初中数学《垂线段最短》题型及答案

垂线段最短类型垂线段最短图示两条线段和的最小值问题直线l外一定点A和直线l上一动点P是∠AOB内部一点,点M,N分别是特点结论点BOA,OB上的动点作点P关于OB的对称点P',过点P'作OA的垂线,分别与OB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小过点A作AB⊥l于点B,此时AB的值最小1.找模型(其中一条线段为两动点的连线)2.用模型满分技法:P关于OB的对称点P'P'作OAOB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小证明:如图,若M',N'为OA,OB上任意一点,连接N'P',M'P',则PN=PN,∴当P'M⊥OA时,PN+MN的值最小.思考延伸:1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,1则的最小值为()A.3B.4C.562.模型构造如图,在△ABC中,AB=4,∠=45°,∠的平分线交BC于点D,E,F分别是AD,AB上的动点,则BE+的最小值是.针对训练1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点(异于A,B两点)点P分别作ACBCMN接MNMN的最小值是.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,点D是BC边上一个动点,连接AD,过点D作⊥AD交AB于点E,则线段AE的最小值为.3.如图,正方形的边长为10,E为BEBE为边作等边△,连2接AF,则AF的最小值为.4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为(4,0),点M,N分别在线段AB,y轴上,求PN+MN的最小值.5.✔拔高⊙O,在⊙O上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一条长为20米的经过圆心O的直路BDAD之间再修一条小路EF分别在边CD,AD上,为了美观使得CE=DF,B是的中点,经测量AB=12米,并以A,B,C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF?AB-.课后练习1.(2021•枣庄)ACBD相交于点OAC=63BD=6P是ACE是ABPD+PE的最小值为()3A.33B.63C.3622.中，AC=8∠=30°P是对角线ACBP．(1)线段BP的最小值为(2)若以APBP为邻边作▱APBQ接PQPQ的最小值为；．3.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D为ABMN分别是和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．4.Rt△ABC中，∠C=90°∠B=30°BC=6AD平分∠CAB交BC于点DE为边AB上长度的最小值为．Rt△ABC中，ACBCtanB=∴AC=，33×6=23．∵∠C=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，41∴∠CAD=×60°=30°．2在Rt△中，tan∠CAD=，AC33∴=×23=2．∵AD平分∠CABDC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段的长，即线段长度的最小值为2．5.(3分)中，AB=4BC=6E是对角线BD上一点，⊥BC于点FEG⊥于点G接FG+FG的最小值为．6.Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=6BC=8AD是∠PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于点MAD于点PP作PQ⊥AC于点QAD是∠的平分线．得出PQ=PM时PC+PQCMAB，1212再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC出CMPC+PQ的最小值．347.(2023•江门三模)如图，△ABC中，∠ACB=90°AB+BC=8tanA=OD分别是边AB、ACOC+的最小值为()5245265961259625A.B.C.C关于AB的对称点C'CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'O时OC+C'D8.(2021春•龙岗区月考)P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OADPD=5，点M是射线OCPM的最小值为．PM⊥OC时，PM案．9.(2024春•北京期中)的周长为24∠ABD=30°P是对角线BD上一动点，Q是BCPC+PQ的最小值是()A.6B.33C.3563Q和点CP在直线BDCQA和点C关于BD即为所求．10.(2021春•金寨县期末)2的正方形M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点EMF⊥于点F接的最小值为()A.1B.22C.32MCMECF=MCMC⊥BD时，MC6△BCMMC即可得出结果．11.在锐角△ABC中，BC=4∠ABC=30°BD平分∠ABCMN分别是BDBCMNCMCM+MN的最小值是多少？C作CE⊥AB于点EBD于点M′点M′作M′N′⊥BCCE即为CM+MNBC=4∠ABC=30°CE的长．12.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D为ABMN分别是和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．13.中，AC=6BD=8AC与BD交于点OE是ABMN分别在ACBCEM+MN的最小值为．123214.y=-x2+x+2的图象与x轴交于AB(点A在点B的左侧)y轴交于点CM为直线BC上一动点，N为xAMMNAM+MN的最小值．715.△ABC中，AB=6P是BCAP的最小值是。解析提示：16.ABC中，BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABCMN分别是BDBC上的CM+MN的最小值是。解析提示：17.如图，△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5P为直线ABPCPC的最小值是。18.A的坐标为(-10)B(aa)ABB的坐标为。19.的边长为9183PE分别为线段BDBCPE+PC的最小8值为20.△ABC的边长为4AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是ACAE=1EM+CM的最小值为。21.如图，△ABC中，AB=AC=13BC=10AD是BC边上的中线且AD=12F是AD上的动点，E是ACCF+的最小值为。22.的边长是2∠C的平分线交DC于点EPQ分别是AD和AE上的动DQ+PQ的最小值为。23.ΔABC中，∠B=90°AB=12BC=5D为边AC上一动点，⊥AB于点EDF⊥BC于点F的最小值为()960133013A.4.8B.C.1324.ΔABC中，∠A=90°∠B=60°AB=2D是BC2AD+DC的最小值()A.23+6B.6C.3+3425.ABC中，AB=4△ABC的面积为10BD平分∠ABCMN分别是BD、BCCM+MN的最小值为()A.4B.5C.4.5626.如图，△ABC中，∠=75°∠ACB=60°AC=4△ABC的面积为分别为BCABACFD△的周长最小值为DEF．10垂线段最短类型垂线段最短图示两条线段和的最小值问题直线l外一定点A和直线l上一动点P是∠AOB内部一点,点M,N分别是特点结论点BOA,OB上的动点作点P关于OB的对称点P',过点P'作OA的垂线,分别与OB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小过点A作AB⊥l于点B,此时AB的值最小1.找模型(其中一条线段为两动点的连线)2.用模型满分技法:P关于OB的对称点P'P'作OAOB,OA交于点N,M,此时PN+MN的值最小证明:如图,若M',N'为OA,OB上任意一点,连接N'P',M'P',则PN=PN,∴当P'M⊥OA时,PN+MN的值最小.思考延伸:1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,1则的最小值为()A.3B.4C.56思路点拨:.ARt△中,∵AD=5,AC=4,∴=AD2-AC2=52-42=3,当⊥AB时,的值最小(垂线段最短),∵AD是∠的平分线,∠C=90°,∴=(角平分线性质)∴的最小值为3.2.模型构造如图,在△ABC中,AB=4,∠=45°,∠的平分线交BC于点D,E,F分别是AD,AB上的动点,则BE+的最小值是.最短求解即可。针对训练1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点(异于A,B两点)点P分别作ACBCMN接MNMN的最小值是.3105,连接PC.在△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=2,∴AB=AC2+BC2=62+22=210.2∵PM⟂AC,PN⊥BC,∴∠PMC=∠PNC=∠ACB=90°,∴四边形PMCN是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)，∴MN=PC(矩形的对角线相等),AC⋅BC6×22103105当PC⊥AB时,PC的值最小(垂线段最短)PC===AB(直角三角形等面积转化)，3105∴MN的最小值为.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,点D是BC边上一个动点,连接AD,过点D作⊥AD交AB于点E,则线段AE的最小值为.83AE的中点FFD,过点F作FG⊥BC于点G.设AE=x,则AF=DF=12x4x2x212AE=,∵AC=2,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AB=4,BF=AB-AF=4-,∴GF=BF=2-xx28383,GF≤DF,∴2-≤,解得x≥,∴线段AE的最小值为-.43.如图,正方形的边长为10,E为BEBE为边作等边△,连接AF,则AF的最小值为.5B△ABF逆时针方向旋转60°,得到△GBE,连接AG,∴∠ABG=60°,AB=BG,AF=GE(旋转性质)∴△ABGG与直线AD的位置保持不变,当EG312⊥时,GE的长最短(垂线段最短),∵AB=AG=10∴最短长度为GE=AG=5,故AF的最小值为5.4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为(4,0),点M,N分别在线段AB,y轴上,求PN+MN的最小值.:∵OA=3,OB=4,∴AB=5,如解图,过点P作PM'⊥AB于点M',交y轴于点N'.∵PN+MN≥PN+NM,,即PN+MN≥PM',根据垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段PM'的长,∵∠=∠',∠AOB=∠AM'P=90°,∴△ABO∽△APM',ABAP5OBMP∴∴=相似三角形的判定与性质)，4PM=,7285∴PM=,85∴PN+MN的最小值为25.✔拔高⊙O,在⊙O上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一条长为20米的经过圆心O的直路BDAD之间再修一条小路EF分别在边CD,AD上,为了美观使得CE=DF,B是的中点,经测量AB=12米,并以A,B,C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF?AB-.4:存在,如解图,∵B是AC的中点,且BD是⊙O的直径,∴BC=AB=12米,∠=∠=90°,∠=∠(圆周角定理),由勾股定理得,AD==16米,∵CE=DF,∴AF+CE=16米,∴L五边形=AB+BC+CE++AF=12+12+16+=40+,∴当取最小值时,L'五边形就有最小值.延长至点G,使DG=CE,连接GF并延长,过E作EH⊥GF于点H.∵CE=DF,DG=CE,∴DF=DG,∴∠GFD=∠DGF,又∵∠=∠,∠ADC=∠GFD+∠DGF,∴∠=∠EGH,又∵CE=DF,∴EG==16米.BCBD35在Rt△BDC中,sin∠==,HE35∴在Rt△EGH中,sin∠EGH==,EG48∴EH=,5485∵≥EH=,当点FH48∴==9.6米.5∴L有用形ABCEF=40+=49.6米,∴存在符合要求的周长最小的五边形49.6米.课后练习1.(2021•枣庄)ACBD相交于点OAC=63BD=6P是ACE是ABPD+PE的最小值为()5A.33B.63C.362A，在△DPE中，DP+PE>，∴当点P在上时，PD+PE的最小值为的长，∵四边形是菱形，∴AO=CO=33BO=DO=3AC⊥BDAB=AD，AOBO∴tan∠ABO==3，∴∠ABO=60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是AB的中点，∴⊥AB，BD∵sin∠ABD=，632∴=，∴=33，故选：A．2.中，AC=8∠=30°P是对角线ACBP．(1)线段BP的最小值为；(2)若以APBP为邻边作▱APBQ接PQPQ的最小值为．(1)当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC=8∠=30°，∴AB=AC•cos30°=43，∴BP=AB•sin30°=23；故答案为：23；(2)∵四边形APBQ是平行四边形，612∵AO=AB=23PQ=2OP，∴要求PQOPOP⊥AC时，OP取最小值，∴OP=AO•sin30°=3，∴PQ的最小值为23．3.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D为ABMN分别是和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．∵CA=CBD是AB的中点，∴是∠ACB的平分线，∴点N关于的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC=6S=12，12∴×6•BH=12，解得BH=4，∵BM+MN=BM+MN′≥BH=4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．方法二：∵CA=CBD是AB的中点，∴是AB的垂直平分线，∴BM=AM，BM+MN=AM+MN，当AN⊥BC时最小，∴BM+MN的最小值为4．4.Rt△ABC中，∠C=90°∠B=30°BC=6AD平分∠CAB交BC于点DE为边AB上长度的最小值为．Rt△ABC中，ACBCtanB=∴AC=，33×6=23．7∵∠C=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，1∴∠CAD=×60°=30°．2在Rt△中，tan∠CAD=，AC33∴=×23=2．∵AD平分∠CABDC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段的长，即线段长度的最小值为2．5.(3分)中，AB=4BC=6E是对角线BD上一点，⊥BC于点FEG⊥于点G接FG+FG的最小值为．AD上取一点PPD=PBBPPCEC点C作CJ⊥BP于点JE作EK⊥BP于点K．∵四边形是矩形，∴AD=BC=6AD∥BC∠A=90°，设PD=PB=xx2=(6-x)2+42，133∴x=，1212∵S=•PB•CJ=×6×4，7213∴CJ=，∵AD∥CB，∴∠=∠，∵PD=PB，∴∠=∠PBD，∴∠PBD=∠PBC，∵EK⊥BCEK⊥BP，∴=EK，∵EG⊥CD，∴∠=∠FCG=∠CGF=90°，∴四边形是矩形，∴FG=EC，87213∴+FG=EK+CE≥CJ=，72∴+FG的最小值为．136.Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=6BC=8AD是∠PQ分别是AD和ACPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于点MAD于点PP作PQ⊥AC于点QAD是∠的平分线．得出PQ=PM时PC+PQCMAB，1212再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC出CMPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于点MAD于点PP作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠的平分线．∴PQ=PM时PC+PQCM的长度，∵AC=6BC=8∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=62+82=10．12126×8∵S∴CM==AB•CM=AC•BC，AC⋅BC245==，AB10245即PC+PQ的最小值为．PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．347.(2023•江门三模)如图，△ABC中，∠ACB=90°AB+BC=8tanA=OD分别是边AB、ACOC+的最小值为()9245265961259625A.B.C.C关于AB的对称点C'CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'O时OC+C'DC关于AB的对称点C'接CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'OOC+C'D的长；34△ABC中，∠ACB=90°tanA=，BCAC34∴tanA==，BC35∴=，AB∵AB+BC=8，∴BC=3AB=5AC=4，1212∵S=BC•AC=AB•CE，∴3×4=5CE，125∴CE=，245∴CC'=2CE=，∵∠C'EO=∠=90°∠C'OE=∠AOD，∴∠A'=∠C，∵∠CDC'=∠ACB=90°，∴△CDC'∽△ACB，C'DACCC'ABC'D45∴==59625∴C'D=，9625即OC+的最小值为是；故选：D．-8.(2021春•龙岗区月考)P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OADPD=5，点M是射线OCPM的最小值为5．10PM⊥OC时，PM案．PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOCPD⊥OAPD=3，∴PM=PD=5，故PM的最小值为5，故答案为：5．题的关键．9.(2024春•北京期中)的周长为24∠ABD=30°P是对角线BD上一动点，Q是BCPC+PQ的最小值是()A.6B.33C.3563Q和点CP在直线BDCQA和点C关于BD即为所求．A和点C关于BD即为所求．连接AC，∵∠ABD=30°是菱形，∴∠ABC=60°AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵点Q为BC的中点，11∴⊥BC，∵菱形的周长为24，∴AB=BC=6，在Rt△ABQ中，∠ABC=60°，∴∠=30°，1212∴BQ=AB=×6=3，∴=3BQ=33．故选：B．-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10.(2021春•金寨县期末)2的正方形M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点EMF⊥于点F接的最小值为()A.1B.22C.32MCMECF=MCMC⊥BD时，MC△BCMMC即可得出结果．MC∵四边形是正方形，∴∠C=90°∠=45°，∵ME⊥BC于EMF⊥于F∴四边形MECF为矩形，∴=MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，2∴MC=BC=2，2∴的最小值为2；故选：D．12【总结提升】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问11.在锐角△ABC中，BC=4∠ABC=30°BD平分∠ABCMN分别是BDBCMNCMCM+MN的最小值是多少？C作CE⊥AB于点EBD于点M′点M′作M′N′⊥BCCE即为CM+MNBC=4∠ABC=30°CE的长．C作CE⊥AB于点EBD于点M′M′作M′N′⊥BC，∵BD平分∠ABC，∴M′E=M′N′，∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=4∠ABC=30°，12∴CE=BC•sin30°=4×=2．∴CM+MN的最小值是2．-角函数的定义求解是解答此题的关键．12.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D为ABMN分别是和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．13∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．13.中，AC=6BD=8AC与BD交于点OE是ABMN分别在ACBCEM+MN的最小值为．(1)23(2)314.中，AB=4BC=6E是对角线BD上一点，⊥BC于点FEG⊥于点GFG+FG的最小值为ꢀꢀ．125123214.y=-x2+x+2的图象与x轴交于AB(点A在点B的左侧)y轴交于点CM为直线BC上一动点，N为xAMMNAM+MN的最小值．15.△ABC中，AB=6P是BCAP的最小值是。解析提示：A点作AH⊥BC于H1412∵△ABC为等边三角形，∴BH=CH=BC=3，∴AH=62-32=33，当P点与H点重合时，AP的值最小，∴AP的最小值是33．16.ABC中，BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABCMN分别是BDBC上的CM+MN的最小值是。解析提示：C作CE⊥AB于点EBD于点M′M′作M′N′⊥BC于N′CE即为CM+MN的最小值，∵BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，22∴CE=BC•cos45°=42×故CM+MN的最小值为4．=4．17.如图，△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5P为直线ABPCPC的最小值是。Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，1212此时：△ABC的面积=•AB•PC=•AC•BC，∴5PC=3×4，∴PC=2.4，18.A的坐标为(-10)B(aa)ABB的坐标为。15A作AD⊥OB于点DD作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△是等腰直角三角形，1∴OE=OA=1，21212∴D(--)．1212故答案为：(--)．19.的边长为9183PE分别为线段BDBCPE+PC的最小值为APA作AH⊥BC于H．∵四边形是菱形，∴AC关于BD对称，∴=PC∴PE+PC=AP+PE，16∵AP+PE≥AH∴PE+PC≥AH，∵S=BC•AH，183∴AH==23，9∴PE+PC≥23，∴PE+PC的最小值为2323．20.△ABC的边长为4AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是ACAE=1EM+CM的最小值为。BEAD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值，过B作BN⊥AC于N，∵△ABC是等边三角形，1∴AN=AC，2∵等边△ABC的边长为4，∴AC=4∵AE=1，32∴NE=1BN=AB=23，∴BE=BN2+NE2=23+12=13，∴EM+CM的最小值为13，故答案为：13．21.如图，△ABC中，AB=AC=13BC=10AD是BC边上的中线且AD=12F是AD上的动点，E是ACCF+的最小值为。17E关于AD的对称点M接CM交AD于FC作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13BC=10AD是BC边上的中线，∴BD=DC=5AD⊥BCAD平分∠，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD=12，1212∴S∴CN==×BC×AD=×AB×CN，BC×AD10×1212013==，AB13∵E关于AD的对称点M，∴=FM，∴CF+=CF+FM=CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，12013即CF+≥，12013即CF+的最小值是，120故答案为：．1322.的边长是2∠C的平分线交DC于点EPQ分别是AD和AE上的动DQ+PQ的最小值为。D关于AE的对称点D′过D′作D′P′⊥AD于P′，∵′⊥AE∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF∠=∠CAE，∴△F≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形是正方形，∴∠′=45°，18∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2AD′2=4，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′22P′D′2=4，∴P′D′=2DQ+PQ的最小值为2．故答案为：2．23.ΔABC中，∠B=90°AB=12BC=5D为边AC上一动点，⊥AB于点EDF⊥BC于点F的最小值为()60133013A.4.8B.C.13BEDFB=BD的最小值即为BDBD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．BD．∵在△ABC中，AB=12BC=5∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2AC=122+52=13．又∵⊥AB于点EDF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴=BD．19∵BD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高，1212AB⋅BCAC12×5136013∴AB⋅BC=AC⋅BDBD===，6013∴的最小值为，故选B．线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．24.ΔABC中，∠A=90°∠B=60°AB=2D是BC2AD+DC的最小值()A.23+6B.6C.3+34B作点A关于BC的对称点A'AA',A'D,过D作⊥AC于E2=CDAD=A'D得出AD+=A'D+A'D,E在同一直线上时，AD+的最小值等于A'E的长是3求出2AD十的最小值