2024-2025学年高中数学第一章推理与证明章末检测课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第一章章末检测时间：90分钟满分：100分第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．数列{an}中前四项分别为2，eq\f(2,7)，eq\f(2,13)，eq\f(2,19)，则an与an＋1之间的关系为()A．an＋1＝an＋6 B.eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3C．an＋1＝eq\f(1,1＋3an) D．an＋1＝eq\f(1,an)解析：可一一验证选项推断．答案：B2．下列推理正确的是()A．将a(b＋c)与loga(x＋y)类比有loga(x＋y)＝logax＋logayB．将a(b＋c)与sin(x＋y)类比有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(a＋b)n类比有(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比有(xy)z＝x(yz)解析：D中类比为结合律．答案：D3．为提高信息在传输中的抗干扰实力，通常在原信息中按肯定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0A．11010 B．01100C．10111 D．00011解析：C选项传输信息011，h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，应当接收信息10110.答案：C4．否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确假设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能状况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．答案：D5．已知c＞1，a＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，b＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则正确的结论是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定解析：∵a＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)＝eq\f(1,\r(c＋1)＋\r(c))，b＝eq\r(c)－eq\r(c－1)＝eq\f(1,\r(c)＋\r(c－1))，而eq\r(c＋1)＋eq\r(c)＞eq\r(c)＋eq\r(c－1)，∴a＜b.答案：B6．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为()A．25 B．6C．7 D．8解析：将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为eq\f(nn＋1,2)，令n＝6，则有eq\f(6×7,2)＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.答案：C7．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()A．2f(k) B．k－1＋f(kC．f(k)＋k D．f(k)＋2解析：新增加的第k＋1条棱与其不相邻的k－2条棱构成k－2个对角面，与其相邻的两条棱构成一个对角面，这样共增加k－1个对角面．答案：B8．已知f(x)＝eq\f(a2x＋1－2,2x＋1)是奇函数，那么实数a的值等于()A．1 B．－1C．0 D．±1解析：法一：函数的定义域为R，函数为奇函数，则x＝0时f(0)＝0，即eq\f(2a－2,2)＝0，∴a＝1.法二：依据奇函数的定义，f(－x)＝－f(x)恒成立，即eq\f(a2－x＋1－2,2－x＋1)＝－eq\f(a2x＋1－2,2x＋1)恒成立，即eq\f(a1＋2x－21＋x,2x＋1)＝－eq\f(a2x＋1－2,2x＋1)恒成立，即2a＋a·2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1.答案：A9．设f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2017(x)等于()A．－eq\f(1,x) B．xC.eq\f(x－1,x＋1) D.eq\f(1＋x,1－x)解析：计算f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，归纳得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N＋，从而f2017(x)＝eq\f(1＋x,1－x).答案：D10．视察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形()A．28，eq\f(n＋1n＋2,2) B．14，eq\f(n＋1n＋2,2)C．28，eq\f(n,2) D．12，eq\f(n2＋n,2)解析：依据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n个图形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝eq\f(n＋1n＋2,2).答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.解析：前10项共运用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(1091＋109,2)＝1000.答案：100012．依据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的eq\f(1,2)三棱锥的体积等于底面积乘高的eq\f(1,3)三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的eq\f(1,2)解析：设△ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，三边长分别为a、b、c，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面积和为S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.类似地，设三棱锥S­ABC的内切球半径为R，球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥O­SAB，O­SAC，O­SBC，O­ABC，其体积和为三棱锥S­ABC的体积，则V＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f(1,3)S表R.答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的eq\f(1,3)13．设a≥0，b≥0，a2＋eq\f(b2,2)＝1，则aeq\r(1＋b2)的最大值为______．解析：∵a≥0，b≥0，∴aeq\r(1＋b2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2a2)·eq\r(1＋b2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2a2＋1＋b2,2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)14．探讨问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0”解：由ax2－bx＋c>0⇒a－b(eq\f(1,x))＋c(eq\f(1,x))2>0，令y＝eq\f(1,x)，则y∈(eq\f(1,2)，1)，所以不等式cx2－bx＋a>0的解集为(eq\f(1,2)，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式eq\f(k,x＋a)＋eq\f(x＋b,x＋c)<0的解集为(－2，－1)∪(2,3)，则关于x的不等式eq\f(kx,ax－1)＋eq\f(bx－1,cx－1)<0的解集为________．解析：eq\f(kx,ax－1)＋eq\f(bx－1,cx－1)<0⇒eq\f(k,a－\f(1,x))＋eq\f(b－\f(1,x),c－\f(1,x))<0，令y＝－eq\f(1,x)，则y∈(－2，－1)∪(2,3)，所以x∈(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3))∪(eq\f(1,2)，1)．答案：(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3))∪(eq\f(1,2)，1)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至少有一个不小于eq\f(1,2).证明：(1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，则有|f(1)|<eq\f(1,2)且|f(2)|<eq\f(1,2)，|f(3)|<eq\f(1,2)，∴－eq\f(1,2)<f(1)<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<f(2)<eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)<f(3)<eq\f(1,2).∴－1<－2f(2)<1.∴－2<f(1)－2f(2)＋f(3)<2，这与f(1)－2f(2)＋f(3)＝2冲突．∴假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).16．(10分)已知x＋y＝u＋v且x2＋y2＝u2＋v2，求证：xn＋yn＝un＋vn.证明：∵x＋y＝u＋v且x2＋y2＝u2＋v2，∴(x＋y)2－(x2＋y2)＝(u＋v)2－(u2＋v2)，即xy＝uv.由x＋y＝u＋v且xy＝uv可知，x，y是一元二次方程z2－(u＋v)z＋uv＝0的两个根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝u,y＝v))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝v，,y＝u.))∴xn＋yn＝un＋vn.17．(12分)画出f(x)＝eq\r(x)的图像，借助图像确定f(eq\f(a＋b,2))与eq\f(fa＋fb,2)的大小，其中a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，并给出证明．解析：图像如图．猜想f(eq\f(a＋b,2))>eq\f(fa＋fb,2).要证明eq\r(\f(a＋b,2))>eq\f(\r(a)＋\r(b),2)，只需证2eq\r(\f(a＋b,2))>eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证明2(a＋b)>a＋b＋2eq\r(ab)，只需证a＋b>2eq\r(ab)，∵a>0，b>0，a≠b，∴a＋b>2eq\r(ab)成立．∴f(eq\f(a＋b,2))>eq\f(fa＋fb,2)成立．18．(12分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，其次个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数(n∈N＋)．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f(1,fn)<eq\f(4,3).解析：(1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，所以f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，……因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又因为f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1(n∈N＋)．(2)证明：设