不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析

线性规划讲义【考纲说明】〔1〕理解线性规划的意义、理解可行域的意义；〔2〕驾驭简洁的二元线性规划问题的解法．〔3〕稳固图解法求线性目的函数的最大、最小值的方法；〔4〕会用画网格的方法求解整数线性规划问题．〔5〕培育学生的数学应用意识和解决问题的实力．【学问梳理】简洁的线性规划问题一、学问点1.目的函数:Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目的函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决．5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难学问导析线性规划是一门探讨如何运用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学探讨、工业设计、经济管理中实际问题的特地学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源确定的条件下，如何运用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理支配和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法〞：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满意所给的不等式，假设相宜，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．假设直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必需经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简洁线性规划问题就是求线性目的函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式及步骤是不变的：〔1〕找寻线性约束条件，线性目的函数；〔2〕由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；〔3〕在可行域内求目的函数的最优解.积储学问：(x00)在直线0上，则点P坐标相宜方程，即0002.点P(x00)在直线0上方〔左上或右上〕，则当B>0时，00>0;当B<0时，00<03.点P(x00)在直线0下方〔左下或右下〕，当B>0时，00<0;当B<0时，00>0留意：〔1〕在直线0同一侧的全部点，把它的坐标()代入,所得实数的符号都一样,〔2〕在直线0的两侧的两点，把它的坐标代入,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x11)和点Q(x22)在直线0的同侧，则有〔1122)>02.点P(x11)和点Q(x22)在直线0的两侧，则有〔1122)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式>0〔或<0〕在平面直角坐标系中表示直线0某一侧全部点组成的平面区域.不包括边界;②二元一次不等式≥0〔或≤0〕在平面直角坐标系中表示直线0某一侧全部点组成的平面区域且包括边界;留意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、推断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域缘由:由于对在直线0的同一侧的全部点(),把它的坐标()代入,所得到的实数的符号都一样,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x00),从00的正负即可推断>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当0时，可用〔0，1〕或〔1，0〕当特殊点，假设点坐标代入相宜不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：1>0,当B>0时表示直线0上方〔左上或右上〕，当B<0时表示直线0下方〔左下或右下〕;2<0,当B>0时表示直线0下方〔左下或右下〕当B<0时表示直线0上方〔左上或右上〕。四、线性规划的有关概念：①线性约束条件：②线性目的函数：③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：【经典例题】一．建构数学1．问题：在约束条件下，如何求目的函数的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图〔1〕所示．其次，将目的函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．平移直线，当它经过两直线及的交点时，直线在轴上的截距最大，如图〔2〕所示．因此，当时，目的函数获得最大值，即当甲、乙两种产品分别消费和时，可获得最大利润万元．这类求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目的函数获得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域〔即直线及可行域有公共点〕．二．数学运用例1．设，式中变量满意条件，求的最大值和最小值．解：由题意，变量所满意的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满意，即，而且，直线往右平移时，随之增大．由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，，．例2．设，式中满意条件，求的最大值和最小值．解：由引例可知：直线及所在直线平行，则由引例的解题过程知，当及所在直线重合时最大，此时满意条件的最优解有多数多个，当经过点时，对应最小，∴，．例3．满意不等式组，求使取最大值的整数．解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部〔不含边界〕，设及，及，及交点分别为，则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：，当往右上方挪动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得，∴；当时，得或，∴或；当时，，∴，故的最大整数解为或．例4．投资消费A产品时，每消费100吨须要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资消费B产品时，每消费100米须要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可运用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以便利理解题意：资金〔百万元〕场地

〔平方米〕利润〔百万元〕A产品223B产品312限制149然后依据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目的函数，最终用图解法求解解：设消费A产品百吨，消费B产品米，利润为百万元，则约束条件为，目的函数为．作出可行域〔如图〕，将目的函数变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直线，当它经过直线及和的交点时，最大，也即最大．此时，．因此，消费A产品百吨，消费B产品米，利润最大为1475万元．说明：〔1〕解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件〔要留意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一〕；③建立目的函数；④求最优解．对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．三、画区域1.用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的随意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线的斜率为：，其方程为．可求得直线的方程为．直线的方程为．的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内〔如图〕．所以三角形内部的平面区域可由不等式组表示．说明：用不等式组可以用来平面内确实定区域，留意三角形区域内部不包括边界限．2画出表示的区域，并求全部的正整数解．解：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即求．依据二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下列图：对于的正整数解，简洁求得，在其区域内的整数解为、、、、．3设，，；，，，用图表示出点的范围．分析：题目中的，及，，是线性关系．可借助于，，的范围确定的范围．解：由得由，，得画出不等式组所示平面区域如下图．说明：题目的条件隐藏，应考虑到已有的，，的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出，，，从而求出，所满意的不等式组找出的范围．4、满意条件：,2626〔1〕试画出〔〕的存在的范围；〔2〕求的最大值。四、画区域，求面积例3求不等式组所表示的平面区域的面积．分析：关键是可以将不等式组所表示的平面区域作出来，推断其形态进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是可以对不等式组中的两个不等式进展化简和变形，如何变形？需对确定值加以探讨．解：不等式可化为或；不等式可化为或．在平面直角坐标系内作出四条射线：，，则不等式组所表示的平面区域如图，由于及、及相互垂直，所以平面区域是一个矩形．0ABC〔图1〕依据两条平行线之间的间隔公式可得矩形的两条边的长度分别为和．所以其面积为0ABC〔图1〕五、求最值一、及直线的截距有关的最值问题1.如图1所示，中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并探讨以下问题：①在点A处有最大值6，在边界处有最小值1；②在点C处有最大值1，在点B处有最小值00ABC〔图2〕0ABC2假设、满意条件求的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下图．作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点A时，获得最大值，当过点时，获得最小值．∴∴注：可化为表示及直线平行的一组平行线，其中为截距，特殊留意：斜率范围及截距符号。即留意平移直线的倾斜度和平移方向。变式：设满意约束条件分别求：(1)610y，(2)2,(3)2，的最大值，最小值。二、及直线的斜率有关的最值问题表示定点P〔x00)及可行域内的动点M()连线的斜率.例2设实数满意，则的最大值是．解析：画出不等式组所确定的三角形区域，表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点及原点连线的斜率的最大值．0ABC〔图1〕可以看出直线的斜率最大，故P为0ABC〔图1〕即A点．∴．故答案为．3.如图1所示，中的三顶点，点在内部及边界运动，请你探究并探讨以下问题：假设目的函数是或，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得和？三、及间隔有关的最值问题〔配方〕的构造表示定点Q〔x00)到可行域内的动点N()的间隔的平方或间隔。1.，．求的最大、最小值．分析：令，目的函数是非线性的．而可看做区域内的点到原点间隔的平方．问题转化为点到直线的间隔问题．解：由得可行域(如下图)为，而到，的间隔分别为和．所以的最大、最小值分别是50和．求的最小值解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A〔1，3〕、B〔3，1〕、C〔7，9〕．而表示可行域内任一点〔x，y〕到定点M〔0，5〕的间隔的平方，过M作直线的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．【课堂练习】1.〔安徽11〕假设满意约束条件：；则的取值范围为2.北京2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的间隔大于2的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕上存在点满意约束条件，则实数的最大值为〔〕A．B．1C．D．25.变量满意约束条件，则的最大值为()14．〔2021江苏省5分〕正数满意：则的取值范围是．8．某农户方案种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表产量/亩种植本钱/亩每吨售价黄瓜4吨韭菜6吨为使一的种植总利润〔总利润=总销售收入总种植本钱〕最大，则黄瓜和韭菜的种植面积〔单位：亩〕分别为〔〕A．50，0B．30，20C．20，30D．0，507辽宁8.设变量满意，则的最大值为A．20 B．35C．45 D．8.全国卷大纲版13．假设满意约束条件，则的最小值为。9山东10陕西14.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为．11四川9、某公司消费甲、乙两种桶装产品。消费甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；消费乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在消费这两种产品的方案中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理支配消费方案，从每天消费的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元12新课标(14)设满意约束条件：；则的取值范围为13浙江21．(本小题总分值14分)a＞0，，函数．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数的最大值为|2a－﹢a；(ⅱ)＋|2a－﹢a≥0；(Ⅱ)假设﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．，则所表示的平面图形的面积为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【课后作业】选择题：1．以下四个命题中，正确的选项是〔〕Ａ．原点及点〔2，3〕在直线23=0的同侧Ｂ．点〔3，2〕及点〔2，3〕在直线x－0同侧Ｃ．原点及点〔2，1〕在直线261=0异侧Ｄ．原点及点〔2，1〕在直线261=0同侧2．不等式31<0表示的平面区域在直线31=0的〔〕A．右上方B．右下方C．左下方D．左上方3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为〔〕A．B．Ｃ．Ｄ．2填空题：4．假设x、y满意条件，则目的函数68y的最大值为，最小值为。5．假设实数x、y满意，则的范围是。6．非负实数x、y满意，则3y的最大值是。7．设实数x、y满意条件，则的最大值是。8．设实数x、y满意条件，则2x－y的最大值为〔〕A．2B．1C．－2D．－39．变量x、y满意约束条件1≤≤4，－2≤x－y≤2。假设目的函数〔其中a>0〕仅在点〔3，1〕处获得最大值，则a的取值范围是。10．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P〔〕到直线10间隔的最大值是。解答题：11．某电视机厂方案在下一个消费周期内消费两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而消费一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。假设允许运用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A、B型电视机的产量分别不低于5台和10台，则消费两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？12．制定投资方案时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人准备投资甲、乙两个工程，依据意料，甲、乙工程可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？【参考答案】【课上练习】1.【解析】的取值范围为约束条件对应边际及内的区域：则2.【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，应选D。【答案】D3.考点：线性规划。难度：中。分析：此题考察的学问点为含参的线性规划，须要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。解答：可行域如下：所以，假设直线上存在点满意约束条件，则，即。4.【解析】选约束条件对应边际及内的区域：则5.【答案】。【考点】可行域。【解析】可化为：。设，则题目转化为：满意，求的取值范围。作出〔〕所在平面区域〔如图〕。求出的切线的斜率，设过切点的切线为，则，要使它最小，须。∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。当〔〕对应点时，，∴的最大值在处，为7。∴的取值范围为，即的取值范围是。6【解析】此题考察线性规划学问在实际问题中的应用，同时考察了数学建模的思想方法以及理论实力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为亩,总利润为z万元，则目的函数为.线性约束条件为即作出不等式组表示的可行域,易求得点.平移直线，可知当直线经过点,即时获得最大值,且〔万元〕.应选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——细致阅读，明确有哪些限制条件，目的函数是什么？(2)转化——设元．写出约束条件和目的函数;(3)求解——关键是明确目的函数所表示的直线及可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出答复．表达考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来须要留意简洁的线性规划求最值问题.7.【命题意图】此题主要考察简洁线性规划，是中档题.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目的函数过点时，的最大值为55，应选D.8.答案：【命题意图】本试题考察了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目的函数过点时，目的函数最大，当目的函数过点时最小为。]9.解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即.答案应选A。10.【答案】2【解析】当时，，，∴曲线在点处的切线为则依据题意可画出可行域D如右图：目的函数，当，时，z获得最大值211.[答案]C[解析]设公司每天消费甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由，得300400Y且画可行域如下图，目的函数300400Y可变形为这是随Z变更的一族平行直线解方程组即A〔4,4〕[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列〔列出约束条件〕、二画〔画出可行域〕、三作〔作目的函数变形式的平行线〕、四求〔求出最优解〕.12.【解析】的取值范围为约束条件对应四边形边际及内的区域：则13.【解析】此题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等学问点及综合运用实力。(Ⅰ)(ⅰ)．当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，此时的最