人教版九年级上册第21章一元二次方程专训1一元二次方程与三角形的综合的四种类型课件数学

阶段方法技巧训练（一）专训1一元二次方程与三角形

的综合的四种类型习题课一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及一元二次方程与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．1训练角度一元二次方程与三角形三边关系的综合三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(

)A．3

B．4

C．3或4

D．无法确定C2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．

一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边

长为acm(a为整数)，且a满足a2－10a＋21＝0，

求三角形的周长．

解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，

9.(第一步)

当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋

21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据______________________________________________________________________，第二步应用的数学思想是______________，确定a值的大小是根据__________________．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程根的定义分类讨论思想2训练角度一元二次方程与直角三角形的综合3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是

方程x2－14x＋48＝0的两个根，则这个直角三

角形的斜边长为________．10同类变式4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，

关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC

的形状，并说明理由．

3训练角度一元二次方程与等腰三角形的综合5．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数

根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的

周长．(1)∵Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k

＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．(2)解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得x1＝k，x2＝2.∵△ABC为等腰三角形，∴当a＝k＝1时，另一边长为2，此时，不能构

成三角形；

当a＝1，k＝2时，△ABC的周长为5.解：证明：4训练角度一元二次方程与动态几何综合6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，

BC＝7cm.点P从点A开始

沿AB边向点B以1cm/s的

速度移动，点Q从点B开

始沿BC边向点C以2cm/s

的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几

秒后，△PBQ的面积为4cm2?设P，Q运动的时间为xs，则由题意知AP＝xcm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2xcm，CQ＝(7－2x)cm.(1)S△PBQ＝·PB·BQ＝×(5－x)×2x＝4.

解得x1＝1，x2＝4.

当x＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意；

当x＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题

意，舍去．

故1s后，△PBQ的面积为4cm2.解：(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几

秒后，PQ的长度为5cm?(2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2，

若PQ＝5cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25.

解得x1＝0(舍去)，x2＝2.

故2s后，PQ的长度为5cm.解：(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7cm2？并说明理

由．(3)不能．理由如下：仿照(1)，得(5－x)·