引力变小，根据牛顿第二定律可知其加速度变小，D错误。故选A。3．牛顿在建立万有引力定律的过程中进行了著名的“月地检验”。已知月地距离约为地球半径60倍，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证（

）A．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的B．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的C．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的【答案】D【详解】根据万有引力定律和牛顿第二定律可得可得已知月地距离约为地球半径60倍，所以想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。故选D。4．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为，地球的半径为，则地球的自转周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】两极处有赤道处有联立解得故选D。5．2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为，空间站离地面的高度为。假设地球质量分布均匀，半径为，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为处和高度为处的重力加速度之比为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设质量为的物体在马里亚纳海沟底处，有又质量为的物体在空间站上，有解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为故选A。6．假设地球是一半径为，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。忽略地球自转的影响，距离地球球心为处的重力加速度大小为，下列关于关系描述正确的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】设地球的密度为，当时，有可得当时，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为的部位，受到地球的万有引力是半径等于的球体在其表面产生的万有引力，则有当后，有故选B。7．2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（

）A．试验船的运行速度为 B．地球的第一宇宙速度为C．地球的质量为 D．地球表面的重力加速度为【答案】B【详解】A．试验船的运行速度为故A错误；BCD．根据万有引力提供向心力可得可得地球的质量为在地球表面有解得地球表面的重力加速度为地球的第一宇宙速度等于表面轨道卫星的运行速度，则有可得地球的第一宇宙速度为故B正确，CD错误。故选B。8．据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（

）A．月球的第一宇宙速度为B．月球的质量为C．月球表面的重力加速度为D．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为【答案】A【详解】C．根据竖直上抛运动规律有解得在月球表面的重力加速度为，C错误；B．根据月球表面重力等于万有引力可知解得，B错误；A．根据万有引力提供圆周运动向心力可知由此解得，第一宇宙速度为，A正确；D．绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为，D错误。故选A。9．2024年3月，航天科技集团相关研究团队表示，中国计划2030年前后完成火星采样返回。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，已知万有引力常数为G，则（

）A．火星的公转周期和地球的公转周期之比为B．火星的自转周期和地球的自转周期之比为C．探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为D．火星的平均密度为【答案】C【详解】A．设太阳质量为M，火星、地球质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，公转周期分别为T1、T2，则由万有引力提供向心力；解得故A错误；B．由题意可知，无法比较火星的自转周期和地球的自转周期，故B错误；C．设火星、地球的半径分别为R1、R2，探测器质量为m，运行速度分别为v1、v2，则；解得故C正确；D．探测器绕火星表面附近运行时，有解得火星的质量为火星的体积为即火星的平均密度为故D错误。故选C。10．假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v，轨道半径为。若已测得该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设小球的质量为m，该星球的质量为M，该星球表面的重力加速度为g，因小球恰好做完整的圆周运动，由牛顿第二定律以及向心力公式可得解得对于该星球表面质量为m′的物体，万有引力近似等于其重力，即由此可得M＝故选D。11．如图所示，木星是太阳系内质量和体积最大的行星，木星绕太阳沿椭圆轨道运动，P点为近日点，Q点为远日点，P点到太阳的距离为距离的四分之一，M、N为轨道短轴的两个端点，木星运行的周期为T，若只考虑木星和太阳之间的引力作用，下列说法正确的是（

）A．木星从P到Q的加速度越来越小B．木星与太阳连线和地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等C．若木星的轨道长轴是地球轨道长轴的4倍，则木星绕太阳一圈的周期为4年D．木星经过P、Q两点的速度大小之比为3:1【答案】AD【详解】A．根据万有引力定律，从近日点到远日点，万有引力变小，加速度变小，故A正确；B．由开普勒第二定律可知，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，或地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，故B错误；C．根据开普勒第三定律，可解得木星绕太阳一圈的周期为8年，故C错误；D．由开普勒第二定律可得，木星经过P、Q两点时，在很短的时间内,与太阳连线扫过的面积相等其中，、分别为两点到太阳的距离，由题意可得，，带入上式解得木星经过P、Q两点的速度大小之比为3:1，故D正确。故选AD。12．2022年1月22日，我国将一颗失效的北斗二号G2卫星从轨道半径为R1的地球同步轨道上变轨后运行到轨道半径为R2的“墓地轨道”上，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行。该过程的简化示意图如图所示。已知椭圆形转移轨道与同步轨道和“墓地轨道”分别相切于P、Q两点，则北斗二号G2卫星（

）A．在转移轨道上Q点的加速度小于在“墓地轨道”上Q点的加速度B．在转移轨道上Q点的速度小于在“墓地轨道”上Q点的速度C．在转移轨道上P点的速度与Q点速度之比为R1∶R2D．沿转移轨道从P点运动到Q点所用的时间为天【答案】BD【详解】A．根据牛顿第二定律有解得可知卫星在轨道上离地心的距离相同时，则其所处位置的加速度相同，在转移轨道上Q点和“墓地轨道”上Q点距地心的距离相同，因此加速度相同，故A错误；B．卫星在转移轨道上Q点必须点火加速，使其自身做离心运动才能进入“墓地轨道”轨道，因此，卫星在转移轨道上Q点的速度小于在“墓地轨道”上Q点的速度，故B正确；C．根据开普勒第二定律可知，物体在同一轨道上环绕中心天体运行时，在相同时间内与地心连线扫过的面积相等，设卫星分别在远地点Q和在近地点P分别运行极短时间，则有可得故C错误；D．根据几何关系可得转移轨道的半长轴根据开普勒第三定律可得其中同步卫星轨道运行周期天解得天从P运动到Q的时间为半个周期为故D正确。故选BD。13．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，若其线速度的平方与轨道半径倒数的图像如图中实线所示，该直线斜率为，图中为地球半径，则对于地球表面的重力加速度和第一宇宙速度的下列说法正确的是（）

A． B． C． D．【答案】BD【详解】根据万有引力提供向心力得解得由题意对于地球表面解得第一宇宙速度解得故选BD。14．2020年12月8日，中、尼两国共同宣布珠峰最新高程为8848.86米。若在海拔H处的珠峰上和地面上分别以v1、v2水平抛出一物体均恰好不落回地面，并测得海拔H处的重力加速度为地面上重力加速度的k倍，地球可视为半径为R、质量均匀的球体，则下列各式正确的是（）A．= B．= C．(）2= D．(）2=k【答案】BC【详解】AB．在地面上万有引力等于重力，则有海拔H处有联立解得=故B正确，A错误；CD．由题意可知、则(）2=故C正确，D错误。故选BC。15．假设火星极地处表面的重力加速度为g0，火星赤道处表面的重力加速度为g1，火星的半径为R。已知物体在火星的引力场中引力势能是，G为引力常量，M为火星的质量，m为物体的质量，r为两者质心的距离。某同学有一个大胆的想法，在火星赤道平面沿着火星半径挖深度为的深井，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列结论正确的是（）A．火星的第一宇宙速度B．火星的第二宇宙速度C．火星深井底部的重力加速度为D．火星的自转周期【答案】AC【详解】A．物体在火星附近绕火星做匀速圆周运动的速度，叫作火星的第一宇宙速度，在火星两极万有引力与重力相等，故据万有引力提供圆周运动向心力有可得火星的第一宇宙速度故A正确；B．火星的第二宇宙速度是逃离火星束缚的最小发射速度，若以此发射速度发射航天器至离火星无穷远处，则据重力做功与重力势能变化关系有WG=EpR-Ep∞在此过种只有重力做功，根据动能定理有WG=Ek∞-EkR联列两式可得：航天器的发射时的动能EkR=Ek∞-EpR+Ep∞由题意可知EP∞=0代入可得发射时的动能当Ek∞取零时，发射时的动能有最小值，又据可以计算得出火星的第二宇宙速度代入可得故B错误；C．星球表面的重力加速度等于星球对物体表面的万有引力，令星球的密度为ρ，则半径为R的星球质量为据万有引力等于重力可得可得星球表面的重力加速度即密度相同的情况下，星球表面的重力加速度与星球的半径R成正比，故火星深井底部的重力加速度与火星表面的重力加速度之比等于半径比，即火星深井底部的重力加速度等于火星赤道表面重力加速度的一半，即g′＝g1故C正确；D．火星表面受到的万有引力等于mg0，在火星赤道，万有引力=重力+自转运动的向心力，即由此可解得火星的自转周期故D错误。故选AC。16．已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小g随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示。关于P、Q星球，下列说法正确的是（）A．质量相同 B．密度相同C．第一宇宙速度大小之比为2:1 D．同步卫星距星球表面的高度之比为1:2【答案】BD【详解】A．由题图可知，两星球的重力加速度大小和半径之比都是1∶2，由可得则两星球的质量之比故A错误；B．由可得故两星球密度相同，故B正确；C．由可得则两星球的第一宇宙速度大小之比故C错误；D．由可得则两星球同步卫星的轨道半径之比又因为两星球的半径之比为1：2，故同步卫星距星球表面的高度之比也为1：2，故D正确。故选BD。17．某行星外围有一圈厚度为d的发光物质，简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确观测后发现：发光带绕行星中心运行的速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中所标v0为已知），则下列说法正确的是（）A．发光带是该行星的组成部分 B．行星表面的重力加速度C．该行星的质量为 D．该行星的平均密度为【答案】BC【详解】A．若光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有与应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A错误；B．当时有可得行星表面的重力加速度为故B正确；C．光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有可得该行星的质量为由图乙知，当时，，则有故C正确；D．该行星的平均密度为故D错误。故选BC。18．宇航员飞到一个被稠密气体包围的某行星上进行科学探索。他站在该行星表面，从静止释放一个质量为m的物体，由于运动时气体阻力f（阻力与速度有关）的作用，其加速度随下落位移变化x的关系图像如图所示。已知该星球半径为R，万有引力常量为G，图中、为已知量。下列说法正确的是（

）A．该行星的平均密度为B．卫星在距该行星表面高R处的圆轨道上运行的周期为C．阻力f和下落位移x的关系式可表示为D．物体下落过程中的最大速度为【答案】ACD【详解】A．开始下落时的加速度为a0，则该行星的平均密度为选项A正确；B．卫星在距该行星表面高R处的圆轨道上运行时可得周期为选项B错误；C．由牛顿第二定律由图像可知开始下落时的加速度为a0，联立可得故C正确；D．根据可知a-x图像的面积等于，则物体下落过程中的最大速度为故D正确。故选ACD。19．如图所示一个水平转盘装置可绕着中心轴旋转，转盘上有一质量为m的物块放在距离转轴r处，随着转盘一起做匀速圆周运动，已知物块与转盘之间的动摩擦因数为µ。若该装置在地面上以某一角速度转动时，物块恰好发生滑动。重力加速度为g，万有引力常数为G。请用题目中所给的字母表示以下物理量（最大静摩擦等于滑动摩擦力）。（1）转盘装置转动的角速度大小；（2）若把该装置放到另一个半径为R的星球上时，物块也恰好发生滑动时，转盘转动的角速度是地球上的倍，求该星球的质量M。【答案】（1）；（2）【详解】（1）若该装置在地面上以某一角速度转动时，物块恰好发生滑动，则解得（2）当把该装置放到另一个半径为R的星球上时，物块也恰好发生滑动时，有根据万有引力与重力的关系有解得20．神舟飞船在预定轨道上飞行时，每绕地球一圈需要的时间为T，每圈飞行的路程为L。已知地球的半径为R，引力常量为G。（1）请用以上物理量表示地球的质量。（2）已知，，，。如果飞船沿赤道平面自西向东飞行，太阳直射赤道，如图所示，请计算航天员每天能看到日出日落的次数及飞船每转一圈航天员看不见太阳的时间（结果与题中单位统一，保留到整数）。【答案】（1）；（2）16次，36min【详解】（1）由可得神舟飞船的轨道半径为设飞船的质量为m，飞船绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力有联立解得地球的质量（2）设航天员一天能看到日出日落的次数为n，则飞船转到地球的背影区，航天员就看不到太阳了，如图所示由几何关系可知解得则航天员每转一圈，看不到太阳的时间为21．如图所示，火箭内的平台上放有测试仪器A，质量为m，