数学3课堂探究：3随机事件的概率（第3课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．若事件A与事件B不互斥，则P(A∪B）≠P（A)＋P（B）剖析：否定一个等式不成立,只需举出一个反例即可．例如：抛掷一枚均匀的正方体骰子,向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A，且A＝B，则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6，则P(A)＝P(B)＝P（A∪B）＝1，P（A）＋P（B）＝1＋1＝2,所以此时P（A∪B)≠P(A)＋P（B），即P（A∪B)＝P(A)＋P（B)不成立．上例中P（A∪B)≠P(A）＋P（B）的原因是事件A与事件B不是互斥事件．其实对于任意事件A与B，有P（A∪B）＝P(A）＋P(B）－P(A∩B）（不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当A∩B＝，即事件A与事件B是互斥事件时,P(A∩B)＝0，此时才有P(A∪B)＝P（A）＋P(B）成立．2．事件与集合之间的对应关系剖析：事件与集合之间的对应关系如下表:事件集合必然事件全集不可能事件空集（)事件B包含于事件A(B⊆A）集合B包含于集合A（B⊆A）事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等（B＝A）事件B与事件A的并事件（B∪A）集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A）集合B与集合A的交集(B∩A）事件B与事件A互斥(B∩A＝）集合B与集合A的交集为空集（B∩A＝)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)题型一判断互斥（对立事件)【例题1】判断下列各事件是否是互斥事件，如果是互斥事件，那么是否是对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中：（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2)至少有1名男生和至少有1名女生;（3）至少有1名男生和全是女生．解:(1）是互斥事件．理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．不是对立事件．理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生，所以不是对立事件．(2)不是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生"和“2名都是男生”这两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生"和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时，它们同时发生．这两个事件也不是对立事件．理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件．(3)是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，它与“全是女生"不可能同时发生．是对立事件．理由是这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，所以是对立事件．反思判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．题型二概率加法公式的应用【例题2】某射箭运动员在一次训练中,射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0。23,0。25，0.28，计算这个射箭运动员在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率;（2）射中7环以下的概率．分析：(1）利用互斥事件的概率加法公式解决；（2）转化为求对立事件的概率．解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，则“射中10环或7环"的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，故P(A∪B)＝P（A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49,所以射中10环或7环的概率为0.49。（2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环"为事件D，则P(D）＝0。21＋0。23＋0。25＋0。28＝0。97。又事件C和事件D是对立事件，则P（C）＝1－P（D）＝1－0。97＝0.03。所以射中7环以下的概率是0。03。反思求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.题型三易错辨析【例题3】抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f（1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P（A∪B)．错解：设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2,C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3。P（C1)＝P(C2）＝P（C3)＝P(C4）＝P（C5)＝P(C6)＝eq\f(1，6）。则P（A）＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1）＋P（C3）＋P(C5）＝eq\f（1，6)＋eq\f（1,6)＋eq\f（1，6）＝eq\f（1，2）.P(B）＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1）＋P(C2）＋P(C3)＝eq\f（1,6）＋eq\f（1，6）＋eq\f(1，6)＝eq\f（1,2).故P(A∪B)＝P（A)＋P(B)＝eq\f（1，2)＋eq\f（1，2)＝1.错因分析：错解的原因在于忽视了“和事件"概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A,B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P（A)＋P（B)求解．正解：记事件“出现1点”“出现2点"“出现3点"“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．