2025版高考数学一轮复习单元评估检测五第十章文含解析北师大版

PAGE1-单元评估检测(五)(第十章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为 ()A.2 B.2或-2C.-2 D.-1【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得a4=1a≠7-2.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为 ()A.1 B.2 C.4 【解析】选B.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为x-y+2=0,它与两坐标轴分别交于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为123.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=3x,它的一个焦点落在抛物线yA.x28-y224=1 B.C.x24-y212=1 D.【解析】选C.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上,可得c=4,即16=a2+b2,a=2,b=23.所求的双曲线方程为x24-4.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(A.23 B.53 C.49【解析】选A.由椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0),经过点A(所以c=9-5=2,其离心率e=5.在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是 ()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定【解析】选A.因为asinA+bsinB-csinC=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0,所以圆心C(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=|c|a2+b2=1=r,所以圆C:x2+y6.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为A.1-32 B.2-C.3-12 【解析】选D.在直角三角形PF1F2中,|F1F2|=2c,∠PF2所以|PF1|=3c,|PF2|=c,又|PF1|+|PF2|=2a,所以3c+c=2a,解得e=ca=23+17.(2024·榆林模拟)已知l是双曲线C:x22-y24=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左、右焦点,若PF1·PFA.233 B.2 C.2 【解析】选C.由已知F1(-6,0),F2(6,0),不妨设l的方程为y=2x,点P(x0,2x0),由PF1·PF2=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2,所以点P到8.椭圆与双曲线共焦点F1,F2,它们的交点P对两公共焦点F1,F2的张角为∠F1PF2=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则 ()A.cos2θe12+sin2θC.e12cos2θ+e2【解析】选B.设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,并设PF1=m,PF2=n,其中m>n,焦距为2c,在△PF1F2中,由余弦定理得2mncos2θ=2c由椭圆和双曲线的定义得m解得m代入m2+n2-2mncos2θ=2c得a1+a22+a1-a22即a12+a22+a22-a所以a121-cos2即2a12sin2θ+2a22cos2θ所以a12si因此,sin2θe9.已知双曲线x23-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且M为抛物线的准线与x轴的交点,N为抛物线上的一点,且满意|NF|=32|MN|,则点F到直线A.12 B.1 C.3【解析】选D.双曲线x23-y2=1的右焦点为(2,0),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为则2=p2,解得p=4,则抛物线方程为y2=8x,准线方程为x=-2,由点N向抛物线的准线作垂线,垂足为R,则由抛物线的定义,可得|NR|=|NF|=32|MN|,从而可以得到∠NMR=60°,从而得到∠NMF=30°,所以有点F到直线MN4sin30°=2.10.(2024·厦门模拟)已知抛物线x2=4y,斜率为-12的直线交抛物线于A,B两点.若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P,则点P到直线AB的距离为A.52 B.5 C.325【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Px1+x22PB=x2依据题意得到PA·PB=0.设直线方程为x=-2y+n,联立直线和抛物线方程得到4y2-4(n+1)y+n2=0,所以16PA·PB=-(x1-x2化简得到-(y1+y2)2+5y1y2+y1+y2+1=0,依据根与系数的关系,将根的和与乘积代入化简得到n=2.此时直线为x=-2y+2,点P坐标为Px1+x22,-1=P(-(y1+y211.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点动身的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.依据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2A.2∶3 B.1∶2C.1∶3 D.1∶3【解析】选C.由椭圆的光学性质得到直线l′平分∠F1PF2,因为S△PMF1=|P由|PF1|=1,|PF1|+|PF2|=4得到|PF2|=3,故|F1M|∶|F212.已知双曲线x23-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则△OAB(O为坐标原点)世纪金榜导学号A.43 B.3 C.14 D.23【解析】选D.双曲线x23-y2=1中a=c=3+1=2,右焦点为(2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(2,0),即2=p2,解得p=4,即抛物线方程为y2联立直线y=kx+m得k2x2+(2km-8)x+m2=0,判别式Δ=(2km-8)2-4k2m设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=8-由点M(2,2)是AB的中点,得8-解得k=2,m=-2,满意判别式大于0,所以x1+x2=4,x1x2=1,弦长|AB|=1+4·(x1+x2)2-4x1x2=5×16-4=215,点O到直线2x-y-2=0的距离d=|0-0-2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为.

【解析】圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.答案:x2+(y+1)2=514.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.

【解析】如图,l=C△PAF=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PQ|+|AF|≥|AQ|+|AF|,当且仅当A,P,Q共线时,等号成立.此时|AQ|=xA+2=8,|AF|=42所以l≥8+5=13.答案:1315.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段【解析】令双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为(c,0),垂线段的长度即焦点到准线的距离,即|bc±a所以双曲线的离心率满意e2=c2a2=a即e=52答案:516.点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是锐角三角形【解析】因为圆M与x轴相切于焦点F,所以圆心与F的连线必垂直于x轴,不妨设M(c,y),因为M在椭圆上,则y=±b2所以圆的半径为b2由题意|y|>c>22所以c2<b2a2<所以e2<(1-e2)2<2e2,所以6-22答案:6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)因为kBC=5,所以BC边上的高AD所在直线斜率k=-15所以AD所在直线方程为y+1=-15即x+5y+3=0.(2)BC的直线方程为:y+2=5(x-3).点A到直线BC的距离为|2×5|BC|=(3-4所以△ABC的面积为3.18.(12分)已知圆x2+y2-4y+3=0的圆心为点M,直线l经过点(-1,0).(1)若直线l与圆M相切,求l的方程.(2)若直线l与圆M相交于A,B两点,且△MAB为等腰直角三角形,求直线l的斜率.【解析】(1)x2+y2-4y+3=0⇔x2+(y-2)2=1,所以点M的坐标为(0,2),当直线l斜率存在时,设直线y=k(x+1)⇔kx-y=-k⇒d=|k-2|k当直线斜率不存在时,x=-1满意题意,所以l的方程为3x-4y+3=0或x=-1.(2)由题意有:|MA|=|MB|,MA⊥MB,作MD⊥AB,则|MD|=22|MB|=2设l方程为y=k′(x+1),d=|k'-2|k'2+1=22⇒19.(12分)已知直线l:y=x+m(m∈R)与直线l′关于x轴对称.(1)若直线l与圆(x-2)2+y2=8相切于点P,求m的值和P点的坐标.(2)直线l′过抛物线C:x2=4y的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】(1)由点到直线的距离公式得d=|2+m|解得m=2或m=-6,当m=2时P(0,2),当m=-6时P(4,-2).(2)因为直线的方程为y=x+m,所以l′的方程为y=-x-m,焦点(0,1),m=-1,将直线y=-x+1代入抛物线x2=4y,整理得x2+4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=-(x1+x2)+2=6,|AB|=y1+y2+2=8.20.(12分)已知动点P与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为-14,点P的轨迹为曲线C,过点E(1,0)的直线交曲线C于M,N两点(1)求曲线C的方程.(2)若直线MA,NB的斜率分别为k1,k2,试推断k1k2是否为定值?若是,求出这个值;若不是【解析】(1)设点P(x,y)(x≠±2),由题知,yx+2·yx整理,得曲线C:x24+y2=1(x≠±2),(2)由题意,知直线MN的斜率不为0,故可设MN:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),设直线MB的斜率为k3,由题知,A(-2,0),B(2,0),由x=my+1x24+y2所以y1所以k2·k3=y=y1y2又因为点M在椭圆上,所以k1·k3=y12x所以k1k2=121.(12分)(2024·咸阳模拟)如图所示,曲线C由部分椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(P,Q,A,B中随意两点均不重合),若AP⊥AQ,求直线l的方程.【解析】(1)因为y=-x2+1(y≤0),所以y=0,即x=±1,因此A(-1,0),B(1,0),代入椭圆方程中,得b=1,由ca=22以及a2-c2=b2=1,可得a=所以a=2,b=1.(2)由(1)可求出横轴上方的椭圆方程为:y2+2x2=2(y>0),由题意可知:过点B的直线l存在斜率且不能为零,故设直线方程为x=my+1(m≠0),代入椭圆C1得:2m2+1y2+4my=0,故可得点P的坐标为:1-2m21+2m2,-4m1+2m2,明显m<0,同理将x=my+1(m≠0)代入抛物线C2方程中所以·=-1-mm+1·1-2m21+2m2+1-2m+1m222.(12分)(2024·吉林模拟)已知点D(0,-2),过点D作抛物线C1:x2=2py(p>0)的切线l,切点A在其次象限. 世纪金榜导学号(1)求切点A的纵坐标.(2)有一离心率为32的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)恰好经过切点A,设切线l与椭圆的另一交点为点B,记切线l,OA,OB的斜率分别为k,k