安徽省六安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期3月开学考试试题理含解析

PAGE23-安徽省六安市第一中学2024-2025学年高二数学下学期3月开学考试试题理（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．2.从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001，002，003，…，500进行编号．假如从随机数表的第7行第4列的数2起先，从左往右读数，则依次抽取的第5个个体的编号是（）附：随机数表第6行至第8行各数如下162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672172065025834216337663016378591695556719981050717512867358074439523879A.217 B.245 C.421 D.206【答案】C【解析】【分析】依据随机数表，找到第7行第4列的数起先向右读，依次找寻号码小于500的即可得到结论．【详解】由题意，找到第7行第4列的数起先向右读，第一个符合条件的是217，其次个数553，不成立，第三个数157，第四个数245，这样依次读出结果，合适的数是217，157，245，217，206，421，其中217前面已经重复舍掉，故第五个数是421．故选：C.【点睛】本题主要考查抽样方法，随机数表的运用，考生不要忽视，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题.3.设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线的一支相交，不满意题意．（2）由直线过焦点可设直线的方程为：，求出双曲线的渐近线方程，若直线与双曲线的左、右两支都相相交，则，整理即可．【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线的一支相交，不满意题意．（2）由直线过焦点可设直线的方程为：，由双曲线的方程可得其渐近线方程为，若直线与双曲线的左、右两支都相相交，则，整理得：，即：，故选B．【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的交点状况问题，把双曲线的渐近线与直线作对比，即可推断直线与双曲线的交点状况．然后把问题转化成渐近线的斜率与直线斜率之间的大小问题求解．4.我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0,1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计的近似值为（）A.3．119 B.3．124 C.3．132 D.3．151【答案】B【解析】【分析】利用几何概型公式可得：发生的概率为，我们可分析出程序的功能是利用随机模拟试验的方法任取上的，求的概率，当输出的结果为781时，发生的概率为，然后利用二者相等即可求出答案.【详解】利用几何概型公式可得：发生的概率为题目中程序的功能是利用随机模拟试验的方法任取上的，求的概率当输出的结果为781时，发生的概率为所以，解得故选：B【点睛】本题考查的是用随机数法估计的值，其中用到了概率的计算公式，较简洁.5.给出如下四个命题：①“”是“”的充分而不必要条件；②命题“若，则函数有一个零点”的逆命题为真命题；③若是的必要条件，则是的充分条件；④在中，“”是“”的既不充分也不必要条件．其中正确的命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一推断即可得到结论.【详解】①由，解得；由，解得；所以，“”是“”的必要不充分条件，故命题①错误；②由函数有一个零点，当时，函数有一个零点，符合题意；当时，由，解得，此时函数有一个零点；所以，函数有一个零点的等价条件为，故命题“若，则函数有一个零点”的逆命题为“函数有一个零点，则”此命题为假命题，故命题②错误；③若是的必要条件，可得，则，所以是的充分条件，故命题③正确；④在中，若，由于，必有，若，都是锐角，有成立；若，之一为锐角，必是为锐角，此时有不是钝角，由于，必有，此时有；若，当不是锐角时，有，当为锐角时，仍可得到；故“”是“”的充要条件，故命题④错误.综上，命题③正确.故选：A.【点睛】本题以命题的真假推断为载体，考查了充要条件，复合命题等学问，难度不大，属于基础题.6.设、满意，若目标函数（，）的最小值为2，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先作出、满意不等式组的可行域，再求出目标函数的最小值，再结合重要不等式求解即可.【详解】解：、满意的可行域如图所示，因为目标函数（，），故当目标函数所对应直线过点时，目标函数取最小值，由已知有，则，即的最大值为，故选A.【点睛】本题考查了简洁的线性规划问题，重点考查了重要不等式，属基础题.7.点为椭圆上随意一点，为圆的随意一条直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用化简可知，再利用，即可得到结论.【详解】由题意，又为圆的随意一条直径，则，在椭圆中，有，即，所以，，故的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的简洁性质，留意解题方法的积累，属于中档题.8.在以下命题中：①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③对空间随意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】依据空间向量的运算法则，逐一推断即可得到结论.【详解】①由空间基底的定义知，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，故①正确；②由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故②正确；③由，依据共面对量定理知四点不共面，故③错误；④由，当时，向量与向量，构成的平面共面，则不能构成空间的一个基底，故④错误；⑤利用反证法：若不构成空间的一个基底，设，整理得，即共面，又因为空间的一个基底，所以能构成空间的一个基底，故⑤正确.综上：①②⑤正确.故选：D.【点睛】本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础学问，以及空间基底的定义，共面对量的定义，属于基础题．9.如图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形的，和．若，，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为，Ⅱ所对应的面积，整个图形所对应的面积，所以，此点取自Ⅱ的概率为.故选：D.【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.10.设点P在曲线上,点Q在曲线（为参数）上,求||的最小值（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【详解】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是的最小值1．考点：直线与圆的位置关系．11.设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.【详解】由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础学问的驾驭实力.解答本题的关键是依据求出.12.设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为，则即，又椭圆E上存在一点P使得，∴，即，∵，∴，即，解得．∵，∴．本题选择C选项.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事务是__________．①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；④“至少有一个黑球”与“都红球”【答案】③【解析】【分析】依据红球和黑球的数量，结合互斥事务和对立事务的定义，逐一对题目中的四个结论进行推断，即可得到结果【详解】当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故①中的两个事务不互斥；当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，故②中的两个事务不互斥；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不行能同时发生，但有可能同时不发生，故③中两个事务互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“都是红球”不行能同时发生，但必定有一种状况发生，故④中两个事务对立．故答案为③．【点睛】本题考查了互斥事务与对立事务，娴熟运用互斥事务与对立事务的定义是解答本题的关键，本题较为基础.14.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的是__________．【答案】17【解析】分析：模拟执行程序框图，只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，不满意条件，执行循环体；不满意条件，执行循环体；不满意条件，退出循环，输出的值为，故答案为.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时确定留意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)留意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)留意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时确定要正确限制循环次数；(5)要留意各个框的依次,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.已知，命题对，不等式恒成立；命题，使得成立．当时，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是__________________．【答案】【解析】命题对,不等式恒成立,∴解得当时,,使得成立,即∵假,为真,∴必一真一假,∴或

,∴或故答案为16.给出下列命题：①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量和的数据得到其回来直线方程，则确定经过点；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；⑤在回来直线方程中，当说明变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中真命题的序号是_________．【答案】②④⑤【解析】【分析】依据线性相关系数，回来直线方程，抽样方法，方差的公式，逐一推断即可得到结论.【详解】①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故①不正确；②由变量和的数据得到其回来直线方程，其点为样本中心点，确定在回来直线方程上，故②正确；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，而是系统抽样，故③错误；④由方差的公式，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，其平均数也相应的增加或削减同一个常数，故方差不变，故④正确；⑤在回来直线方程中，当说明变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，故⑤正确.故答案为：②④⑤.【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样方法，考查线性回来方程，考查推断两个相关变量之间的关系，这种题考查的学问点比较多，须要仔细分析，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.某中学实行了一次“数学基础学问竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成果状况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．依据的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成果在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参与“市级数学基础学问竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本容量和频率分布直方图中，的值；（2）由频率分布直方图得分数在内的学生有人，分数在内的学生有人，即可得到恰有一人得分在内的概率.【详解】（1）由题意知：样本容量，频率分布直方图中的，.（2）由频率分布直方图得分数在内的学生有人，分数在内的学生有人，所以，所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、概率等基础学问，考查数据处理实力、运算求解实力，考查数形结合思想，函数与方程思想，属于基础题．18.如图，在正方体中，，，分别是，，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得∥平面？请证明你的结论；（3）求直线与平面所成角的余弦值；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到结论.（2）依据题意，利用空间向量计算，即可得在上存在点，使得平面（3）利用空间向量计算得直线与平面所成角的正弦值，进而可得余弦值.【详解】由题意，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，，（1）由题意，，，所以，异面直线与所成角的余弦值，故异面直线与所成角的余弦值为.（2）在上存在点，使得平面，此时有.证明如下：假设在棱上存在点，使得平面，设，则，设平面的一个法向量为，由，即，取，解得，，∴平面的一个法向量为，由题意，得，即，即，所以，在上存在点，使得平面，此时有.（3）直线与平面所成角的正弦值：，所以，直线与平面所成角的余弦值.【点睛】本题主要考查了异面直线所成夹角问题和直线与面平行的判定，直线与平面所成角的余弦值，属于基础题.19.如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．（1）求证：（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，即可证明；（2）利用空间向量的运算，先建立空间直角坐标系，再利用空间向量的夹角公式运算即可得解.【详解】解：（1）由图1可知，四边形为菱形，则，则在图（2）中，，所以，又，所以，又故；（2）因为，所以，设AB=,则,又所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,，则,则面的法向量为，设面的法向量为，则,则，令,则,则，所以cos===,又由图可知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直的判定及利用空间向量求二面角的平面角的大小，属中档题.20.已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）点不存在.【解析】分析：（1）依据椭圆的几何性质知，即，再由离心率得，从而可得，得椭圆方程；（2）假设点P存在，并设，写出PA的方程，求出M点坐标，同理得N点坐标，求出MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D得一关于的等式，把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得，留意的范围，即可知存在不存在．详解：（1）由已知，得知，又因离心率为，所以.

因为，所以,

所以椭圆的标准方程为.（2）假设存在.设由已知可得，所以的直线方程为，

的直线方程为，令，分别可得，，

所以，

线段

的中点，

若以为直径的圆经过点D（2,0），则,

因为点在椭圆上，所以，代入化简得，所以，而，冲突，所以这样的点不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采纳“确定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满意条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在．21.已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，依据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最终依据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，依据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，