沪科版八年级数学上学期考试满分全攻略第03讲一元二次方程的概念与解法(2大考点9种解题方法)(原卷版+解析)

第03讲一元二次方程的概念与解法（2大考点9种解题方法）考点考向考点考向一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五、解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．七、解一元二次方程-公式法（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．考点精讲考点精讲一．一元二次方程的定义（共1小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0二．一元二次方程的一般形式（共3小题）2．（2021秋•普陀区校级月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，23．（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m，n＝．4．（2021秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝．三．一元二次方程的解（共2小题）5．（2021秋•金山区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（）A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝06．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）7．（2021秋•虹口区校级期末）方程的解是．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）8．（2021秋•松江区期末）用配方法解方程：．9．（2021秋•虹口区校级期末）用配方法解方程：．10．（2021秋•徐汇区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．六．解一元二次方程-公式法（共2小题）11．（2021秋•普陀区校级月考）解方程：x2﹣3x﹣5＝0．12．（2021秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）13．（2021秋•崇明区校级期末）方程2x2＝x的根是．14．（2021秋•徐汇区校级期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．八．换元法解一元二次方程（共3小题）15．（2021秋•普陀区校级月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，则x2+y2＝．16．（2021秋•金山区校级期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．17．（2021秋•黄浦区期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．九．配方法的应用（共1小题）18．（2020秋•浦东新区校级月考）将化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）下列关于x的方程一定有实数根的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（）A． B． C． D．3．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（）A． B． C． D．4．（2019·上海民办浦东交中初级中学）已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断二、填空题5．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）当_______时，方程不是一元二次方程．6．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程的一个根是-2，则它的另一个根是_______．7．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______．8．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）方程的二次项是_______；一次项系数是_______．9．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）在实数范围内，已知，则的值是______．10．（2020·上海金山区·八年级期中）方程的根是_________．11．（2021·上海奉教院附中八年级期末）在实数范围内分解因式：______．12．（2020·上海金山区·八年级期中）对于实数，定义运算“”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．13．（2019·上海市民办嘉一联合中学）方程的实数解为__________．三、解答题14．（2020·上海金山区·八年级期中）解方程：．15．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级月考）解方程：（1）；（2）16．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程没有实数根，试判别方程的根的情况．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）用配方法解方程：（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）解方程：（2020·上海金山区·八年级期中）解方程：（2019·上海市民办嘉一联合中学）解方程：（公式法）（2019·上海市民办嘉一联合中学）解方程：（配方法）22．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）在实数范围内因式分解（1）；（2）．第03讲一元二次方程的概念与解法（2大考点9种解题方法）考点考向考点考向一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五、解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．七、解一元二次方程-公式法（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．考点精讲考点精讲一．一元二次方程的定义（共1小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合题意；B．是分式方程，故B不符合题意；C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合题意；D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式（共3小题）2．（2021秋•普陀区校级月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得x2﹣3x+10＝0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m≠±2，n＝7．【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根据题意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．（2021秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝﹣3．【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出m的值即可．【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，由常数项为0，得到m2﹣9＝0，解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，则m＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．三．一元二次方程的解（共2小题）5．（2021秋•金山区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（）A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0【分析】直接把x＝﹣1代入方程得到a、b、c的关系，从而可对各选项进行判断．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2021秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝﹣3．【分析】把x＝0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根是0，∴a2﹣9＝0，解得：a＝±3，∵a﹣3≠0，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）7．（2021秋•虹口区校级期末）方程的解是x1＝x2＝﹣．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：，x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）8．（2021秋•松江区期末）用配方法解方程：．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9．（2021秋•虹口区校级期末）用配方法解方程：．【分析】根据配方法将方程变形，写成完全平方的形式，即可解答此方程．【解答】解：，移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．10．（2021秋•徐汇区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．六．解一元二次方程-公式法（共2小题）11．（2021秋•普陀区校级月考）解方程：x2﹣3x﹣5＝0．【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣3x﹣5＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，∴△＝9﹣4×（﹣5）＝29＞0，∴x＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．（2021秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x＝＝，∴x1＝+，x2＝﹣．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）13．（2021秋•崇明区校级期末）方程2x2＝x的根是x1＝0，x2＝．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2＝x，2x2﹣x＝0，x（2x﹣1）＝0，x＝0，2x﹣1＝0，x1＝0，x2＝，故答案为：x1＝0，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．14．（2021秋•徐汇区校级期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】原方程的左边含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．【解答】解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0（x﹣3）（3x﹣3）＝0解得：x1＝3，x2＝1．【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．八．换元法解一元二次方程（共3小题）15．（2021秋•普陀区校级月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，则x2+y2＝1．【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t2+3t﹣4＝0，解方程即可求得t，根据x2+y2≥0，即x2+y2的值【解答】解：设t＝x2+y2，则原方程可化为：t2+3t﹣4＝0，即（t﹣1）（t+4）＝0∴t＝﹣4或1，∵x2+y2≥0，∴t＝1，即x2+y2＝1，故答案为1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．16．（2021秋•金山区校级期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．【分析】将x﹣2看作整体，利用因式分解法求解可得．【解答】解：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0，（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0，∴（x﹣2﹣5）（x﹣2+2）＝0，即x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，∴x1＝0，x2＝7．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2021秋•黄浦区期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．【分析】方法一：利用因式分解法解方程；方法二：设x﹣2＝y，则原方程变为y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的方程，最后再来求x的值．【解答】方法一：解：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．（x﹣2﹣3）（x﹣2+1）＝0，（x﹣5）（x﹣1）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝5；x2＝1．方法二：解：x﹣2＝y，则有y2﹣2y﹣3＝0，∴（y+1）（y﹣3）＝0；解得，y＝﹣1或y＝3；①当y＝﹣1时，x＝1；②当y＝3时，x＝5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．九．配方法的应用（共1小题）18．（2020秋•浦东新区校级月考）将化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式﹣（x﹣5）2+4．【分析】原式提取﹣，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣（x2﹣10x+25）+4＝﹣（x﹣5）2+4．故答案为：﹣（x﹣5）2+4．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）下列关于x的方程一定有实数根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别根据方程的解得定义，从a的取值出发进行判断．【详解】解：A、有实数解，故符合；B、，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；C、，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；D、，当a＜0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；故选A．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，对a值进行取值验证．2．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x=1代入原方程即可解得k的值．【详解】解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，可得k-1+k2-1-k+1=0，即k2=1，解得k=-1或1；但当k=1时k-1和k2-1均等于0，故应舍去；所以，取k=-1；故选：C．【点睛】此题应特别注意求出未知字母系数的值后，要代入原方程看是否符合题意．3．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）下列方程中，满足两个实数根的和为2的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根与系数的关系可对A、B、D进行判断；根据根的判别式对C进行判断．【详解】解：A、x1+x2=0，所以A选项不符合；B、x1+x2=2，所以B选项符合；C、Δ=4-4×2＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合；D、x1+x2=-2，所以D选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式．4．（2019·上海民办浦东交中初级中学）已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【答案】A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．二、填空题5．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）当_______时，方程不是一元二次方程．【答案】±【分析】根据方程不是一元二次方程得出二次项系数等于0，求出即可．【详解】解：∵不是一元二次方程，∴a2-3=0，解得：a=±，故答案为：±．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的应用，注意：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0）．6．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程的一个根是-2，则它的另一个根是_______．【答案】【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到-2t=-3，然后解一元一次方程即可．【详解】解：设方程的另一个根为t，根据题意得-2t=-3，解得t=，即方程的另一个根是，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．7．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义得到，，代入计算即可．【详解】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，∴，，∴，，∴==1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立．8．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）方程的二次项是_______；一次项系数是_______．【答案】-2【分析】要确定二次项系数、一次项系数，首先要把方程化成一般形式．【详解】解：由方程得：，∴该方程的二次项是，一次项系数是-2，故答案为：，-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）在实数范围内，已知，则的值是______．【答案】-3【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．【详解】解：设，则，，故，解得：，，当时，则，此时△，此方程无解，故，故的值是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键．10．（2020·上海金山区·八年级期中）方程的根是_________．【答案】，【分析】移项后利用因式分解法直接求解即可．【详解】解：移项可得，分解因式可得，∴或，∴，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键．11．（2021·上海奉教院附中八年级期末）在实数范围内分解因式：______．【答案】【分析】首先根据求出方程的两个根，然后即可分解因式．【详解】令,∴,,故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，根据方程求出两个解是关键．12．（2020·上海金山区·八年级期中）对于实数，定义运算“”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．【答案】或【分析】首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可．【详解】∵是一元二次方程的两个根，，∴或，当时，；当时，；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查定义新运算，分情况讨论是关键．13．（2019·上海市民办嘉一联合中学）方程的实数解为__________．【答案】；【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出，舍去负值后进一步开平方即可．【详解】解：移项后可得：或（舍）故答案为：．【点睛】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为(n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可．三、解答题14．（2020·上海金山区·八年级期中）解方程：．【答案】x1=，x2=0【分析】先移项，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴2x-5=0，2x=0，∴x1=，x2=0．故答案为：x1=，x2=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．（2020·上海市松江区民办茸一中学八年级月考）解方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）移项后利用十字相乘法因式分解即可求解．【详解】解：（1），∴，∴，∴，；（2），，，，即或，解得．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种方法并能灵活运用是解题关键．16．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）已知关于的方程没有实数根，试判别方程的根的情况．【答案】1个或2个【分析】由方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，得△1=4（m+2）2-4m（m+5）＜0，解得m＞4．关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0，当m-5=0，为一元一次方程，有一个根；当m-5≠0时，△2=4（m+2）2-4m（m-5）=4（9m+4）＞