13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)（课件）八年级数学上册（人教版）

1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．学习目标

探究

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？

可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，如果把线段AB沿着直线l对折，线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B…都是重合的，因此它们也分别相等.ABl┐P1P2P3情境引入

探究

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？证明：∵直线l垂直平分线段AB,

∴AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°.

在△P1AO和△P1BO中，

AO=BO

∠P1OA=∠P1OB，

P1O=P1O，

∴△P1AO≌△P1BO（SAS）.

∴P1A=P1B.ABl┐P1P2P3o新知探究线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.ABl┐OP符号语言：∵直线l⊥AB，AO=BO，∴PA=PB.线段的垂直平分线的性质：

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？新知探究

如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵l⊥AB，

∴∠POA=∠POB=90°，

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

PA=PB，

PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL)

∴AO=BO.∵∠POA=∠POB=90°，

∴P在线段AB的垂直平分线上.ABPl┐O你能得出什么结论呢？新知探究与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.符号语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.线段的垂直平分线的判定：ABl┐OP新知探究

从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.

反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.ABl┐OP新知探究例1

尺规作图，经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知，直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.ABC.典例精析作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．KABCDE典例精析（3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．KABCDEF

思考：为什么直线CF就是所求作的垂线？典例精析∵从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，∴点C，F都在DE的垂直平分线上．∴CF就是线段DE的垂直平分线．∵点D，E在直线AB上，∴CF就是所求直线AB的垂线．ABCDEF典例精析1.要作出线段的垂直平分线，必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，才能确定已知线段的垂直平分线．

2.证明一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明两个点在线段的垂直平分线上．新知探究1.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.

AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,

则下列结论不正确的是 ()A.AE=BE B.AC=BEC.CE=DE D.∠CAE=∠BABCDABABDEC随堂检测3.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______．10°随堂检测4.△ABC中，AB=AC,D在AB边上，M在线段AD上，且MB=MC,求证：DB=DC．ABCDM解：∵AB=AC，MB=MC，

∴直线AM是线段BC的垂直平分线，

∵D在直线AM上，

∴DB=DC.随堂检测5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.ABCDEF证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线.∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.随堂检测1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE,∴点D在CE的垂直平分线上；

在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，CD＝ED，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，

∴点A也在CE的垂直平分线上，

∴直线AD是CE的垂直平分线．能力提升

能力提升

能力提升(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明

能力提升线段的垂直平分的性质和判定性质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上内

容判定内

容作

用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作

用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上课堂小结

C课后作业2.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB