大学物理质点运动例题

例题1

一质点的运动方程是其中和是正值常量。求：（1）任意时刻质点的位置矢量；

（2）质点的轨迹方程；

（3）从t=0到任意时刻t，质点的始末位置对坐标原点o的张角θ。（4）从t=0

到任意时刻t，质点运动的路程。解(1)

质点任意时刻的位置矢量为(2)

由运动方程消去t，可得质点的轨迹方程

（3）由运动方程可知，t=0

时质点的位置P0点的坐标为由图可知，任意时刻t质点位置P点的坐标为与运动方程相比较可得到（4）质点从t=0到任意时刻t质点运动的路程s是弧长3例1：某质点运动方程为求：（1）质点在t1=0S、t2＝1S时位置矢量；（2）在

t=t2－t1＝1S内的位移；（3）在

t=t2－t1＝1S内的平均速度；（4）质点在t时刻的速度；解：（1）（2）（3）（4）解根据质点速度的定义则有速度的大小根据质点加速度的定义例题2

已知质点的运动方程是式中、都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。5[例1]已知：质点加速度为求：解：1、求速度：62、求运动方程：解由加速度的定义式得作变换有根据初始条件作定积分可得例题2

一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为a=3+2x。若在x=0处，其速度v0

=5m/s，求质点运动到x＝3m处时所具有的速度v。解选取竖直向上为轴的正方向，坐标原点在抛点处。设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为k，则空气阻力为此时小球的加速度为即作变换整理则得例题3

以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为m的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？根据初始条件，作定积分可得当小球达到最大高度H

时，v=0。可得解（1）由角速度和角加速度的定义，得把t=2s代入运动方程、角速度和角加速度方程，可得例题1一质点作半径为R=1.0m的圆周运动，其运动方程为θ=2t3+3t，其中θ

以rad

计，t

以s计。试求：（1）t=2s时质点的角位置、角速度和角加速度。

（2）t=2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根据线量与角量的关系，可得加速度加速度的大小设加速度与法向加速度的夹角为α，则解设加速度与速度方向的夹角为α，则即所以两边积分例题2质点沿半径为R的圆轨道运动，初速度为v0，加速度与速度方向的夹角恒定，如图所示．求速度的大小与时间的关系．13例3：质点运动方程为解：求：当质点运动速率为时，质点的位置矢；质点运动的加速度、法向和切向加速度。所以与水流方向间的夹角为北岸南岸求的是

。例题1在河水流速v0=2m/s

的地方有小船渡河，如希望小船以v=4m/s

的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大小和方向应如何？解取河水的流向如图。

解：在两参考系上建如图所示的坐标系。木块相对劈形物的加速度为劈形物相对地面的加速度为例题2倾角θ=300的劈形物体放在水平地面上。当斜面上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度4ms-2向右运动。又知道木块相对斜面的加速度为6ms-2，求木块相对地面的加速度。a与y轴负向的夹角：分析：已知初始条件求速率和路程，需先求出加速度。结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动方程的第二类运动学问题。1)以桌面为参考系，建立自然坐标系解

2)分析受力,其中竖直方向重力与桌面的支持力相互平衡，与运动无关。3)应用牛顿第二定律设物体的质量为m例题1光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R，一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动磨擦系数为μ。设在某一时刻质点经A点时的速度为v0

。求此后t

时刻物体的速率和从A点开始所经过的路程。切向：法向：切向：法向：联立1）-3）得:4)积分运算进行求解即对时间积分分离变量得：解1）取地面为参考系，y轴正方向向下．2）受力分析：重力、浮力、摩擦阻力3）应用牛顿第二定律例题2一个小球在粘滞性液体中下沉，已知小球的质量为m，液体对小球的有浮力为，阻力为。若t=0时，小球的速率为v0，试求小球在粘滞性液体中下沉的速率随时间的变化规律。做定积分，并考虑初始条件有故有在时，极限速率为解∶地球半径为R，质量M，物体质量m物体距地心r

处引力为F，则有：由牛顿第二定律得：[例3]

竖直上抛物体初速至少为多大时才不会返回地球?结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动方程的第二类运动学问题。分析：初始条件，时的速度为只要求出速率方程“不会返回地球”：当时，地面附近：距地心r处：(需消去t)所以物体不返回地面的最小速度——第二宇宙速度(逃逸速度)的条件为：当r=R

时，v=v0，作定积分，得：由上可知,当时,只要物体就不会返回地面。解∶1)

升降机作加速运动，所以是非惯性系。在此非惯性系中讨论问题必须考虑惯性力。设绳中张力为T，m1、m2受力如图所示。例题1

升降机以加速度上升，质量为m1

=2m2的物体用滑轮联系起来。求∶1)机内观察者看到的m1、m2

的速度；

2)机外地面上的人，观察到的两物体的加速度(无摩擦)。对m1

：（1）（2）对m2

：（3）解得：2)在机外的观察者(惯性系)，m1

的加速度：m2

的加速度：[例1]已知：一质量为m速率为v的小刚球，沿与钢板法线600角入射与钢板碰撞，并以相同的速率和角度弹出求：钢球作用于钢板的冲量。解法1：矢量作图法在矢量三角形中，有：钢球作用于钢板的冲量:建直角坐标系Oxy,则球的动量增量由动量定理，方向沿x轴正向3）计算冲量的两种方法解法2：在坐标系下将矢量转化为标量。小球作用于钢板的冲量：优点：应用动量、冲量研究问题时只需要研究过程始末动量的变化，不涉及瞬息过程中变化的冲击力和加速度。由动量定理，对小球：小球受到的冲量：方向沿x轴正向例题2人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解设人的质量为M，从高h处跳向地面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为t，重心下移了s。由动量定理得：设人落地后作匀减速运动到静止，则：设人从2m处跳下，重心下移1cm，则：可能发生骨折。讨论例题3

质量为m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为10-3s。求∶1)地板对球的平均冲力2)冲力的冲量和重力的冲量。解1)取地板为参考系，向上为正，由得：中的F实为合外力，除冲力外还有重力。即∶2)冲力的冲量：重力的冲量：重力（外力）的冲量可忽略例题1

质量为m、线长为l

的单摆，可绕点O在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求:①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O的角动量；②摆球到达点B时，角速度的大小。解①任意位置时受力为：重力；张力。由角动量定理：瞬时角动量：重力对O点的力矩为：方向：垂直于纸面向里。张力对O点的力矩为零。解如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星径矢扫过的面积由于行星只受有心力作用，其角动量守恒例题2利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。面积速度:例题3用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0

，角速度为。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r时小球的角速度。解选取平面上绳穿过的小孔O为原点。所以小球对O点的角动量守恒。因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力

对O

点的力矩：[2-9]一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。[解]

链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力:另一部分是正在下落的dx段对桌面的冲力:据动量定理例1弹簧弹力的功。解当物体处于

x

处时所受的弹力为：物体由xa移动到xb处时弹性力所作的功为：由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。 例2万有引力的功。m在M的引力场沿其椭圆轨道由ra移到rb。求引力对m

所作的功。解：ab功是力对空间的积分力是位置的函数是可直接积分，当力是时间的函数时如何求力的功呢？例3质量为2kg的质点在力

(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：例1、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？abhRo解：取地心为原点，引力与矢径方向相反另解：

例题1

一长为L，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度

,为常量，x

从轻端算起，求其质心。解：取质元比较：质量均匀分布、长度为L细棒的质心位置。

解选取车厢和车厢里的煤m和即将落入车厢的煤dm为研究的系统。取水平向右为正。t时刻系统的水平总动量：t+dt

时刻系统的水平总动量:dt

时间内水平总动量的增量：由动量定理得：

例题1一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为⊿m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（摩擦忽略不计)[例2]质量分别为m1和m2的两人A、B在光滑的水平冰面上用绳子彼此拉对方。开始时两人静止对立，相距为L，它们在何处相遇?解：选两人为系统，水平方向动量守恒。取开始时A所在处为坐标原点，向右为正，任一时刻速度分别为v1和v2，任一时刻的坐标为x1和x2，则：相遇时：由动量守恒定律得：即：相遇时解题步骤：2、分析各阶段系统受力的特点，确定遵守的规律，列出这些规律的方程。

①明过程②选系统③分阶段④分析力⑤列方程1、理解整个过程，把整个过程分为不同阶段。

例题3质量为m1，仰角为α

的炮车发射了一枚质量为m2的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦。求∶1）炮弹出口时炮车的速率v1

。

2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L)。

解

1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。由x方向的动量守恒可得：由相对速度：得：水平方向合外力为零，系统总动量沿x分量守恒。设炮弹相对地面的速度为v2

。解得：“－”号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。２）若以u(t)

表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经t

秒出口，在t秒内炮车沿水平方向移动了：

例题1两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？

解

选两人及轮为系统，O为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。即两人同时到达顶点。由角动量定理：法二:(

角动量守恒

)1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量

无贡献，因而角动量守恒。即轻者先到达。2、若m1≠m2，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。讨论

例题2：如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆和的小球，系统的小球l/3处的O点在水平面桌面上转动．的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度．（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为今有一质量为质量为/2的速度返回，

解:

取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零．O点对细杆的作用力对点的力矩为零.系统所受的合外力矩为零,系统的角动量守恒．

(P29,1-7)湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v

时，试问：(1)船的运动速度u比v大还是小?(2)若v=常量，船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?解

：(1)

由教材上图知两边对t求导，(2)将式两边对t求导，并考虑到v是常量(P75,2-9)一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。[解]

链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力:另一部分是正在下落的dx段对桌面的冲力:据动量定理

例题1一链条总长为l，质量为m，放在桌面上使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为

，令链条从静止开始运动，则：1）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条刚刚离开桌面时的速率是多少？

解（1）坐标系如图，设任一时刻下垂部分的的长度为x。注意：摩擦力作负功！a[法2]由功能原理求解。将地球、桌子和链条选为系统。取桌面为零势能点。系统不受外力。初态：链条静止在桌面上时。末态：链条刚离开桌面时。非保守内力（摩擦力）作功：

例题1用一轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长l1=10cm,一个质量和盘相同的泥球从高于盘h＝30cm处由静止下落到盘，求盘向下运动的最大距离l2.解：不能用一个守恒定律求解，而要分阶段。①泥球自由下落过程：机械能守恒②泥球和盘的完全非弹性碰撞过程：动量守恒③泥球和盘向下运动的过程：机械能守恒。设盘的最低点为重力势能零点，向下运动最大距离l2.平衡条件联立解得：l2=0.3m

解以弹簧、珠子和地球为系统。受力分析如图。1）取A点为零势能点，由机械能守恒定律得：2）在点B的受力分析，将v的值代入得：

例题2质量为m的珠子，穿在半径为R的固定铅直圆环上，沿圆环作无摩擦滑动。珠子与轻弹簧（k）连结，弹簧的另一端固定于环底C。开始时，珠静止于环顶A，此时弹簧无形变。求当珠子滑到点B（BO在同一水平线上）时，珠子的速度为多大？圆环作用于珠子上的弹力为多大？只有重力和弹力作功。系统机械能守恒。法向上应用牛顿定律，得：

解取小球与地球为系统，机械能守恒由对地心角动量守恒，得联立解得

例题3

质量为m的小球A，以速度v0沿质量为M、半径为R的地球表面的切向水平向右飞出，如图所示。地轴OO'与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO'相交于点B，OB=3R。若不考虑地球自转和空气阻力，求小球A在点B的速度与OO'轴的夹角

例题4

目前，天体物理学家预言有一类天体，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，这种天体称为黑洞（blackhole)。若由于某种原因，太阳变成了一个黑洞，它的半径必须小于何值？若则光也逃不出黑洞对太阳时变成黑洞。

解

由机械能守恒定律即：当时要从上逃逸，则有：逃不出去：

例题

两半径为的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另有一半径为的材料相同的大球以速度与之作弹性碰撞，如图所示

的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞后大球的速度。

解小球的质量为，则大球的质量为取的方向为轴的正向，由对称性可知，碰撞后大球的速度仍沿轴方向，设为，碰撞后两小球的速度大小相等，设为;运动方向与轴夹角相同，设为联立解得由机械能守恒得：由几何关系知：由方向动量守恒得：将及代入上两式，得例题1一半径为R=0.1m

的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t

的变化关系为

=

(

2

+

4

t

3

)

rad，式中

t以秒计。试求：1）在

t=2s

时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角

为多大时，该质点的加速度与半径成

45

o。解1)2)(舍去t=0

和t=－0.55)此时砂轮的角度：

解1)棒做变加速运动：例题2一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1)棒自水平静止开始运动，θ=π/3时,角速度ω?2)此时端点A和中点B的线速度为多大?例题2一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1)棒自水平静止开始运动，θ=π/3时,角速度ω?2)此时端点A和中点B的线速度为多大?例题1求质量为m，半径为R的均匀圆环对中心轴的转动惯量。解设线密度为λ；例题2求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。

取半径为r宽为dr的薄圆环,解设面密度为σ。例题3求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=λdx。2）取C点为坐标原点。在距C点为x

处取dm。2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、转轴的位置三个因素共同决定;说明例题4质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和

滑轮转动的角加速度β.联合解得：

关联方程：

解

对m1分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。对m2分析受力。取向下为正方向。由转动定律：由牛顿运动定律：例题5一棒长为l，质量为m，质量密度λ与到O点的距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，使棒绕O点转动，棒的初始角速度为ω0，棒与桌面的摩擦系数为μ。求:1）细棒对O点的转动惯量。2）细棒绕O点的摩擦力矩。3）细棒从以ω0

开始转动到停止所经历的时间。解1)在离O点r处取微元dr，则：2）设细棒上距O点r处长dr的线元所受的摩擦力为df；它对O点的摩擦力矩为dM。选z方向为正。3）由角动量原理：负号表示方向竖直向下例题1一刚体由长为

l，质量为m的均匀细杆和质量为m的小球组成，且可绕O轴在竖直平面内转动，

且

轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴O的转动惯量。2）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成θ角时,小球的角速度和法向加速度。2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成θ角时，合外力矩:解1）分离变量积分得:小球的法向加速度：由转动定律:[例2]

一轻绳跨过一定滑轮,滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体,m1﹥m2.设滑轮的质量为m,半径为r,

忽略摩擦。绳与滑轮之间无相对滑动。求:物体的加速度和绳的张力。解:由于m1﹥m2

，则m1向下加速运动，

m2向上加速运动，滑轮逆时针转动。对m1

、m2分析受力。由牛顿定律：对滑轮分析力矩，由转动定律：关联方程：联立解得：

解选取斜面为参考系，规定滑轮的转动方向为转动正向，沿斜面向上为重物运动的正方向．隔离物体分析受力。对重物应用牛顿第二定律，得对滑轮应用转动定律，得关联方程为：例题3一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上，滑轮的半径为r,质量为m1，质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边缘，重物沿倾角为α的斜面上升．重物与斜面间的摩擦系数为μ。求：轮子由静止开始转过角后获得多大的角速度？联立得：由于为常量，故滑轮作匀变速转动．则基本步骤：隔离法分析研究对象。确定各物体运动的正方向。分别列出质点和刚体的运动方程。[例4]打击中心问题：均匀杆可以绕o点转动，当与杆垂直的冲力作用于某点A时，支点O对杆的水平作用力不会因冲力之作用而变化，则A点称之为打击中心，设杆的长度为L,试求打击中心与支点O的距离。解：图示受力分析，设力大小为F，杆质量为m（1）（2）（3）显然当：时XOFA转动定律质心运动定律关联方程求刚体转轴处受力问题时，通常对冲力采用自然坐标系，再依据转动定理、质心运动定理以及角向切向加速度关系来求解。五、刚体的角动量守恒定律：1)定轴转动的刚体，若J=C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。2）若J不为恒量时，角动量守恒即：

Jω=恒量。这时，刚体的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变．当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。3）角动量守恒定律中的都是相对于同一转轴的．说明例题1质量为M，长为l的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的轴O

无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过O点的轴的角动量是否守恒？合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。4）守恒条件：例:例题2光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M的均匀细棒，以速度v运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕O转动，试求∶1）细棒绕O点的转动惯量；2）碰前棒对O轴的角动量；3）碰后棒绕O轴转动的角速度ω

。2）取细棒为研究对象，碰前细棒作平动，可按质点处理。解1）方向：3）碰撞过程中，细棒所受的外力矩为零，角动量守恒。方向：由平行轴定理：

自转角速度转动惯量设缩后的角速度为，转动惯量为解已知由角动量守恒得

例题3太阳质量为m，自转周期为25.3天，若在演化过程中最后缩为半径5km中子星，而无质量损失，试估算其新的自转周期。例1冲床的飞轮m=600kg，飞轮半径r=0.4m

。正常速为n1=240r/min

，冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔冲头做的功。

解冲孔前后的角速度分别表示为ω1和ω2

孔铁板阻力对冲头做功：故冲头做功：例2如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到h0高度，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。

解碰撞前单摆摆锤的速度为令碰撞后直杆的角速度为

，摆锤的速度为v＇由角动量守恒，有①chch’hmlhol在弹性碰撞过程中机械能守恒:二式联立解得：②按机械能守恒,碰撞后摆锤达到的高度显然为而杆的质心达到的高度满足由此得[例3]一长为l,质量为M的杆可绕支点O自由转动.一质量为m、速率为v的子弹射入距支点a的棒内,若杆的偏转角为,子弹的初速率为多少?解:子弹和杆构成系统,分两过程讨论(1)碰撞瞬间角动量守恒aLVOmM(2)子弹入杆后向上摆动,系统机械能守恒解(1)(2)得:aLo

例题1

在地面上测得有两个飞船分别以+0.9c和-0.9c的速度向相反方向飞行。求一个飞船相对另一个飞船的速度是多大？

解：

取地面为S系，向右的飞船为S

系，则-0.9c0.9cx’y’SS’说明

洛仑兹变换中

,这和伽利略变换的结果是不同的。

例题2

在太阳参考系中观察，一束光垂直射向地面，速率为c。而地面以速率u垂直光线运动。求地面上测得这光束的速度的大小和方向。

解设太阳为S系，地面为S

系。S

系以速率u向右运动，在S系中，光束的速度为：