苏科版九年级数学上册举一反三系列专题1.1一元二次方程的定义及解【八大题型】特训(原卷版+解析)

专题1.1一元二次方程的定义及解【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1一元二次方程的识别】 1【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 1【题型3由一元二次方程的定义求字母的值】 2【题型4一元二次方程的一般形式】 2【题型5由一元二次方程的解求字母的值】 3【题型6由一元二次方程的解求代数式的值】 3【题型7由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 3【题型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】 4【知识点1一元二次方程的定义】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.【题型1一元二次方程的识别】【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x−1x=A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2−1x=4；④xA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦1x2+1x−2＝0；⑧（x+1）（xA．2 B．3 C．4 D．6【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠±1 B．a≠0 C．a为任何实数 D．不存在【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是．【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2+m•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．【题型3由一元二次方程的定义求字母的值】【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)xm2−2+4x−7=0A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程(m+2)xm2−2−3x−2a=0的解，则m﹣1+a【知识点2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；项．【题型4一元二次方程的一般形式】【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m）xm2+1+3mx﹣2＝0是关于A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m，n＝．【知识点3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【题型5由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（）A．7 B．316 C．4 D．﹣7【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【题型6由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为．【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为．【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2−43a+6的值为．【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【题型7由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．65【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为．【题型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【变式8-2】（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【变式8-3】（2021秋•泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022专题1.1一元二次方程的定义及解【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1一元二次方程的识别】 9【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 11【题型3由一元二次方程的定义求字母的值】 12【题型4一元二次方程的一般形式】 13【题型5由一元二次方程的解求字母的值】 14【题型6由一元二次方程的解求代数式的值】 15【题型7由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】 17【题型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】 18【知识点1一元二次方程的定义】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.【题型1一元二次方程的识别】【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x−1A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；④3x−1x=故选：A．【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2−1x=4；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选：B．【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意；②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合题意；③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合题意；④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合题意；⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合题意意．故选：A．【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦1x2+1x−2＝0；⑧（xA．2 B．3 C．4 D．6【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；②x2＝0是一元二次方程；③（x2﹣1）2＝1，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程；④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当a＝0时，不是一元二次方程；⑦1x2+⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知数，不是一元二次方程．所以属于一元二次方程的有②④，共2个．故选：A．【题型2由一元二次方程的定义求字母的取值范围】【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠±1 B．a≠0 C．a为任何实数 D．不存在【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，可得a2+1不可能为0，∴a为任何实数．故选：C．【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n＝2，解得m≠2，n＝2．故选：B．【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0，求出即可．【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，∵关于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2+m•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的不等式，进而得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+m•x＝1是关于x的一元二次方程，∴m≥0且m﹣1≠0，∴m≥0且m≠1，故答案为：m≥0且m≠1．【题型3由一元二次方程的定义求字母的值】【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：|m|−1=2m+3≠0，解得：m＝3，故选：A．【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)xm2A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程(m−2)xm2∴m−2≠0m2−2=2解得：m＝﹣2．故选：C．【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，解得：a＝﹣1，故选：A．【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程(m+2)xm2−2−3x−2a=0的解，则m﹣1【分析】根据一元二次方程的定义可得m的值，再将x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子计算即可．【解答】解：由题意得：m+2≠0m解得m＝2，故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，因为x＝1是关于x的一元二次方程(m+2)xm2所以4﹣3﹣2a＝0，解得a=12，所以m﹣1+a=2−1+故答案为：1．【知识点2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；项．【题型4一元二次方程的一般形式】【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，故选：B．【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m）xm2+1+3A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数．【解答】解：由题意得：1−m≠0m2解得：m＝﹣1．∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．故选：C．【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a的值．【解答】解：方程整理得：x2﹣ax+1＝0，∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a＝﹣1，即a＝1．故选：B．【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m，n＝．【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根据题意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【知识点3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【题型5由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故选：B．【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（）A．7 B．316 C．4 【分析】把x＝0代入方程中，就可以求出k的值．【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为0，∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故选：D．【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1，而k﹣1≠0，所以k＝﹣1．故选：C．【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，解得：k＝1或k＝﹣1，故选：C．【题型6由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为9．【分析】把x＝a代入方程求得a2﹣a的值，然后根据6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）即可求解．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣a﹣3＝0，则2a2﹣a＝3，则6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）＝9．故答案是：9．【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为．【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2022﹣2a+2b变形为2022﹣2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2022﹣2a+2b＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×1＝2022﹣2＝2020．故答案为：2020．【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2−43a+6的值为【分析】根据方程解的定义得到3a2﹣4a﹣3＝0，变形得到a2−43a＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得3a2﹣4a﹣6＝0，∴a2−43a＝1，∴a2−43a+6＝1+6＝7．故答案为：7．【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝﹣2，再把8m﹣2m2+2变形为﹣2（m2﹣4m）+2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6．故选：B．【题型7由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝a+1，再用a表示a3得到a3＝2a+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，∴﹣a3+2a+2021＝﹣（2a+1）+2a+2021＝﹣2a﹣1+2a+2021＝2020．故选：A．【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．65【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一个根，∴a2+a﹣8＝0∴a2+a＝8，∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，故选：B．【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x＝a代入方程可得，a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2＝（a+1）2﹣3a﹣2＝a2﹣a﹣1＝0．【题型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y【分析】根据关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的两个根为±3，可得y【解答】解：∵关于x的一元二次方程12022x2∴关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣22和22．故答案为：﹣22和22．【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程a2（x+2）2+bx+2bA．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2