河北省保定市高三第一次模拟考试数学（理）试题

2018年高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则的子集个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】，所以，其子集个数为，选D.2.设为的虚部，为的实部，则（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以；因此，选A.3.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，因此，选B.4.已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】向量与夹角为锐角充要条件为且向量与不共线，即，故或是向量与夹角为锐角的必要不充分条件，选B.5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直角三角形中较小的直角边长为，则选A.7.如图所示的程序框图中，输出的为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】执行循环得：,选C.8.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（）A.0B.2018C.4036D.4037【答案】D【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此选D.9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD，侧棱AC垂直底面，,设三角形BCD外接圆圆心为O，则,因此外接球的半径为,即外接球的表面积为，选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A.是奇函数B.的一条对称轴为直线C.的最小正周期为D.在上为减函数【答案】D【解析】，所以是偶函数，不是其对称轴，最小正周期为，在上为减函数，所以选D.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间11.已知双曲线的左顶点为，虚轴长为8，右焦点为，且与双曲线的渐近线相切，若过点作的两条切线，切点分别为，则（）A.8B.C.D.【答案】D【解析】,因为到双曲线的渐近线距离为，所以：，设MN交x轴于E，则,选D.【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.12.令，函数，满足以下两个条件：①当时，或；②，，，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,当时，,所以当时，，,所以因为，，所以当时，值域包含，所以，选B.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.的展开式中的系数是5，则__________．【答案】1【解析】的展开式中的系数是，所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是__________．【答案】甲【解析】若甲做对了，则甲乙说错了，丙说对了，符号题意；若乙做对了，则乙说错了，甲丙说对了，不符号题意；若丙做对了，则丙说错了，甲乙说对了，不符号题意；因此做对了的是甲.15.已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(2,2)时取最小值，此时最优解为(2,2)，即当且仅当时取等号，即的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则__________．【答案】3【解析】因为，所以因为，所以O为三角形ABC重心，设AC中点为M，则B,O,M三点共线，由面积关系得三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且.求数列的通项公式，并求其前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由等差数列定义可得为等差数列，再根据得公差，最后根据等差数列通项公式求数列的通项公式；（2）根据条件变形得等比数列，再根据等比数列通项公式求得，即得数列的通项公式，最后根据错位相减法求前项和试题解析：（1）由知数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；（2）∵，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知三位顾客各买了一件衣服.（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设为打折后两位顾客的消费总额，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）先求打6折的概率，再根据独立重复试验求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：打5，6，7，8折的概率分别为，（1）事件为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以；（2）的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，，，，，，，，所以的分布列为2000220024002600280030003200元.19.如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据平几知识求，再根据面面垂直性质定理得平面即得；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的正弦值.试题解析：（1）证明：连接，∵为四棱台，四边形四边形，∴，由得，，又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，又为的中点，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，如图，以为原点建立空间直角坐标系，，由于平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，设，所以，，∴，即二面角的正弦值为.20.椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，是椭圆的左、右顶点，点满足.①证明：为定值；②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②.3.【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，与离心率联立方程组解得a.b,（2）①根据两点间距离公式，代入椭圆方程化简可得，再求比值即可，②先设，根据点斜式可得直线，方程，分别与椭圆方程联立解得两点坐标，再根据焦半径公式可得，最后根据基本不等式求最小值.试题解析：（1）由得，把点代入椭圆方程为，∴得，∴，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②设若，则，若，因为，直线，直线，由整理得，∴，得，由整理得，∴，得，由①知，∴，∵（当且仅当即时取等号）∴，即的最小值为3.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，证明:.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程解得情况：根据判别式与零大小先进行一级讨论，再根据根与零大小进行二级讨论，（2）由韦达定理得，化简差函数，再利用导数研究差函数单调性，根据单调性证明不等式.试题解析：（1），令，①即时，，故恒成立，所以在上单调递增；②当即时，恒成立，所以在上单调递增；③当时，由于的两根为，所以在为增函数，在为减函数，综上：时，函数在为增函数；时，函数在为增函数，在为减函数；（2）由（1）知，且，∴，而，∴，设，则，所以在上为减函数，又，所以，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且.（1）求的值；（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1），先将直线极坐标方程化为直角坐标方程，再由条件得直线过圆的圆心，解得的值；(2）代入消元得曲线的普通方程，设直线参数方程标准形式，代入，由韦达定理以及参数几何意义得.试题解析：（1）解：直线和圆的普通方程分别为，，∴直线过圆的圆心，所以；（2）证明：曲线，可知直线的参数方程为（为参数）代入曲线得，恒成立，设两点对应的参数分别为，则，所以为定值.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t