【核心素养】北师大版九年级数学下册1.1 第1课时 正切与坡度 教案

【核心素养】北师大版九年级数学下册1.1第1课时正切与坡度教案授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以学生已掌握的三角函数知识为基础，通过引入生活中的实际例子，如道路坡度的测量，激发学生的学习兴趣。结合北师大版九年级数学下册1.1节内容，以正切函数的定义为核心，引导学生通过观察、分析、实践，理解正切值与坡度之间的关系。通过实例讲解、小组讨论、练习巩固等多种教学手段，让学生在实际操作中掌握正切函数的应用，培养他们的空间想象能力和解决问题的能力。同时，注重知识点的串联与拓展，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标1.理解正切函数的概念，能够在实际问题中识别并运用正切值解决与坡度相关的问题。

2.培养学生的数形结合能力，通过图形理解和计算正切值，提升空间观念。

3.强化学生的数学应用意识，将数学知识应用于解决生活中的实际问题。

4.发展学生的逻辑思维和问题解决能力，通过探究、分析、推理，形成对正切函数的深入理解。重点难点及解决办法重点：

1.正切函数的定义及性质。

2.正切值在实际生活中的应用，如坡度的计算。

难点：

1.正切值与坡度之间的转换理解。

2.复杂坡度问题的解决策略。

解决办法：

1.利用多媒体展示正切函数图像，通过动态变化展示正切值的变化规律，帮助学生直观理解。

2.通过实际测量活动，让学生亲自操作，感受正切值与坡度之间的关系，增强实践体验。

3.设计有梯度的练习题，从简单到复杂，逐步引导学生理解并掌握正切函数的应用。

4.组织小组讨论，鼓励学生相互交流，共同探讨解决难点的策略，培养合作学习能力。教学资源准备1.教材：北师大版九年级数学下册。

2.辅助材料：正切函数图像的PPT展示，坡度与正切值关系的教学视频。

3.实验器材：直尺、三角板、量角器，用于学生自行测量和绘制坡度。

4.教室布置：设置小组讨论区，准备黑板和投影仪以便展示教学内容。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过提问学生日常生活中遇到的坡度问题，如楼梯、斜坡等，引导学生思考坡度与数学之间的关系，激发学生对新知识的兴趣。接着展示一张包含不同坡度的图片，让学生观察并讨论坡度对生活的影响，自然过渡到正切函数的概念。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-讲解正切函数的定义，通过PPT展示正切函数的图像，让学生观察正切值随角度变化的规律。

-通过具体例题，演示如何计算一个给定角度的正切值，并引导学生发现正切值与坡度的直接关系。

-引入坡度的概念，解释坡度的计算方法，通过实例分析坡度与正切值之间的转换。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生使用直尺、三角板和量角器，测量教室内不同物体的坡度，如桌面边缘、斜放的书籍等，并记录所测得的正切值。

-要求学生将测量结果绘制成图表，对比不同物体的坡度大小。

-让学生尝试计算一些常见物体（如楼梯、斜坡）的理论坡度，并与实际测量结果进行对比，分析可能出现的误差来源。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

-讨论如何准确测量物体的坡度，并分享各自在测量过程中遇到的问题和解决方法。

-探讨正切函数在现实生活中的应用，例如在建筑设计、道路设计中如何利用正切函数来确定合理的坡度。

-分析在测量和计算过程中可能出现的错误，如读数误差、计算错误等，并讨论如何避免这些错误。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课学习的正切函数的定义、性质以及坡度的计算方法，通过提问学生，检查他们对正切函数的理解程度。强调正切函数在解决实际问题中的应用价值，并布置相关的课后作业，以巩固所学知识。教学资源拓展1.拓展资源：

-三角函数在工程和建筑中的应用案例，如桥梁设计中的斜拉索角度计算、屋顶斜度的确定等。

-正切函数在物理学中的应用，如计算物体在斜面上的滑动摩擦力、抛物线运动中的角度与距离关系等。

-数学软件（如GeoGebra）的使用，通过软件动态演示正切函数图像的变化，加深对正切函数的理解。

2.拓展建议：

-鼓励学生在课后收集生活中的实际例子，分析其中涉及到的正切函数的应用，并撰写简短的报告。

-提议学生通过数学软件绘制正切函数图像，观察不同参数对函数图像的影响，并探讨其背后的数学原理。

-建议学生阅读相关的数学拓展书籍，如《数学与生活》等，了解三角函数在各个领域的应用，拓宽知识视野。

-鼓励学生参与数学竞赛或数学俱乐部，通过解决实际问题，提高运用正切函数解决问题的能力。

-建议学生观看相关的数学教育视频，如KhanAcademy上的三角函数教学视频，以巩固和加深对正切函数的理解。

-提供一些拓展性的数学问题，如计算特定斜率下的物体加速度、分析不同坡度对物体运动的影响等，让学生在解决问题的过程中运用正切函数知识。

-鼓励学生尝试使用数学建模软件，如MATLAB，模拟并分析正切函数在实际问题中的应用，增强数学应用能力。板书设计1.正切函数的定义与性质

①正切函数的定义：在直角三角形中，正切值是对边与邻边的比值。

②正切函数的性质：正切值随角度的增大而增大，当角度为90度时，正切值趋向无穷大。

③正切函数的图像：展示正切函数的图像，标注关键点及渐近线。

2.坡度与正切值的关系

①坡度的定义：坡度是斜坡上升或下降的垂直高度与水平距离的比值。

②坡度与正切值的关系：坡度可以用正切值来表示，即坡度=正切值。

③坡度的计算方法：通过测量斜坡的垂直高度和水平距离，计算得到正切值，进而得到坡度。

3.正切函数的应用

①实际应用场景：在建筑、工程、物理等领域中的应用。

②应用步骤：确定问题中的角度，计算正切值，解决实际问题。

③应用举例：计算楼梯的坡度，确定斜拉索的拉力角度等。重点题型整理题型一：计算正切值

题目：计算角度为30度的角的正切值。

解答：tan(30°)=√3/3

题型二：坡度计算

题目：一段斜坡的垂直高度为2米，水平距离为4米，求该斜坡的坡度。

解答：坡度=垂直高度/水平距离=2/4=0.5

题型三：正切函数的应用

题目：一座桥梁的斜拉索与水平面的夹角为45度，求斜拉索的拉力方向与竖直方向的夹角。

解答：由于斜拉索与水平面的夹角为45度，其正切值为1，因此拉力方向与竖直方向的夹角为45度。

题型四：复杂坡度问题

题目：一个斜坡的上升段和下降段分别有不同坡度，上升段坡度为1:4，下降段坡度为1:3，求斜坡整体坡度。

解答：上升段坡度对应的正切值为1/4，下降段坡度对应的正切值为1/3。由于斜坡整体是连续的，可以将其视为两个斜率的平均值，即(1/4+1/3)/2≈0.375。因此，整体坡度为0.375。

题型五：实际应用问题

题目：某城市计划建设一条斜坡道路，要求道路的坡度不超过8%，已知道路的水平距离为50米，求道路的最大垂直升高。

解答：坡度为8%，即正切值为0.08。道路的最大垂直升高=正切值×水平距离=0.08×50米=4米。教学反思与总结这节课我教授了北师大版九年级数学下册1.1节的内容，关于正切与坡度的知识。在回顾整个教学过程后，我有一些反思和总结。

教学反思：

在设计课程时，我注重了导入新课的环节，通过生活中的实例来引发学生对正切函数的兴趣。我发现这样的导入方式很有效，学生们能够迅速进入学习状态。然而，我也发现自己在教学方法上存在一些不足。例如，在讲解正切函数图像时，我应该更多地引导学生自己观察和发现规律，而不是直接展示PPT。这样能更好地锻炼他们的观察能力和思维能力。

在实践活动环节，我让学生们亲自测量坡度，这是一个很好的实践机会。但是，我也注意到有些学生在操作过程中遇到了困难，可能是因为我没有提供足够清晰的指导。今后，我需要在实践活动中更加细致地指导学生，确保他们能够顺利进行实验。

另外，在学生小组讨论环节，我观察到学生们能够积极参与讨论，但他们有时候过于依赖小组中的某一位同学，导致其他同学参与度不高。我应该在讨论环节中更加注重每个学生的参与，确保每个人都有机会发言和思考。

教学总结：

从整体来看，本节课的教学效果是积极的。学生们对正切函数的定义和性质有了较好的理解，他们能够将正切函数应用于解决实际问题，如计算坡度。学生们在实践活动中的参与度也很高，他们通过实际操作更好地理解了正切函数的应用。

然而，我也发现了一些问题。有些学生在计算过程中容易出现错误，这可能是因为他们对基础知识掌握不够牢固。为了解决这个问题，我计划在课后加强辅导，帮助这些学生巩固基础知识。

此外，我发现有些学生在小组讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考的能力。为了培养他们的独立思考能力，