黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

2024级高一学年上学期10月份月考试题数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．集合的真子集的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．83．已知，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．4．已知集合，，若．则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知正数满足，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．7．某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（）A．24人 B．26人 C．36人 D．38人8．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（）A． B．C．或 D．或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中为真命题的是（）A．，B．，C．若．则“”是“”的充要条件D．若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件10．给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（）A．集合是闭集合B．已知集合是闭集合，若，则C．存在只含有101个元素的闭集合D．若集合是闭集合，且，则11．已知关于的不等式的解集为，则（）A．B．C．的最大值为1D．当时，设关于的方程的解分别为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．命题“，”的否定是______．13．已知集合，，若，则实数的取值范围为______．14．已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知，．（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．17．（15分）一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．（1）求关于的关系式；（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？18．（17分）已知二次函数．（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集．19．（17分）已知集合．（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；（2）若，，证明：；（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式．则称这个数为完全平方数）．

2024级高一学年上学期10月份月考试题·数学参考答案、提示及评分细则1．C，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．2．A由题知，所以集合的真子集的个数是．3．D取，，，则，故A错误；取，，，则，故B错误；取，，则，故C错误；因为，所以，所以，故D正确．4．B由题可知或，，由，可得，所以．5．B，当且仅当，时取等号．6．C当时，恒成立；当时，由题意，得解得，综上，实数的取值范围为，则“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是．7．A设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，所以参加运动的有：人，由题意得，解得，所以只参与两个运动项目的有24人．8．C不等式可化为，①时，不等式的解集为，不合题意；②当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；③当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．综上可知，正数的取值范围为或．9．ABD因为，所以，，故A正确；取，则，所以，，故B正确；当时，显然成立，故C错误；因为2是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．10．ABD由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．11．BC由题意知即则，显然当时，，故A错误；，即，故B正确；，又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；方程可化为，整理得，解得，，则，当时，，故D错误．12．，命题“，”的否定是“，”．13．或由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，集合为反比例函数上的点构成的集合，若，则方程有非零解，整理得，则，解得或．14．6因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立．由，得，整理得，即，所以．因为存在实数，使得恒成立，所以，即的最小值为6．15．解：（1）由，得或，由，得，所以或．（2）由，得．①当，即时，，满足，符合题意．②当，即时，若满足，则有解得．综上所述，实数的取值范围为．16．解：（1）由，得；当时，由，得．若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，当真假时，解得；当假真时，解得，综上，实数的取值范围为或．（2）由，得．因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．17．解：（1）由题意知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，则有，整理得．（2）由（1）知绘画墙墙面的面积，则，由基本不等式，有，当且仅当时取等号．故，此时，故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．18．解：（1）令，则有，得两点的坐标分别为，令，得点的坐标为，故的面积为，解得或．（2）不等式可化为，若不等式恒成立，则必有解得，故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．（3）不等式可化为，①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为．19．（1）解：由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；由，，知20，2