苏科版八年级数学上册尖子生同步培优题典专题1.5全等三角形的性质与判定(重难点培优)特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.5全等三角形的性质与判定（重难点培优）【名师点睛】【典例剖析】【例1】（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．【变式】（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ABD≌△BAC；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．【例2】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式】（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．52．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（）A．68° B．69° C．71° D．72°3．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（）A．155° B．125° C．135° D．145°4．（2022春•济南期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°5．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（）A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b6．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（）A．75° B．80° C．65° D．95°7．（2021春•涿鹿县期中）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，则AB是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2020秋•射阳县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA9．（2019秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．24 B．18 C．12 D．910．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题）11．（2021秋•武进区期中）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．12．（2021秋•泰州月考）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是（只添一个条件即可）．13．（2011春•太仓市期末）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为．（注：把你认为正确的答案序号都填上）14．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．15．（2019秋•江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为．16．（2018秋•邗江区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是．三．解答题（共4小题）17．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．18．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D＝∠E．19．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．（1）求证：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．20．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面积．【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.5全等三角形的性质与判定（重难点培优）【名师点睛】【典例剖析】【例1】（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【变式】（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ABD≌△BAC；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可知△ABD和△BAC都是直角三角形，因为AB＝BA，AD＝BC，所以根据“HL”可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC；（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠BAC的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出∠BAD的度数，则由∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD即可求出∠CAO的度数．【解答】（1）证明：如图，∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），即△ABD≌△BAC；（2）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝35°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵∠BAD＝∠ABC＝35°，∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°，∴∠CAO的度数为20°．【例2】（2020秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【变式】（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE与△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故选：B．2．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（）A．68° B．69° C．71° D．72°【分析】先证明△BDE≌△BDC（SAS），可得∠BDE＝∠BDC，根据∠ADB+∠CDB＝180°，即可求出∠ADB的度数．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ADE＝38°，∴∠BDC＝∠ADB+38°，∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，∴∠ADB＝71°，故选：C．3．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故选：B．4．（2022春•济南期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°【分析】在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC＝EC，∠B＝∠AEC，可求得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，证得∠B＝∠CDE，即可得出结果．【解答】解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC与△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．5．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（）A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b【分析】由题意可证△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的长．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，故选：B．6．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（）A．75° B．80° C．65° D．95°【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．故选：C．7．（2021春•涿鹿县期中）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，则AB是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】证明△DAB≌△CBA（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BD，根据勾股定理可求出答案．【解答】解：在△DAB和△CBA，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AC＝BD，∵AC＝3，AD＝4，∴BD＝3，∴AB＝＝＝5．故选：C．8．（2020秋•射阳县期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故选：B．9．（2019秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，点E、F是AD上的任意两点，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】利用SSS证明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面积＝△ACD的面积，通过拼接可得阴影部分的面积＝△ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD＝BC＝4，∴AD是BC的中垂线，∴BE＝CE，BF＝CF，在△BEF和△CEF中，∴△BEF≌△CEF（SSS），∴S△BEF＝S△CEF，∴S阴影＝S△ADB＝×CD×AD＝12，故选：C．10．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．【解答】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③无法证明∠1＝∠2，故③错误；④∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵AB＝CE，∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．故其中正确的结论有①④，共两个．故选：B．二．填空题（共6小题）11．（2021秋•武进区期中）已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件AC＝BD，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．【分析】根据SAS的判定方法可得出答案．【解答】解：补充条件AC＝BD．理由：在△ABC和△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS）．故答案为：AC＝BD．12．（2021秋•泰州月考）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是CD＝BD（只添一个条件即可）．【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB＝DC，利用SAS判定其全等．【解答】解：需添加的一个条件是：CD＝BD，理由：∵∠1＝∠2，∴∠ADC＝∠ADB，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．故答案为：CD＝BD．13．（2011春•太仓市期末）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为①、③、④．（注：把你认为正确的答案序号都填上）【分析】由∠CAE＝∠DAB，得∠CAB＝∠DAE；则△CAB和△DAE中，已知的条件有：∠CAB＝∠DAE，CA＝AD；要判定两三角形全等，只需添加一组对应角相等或AE＝AB即可．【解答】解：∵∠CAE＝∠DAB，∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；又AC＝AD；所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．故填①、③、④．14．（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动0或2或4或6秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．【解答】解：∵CA⊥BC，BM⊥BQ，∴∠ACB＝∠PBN＝90°，①当P在线段BC上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），∴BP＝AC＝2cm，∴CP＝BC﹣BP＝4（cm），∴点P的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），∴PB＝BC＝6cm，∴CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），∴BP＝AC＝2cm，∴CP＝BC+BP＝8（cm），∴点P的运动时间为8÷2＝4（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），∴BP＝BC＝6cm，∴CP＝BC+BP＝12（cm），点P的运动时间为12÷2＝6（秒），故答案为：0或2或4或6．15．（2019秋•江阴市期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为（1）（2）（3）．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）16．（2018秋•邗江区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是①②③④．【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确；故答案为：①②③④三．解答题（共4小题）17．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．【分析】（