山东省淄博市高青县第一中学2024-2025学年高二二部上学期10月月考数学试题VIP

2023级二部高二10月份月考试题数学第I卷（选择题）一、单选题1．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（

）A． B． C． D．2．某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（

）A． B． C． D．3．已知，且，则（

）A． B．C． D．4．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．下列命题中正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标是B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（

）A．A与B，A与，与B，与都相互独立B．与是对立事件C．D．7．已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（

）A． B． C． D．或8．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A．与垂直 B．与共线C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．如果，那么C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么11．已知，则下列说法正确的是（

）A．是平面的一个法向量 B．四点共面C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．已知，，点在轴上，且，则点的坐标为.13．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为.14．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为.四、解答题15．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.(1)用，，表示；(2)求的值.16．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．17．已知空间三点，设．(1)若，，求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与互相垂直，求k．18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，a，b，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为.(1)求a，b的值；(2)求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．19．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.

(1)求证：.(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.2023级二部高二10月份月考试题数学参考答案：题号12345678910答案DCBDCADCBCBCD题号11答案AD1．D【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.【详解】由题可知，，又，所以，解得，所以.故选：D.2．C【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．【详解】如图，由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果，所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为，故选：C．3．B【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量，则，因，于是得，解得，所以.故选：B.4．D【分析】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解.【详解】，当时，有，解得，此时，与夹角为，所以与夹角不可能为，与夹角为锐角时，有，解得，则实数的取值范围是.故选：D.5．C【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B选项错误；对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，C选项正确；对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，D选项错误.故选：C.6．A【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D.【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A7．D【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解.【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，因为，所以或，由题可知，，故或，或．故选：D.8．C【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，则，因为平面，所以，即，解得，所以，所以，又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，当或，即与点或重合时，取得最大值，所以线段长度的取值范围为.故选：C9．BC【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；对B：由、，有，故与共线，故B正确；对C：，且与不共线，故与所成角为锐角，故C正确；对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.故选：BC.10．BCD【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；B选项：若，则，B选项正确；C选项：与互斥，那么，C选项正确；D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；故选：BCD.11．AD【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.【详解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；，所以与不平行，故C错误；，故D正确；故选：AD.12．【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式列出方程即可得解.【详解】设点P的坐标为，依题意得，解得，所以点P的坐标为.故答案为：13．【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.【详解】由条件可得，，所以在方向上的投影向量的坐标为.故答案为：14．【分析】利用相互独立事件以及对立事件的概率公式计算即可.【详解】依题意，李华3道题都没有答对的概率为，所以李华最终通过面试的概率为.故答案为：.15．(1)；(2).【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案.（2）利用空间向量的数量积运算律计算即得.【详解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，，所以.（2）正四面体的棱长为1，则，所以.16．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；(2)不公平，理由见解析【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出.（2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平.【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，则，由己知得，解得，所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间，．可得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以，所以，因为，所以此游戏不公平．17．(1)或(2)(3)或【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.18．(1)，(2)(3)【分析】（1）先计算出这三人各自能参加市亚运知识竞赛的概率，再利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）结合（1）问，利用对立事件的概率公式计算即可；（3）计算出三人中有两人通过初赛的概率，再利用概率的加法公式计算即可.【详解】（1）甲能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；乙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；丙能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为；由于他们之间通过与否互不影响,所以甲乙两人都能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率，解得：，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，（2）结合（1）问可知：这3人都不能代表A社区参加市知识竞赛的概率:，所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：.（3）由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事