苏科新版八年级上学期《2 .4 线段、角的轴对称性》同步练习卷

苏科新版八年级上学期《2.4线段、角的轴对称性》

同步练习卷

一.解答题(共50小题)

1.如图：在△ABC中，ZC=90°,AD是NB4c的平分线，DELABE,F

在AC上，BD=DF,证明：

(1)CF=EB.

(2)AB=AF+2EB.

2.如图，四边形A3CD中，ZB=90°,AB//CD,M为3c边上的一点，且AM

平分NA4D,DM平分NADC.求证:

(1)AM±DM；

(2)”为3c的中点.

3.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和3C,交A3于〃、N两点,

DM与EN相交于点H

(1)若△口3的周长为15c机，求A3的长;

(2)若NMFN=70°,求NMCN的度数.

DE

MB

4.如图，四边形A3DC中，ZD=ZABD=90°，点。为3。的中点，且。4

平分NB4c.

(1)求证：0c平分NACD；

(2)求证：Q4L0C；

(3)求证：AB+CD=AC.

5.如图，点E是NA03的平分线上一点，ECLOA,ED10B,垂足分别为C、

D.

求证：(1)/ECD=/EDC；

(2)0C=0D；

(3)0E是线段CD的垂直平分线.

6.如图，DE±ABE,DF±ACF,若BD=CD、BE=CF.

(1)求证：AD平分NA4C；

(2)直接写出A3+AC与AE之间的等量关系.

7.如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,BE平分/ABC,交AC于E,DE垂直

平分A3于D,

求证：BE+DE=AC.

DB

8.如图，在△ABC中，AB^AC,NB4c的外角平分线交直线3C于。，过。

作DR,AC分别交直线A3,AC于E,F,连接EH

(1)求证：EFLAD-,

(2)DE//AC,且DE=1,求AD的长.

9.如图，已知：E是NA03的平分线上一点，EC±OB,ED±OA,C、。是垂

足，连接CD,且交0E于点反

(1)求证：0E是CD的垂直平分线.

(2)若乙4。3=60°,请你探究0E,"之间有什么数量关系？并证明你的结

论.

10.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,E为CD的中点，连接AE、BE,BE

LAE,延长AE交的延长线于点R.求证：

(1)FC=AD；

(2)AB=BC+AD.

11.如图，AABC^,AD平分NB4C,DG,3c且平分3C,DELABE,DF

±AC于F.

(1)说明3石=。歹的理由；

(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.

12.四边形A3CD中，AC平分NR4D,CE±ABE,ZADC+ZB=180°

13.如图，在△ABC中，A3边的垂直平分线。交3C于点。，AC边的垂直平分

线h交BC于点E,h与为相交于点O,连结OB,OC,若△ADE的周长为

6cm,ZXOBC的周长为16cm.

(1)求线段的长；

(2)连结。4,求线段。4的长；

(3)若NB4c=120。，求ND4E的度数.

14.如图，已知3。为NABC的平分线，AB=BC,点P在5。上，PMLAD于

M,PNLCD于N,求证：PM=PN.

15.如图，在△ABC中，。是3C的中点，DELAB,DF±AC,垂足分别是E,

F,BE=CF.

求证：AD是△ABC的角平分线.

16.已知甲村和乙村靠近公路a、b,为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工

厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

(1)到两村的距离相等；

(2)到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗？

17.如图，在四边形A5CD中，BOBA,AD=CD,3。平分NABC,

求证：ZA+ZC=180°.

A

RC

18.如图，3。平分NABC交AC于点D,DELAB于E,DF±BCF,AB=

BC=8,若S“BC=28,求DE的长.

19.已知：如图，P是。C上一点，PDLQ4于。，PELOB于E,F、G分别是

0A.。3上的点，＞PF=PG,DF=EG.

20.已知：如图，iSAABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分线MN

分别交3C,A3于点M,N,求证：CM=2BM.

21.已知，如图，3。是NABC的平分线，AB=BC,点P在BD上,PMLAD,

PN1CD,垂足分别是M、N.试说明：PM=PN.

22.如图所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为3C边上的中点,

CELAD于点E,3/〃AC交CE的延长线于点R求证：A3垂直平分DH

23.如图，已知N1=N2,P为3N上的一点，PfUBC于R,PA=PC.

24.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB于。，AE平分NA4C,交

CD于K,交3C于E,歹是3E上一点，S.BF=CE,

25.如图已知：E是NA03的平分线上一点，EC±OA,EDLOB,垂足分别为

C、D.求证：

(1)/ECD=/EDC；

(2)0E是CD的垂直平分线.

，B

26.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DELA3于点E,DfUAC于点E

BE=CF,求证：AD是3c的中垂线.

27.(1)如图1,在△ABC中，AD平分NB4c交于。，DELAB于E,DF

LAC于E则有相等关系DE=DRAE=AF.

(2)如图2,在(1)的情况下，如果/MDN=/EDF,NMDN的两边分别与

A3、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+=

2AF,请加以证明.

(3)如图3,在RtZXABC中，ZC=90°,NR4c=60°,AC=6,AD平分N

A4c交BC于。，ZMDN=12Q°,ND//AB,求四边形AMDN的周长.

28.如图，OAf平分NP。。，MALOP,MBLOQ,A、3为垂足，A3交0M于

点N.

求证：Z0AB=Z0BA.

n

29.如图，已知NB4C=90°,AD,3c于点。，Z1=Z2,E歹〃3C交AC于

点、F.试说明AE=CH

30.已知△ABC中，AD是N3AC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线

于凡

求证：ZBAF=ZACF.

31.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知A5+3D

=DC,

32.如图，四边形A3CD中，AC为NA4D的角平分线，AB=AD,E、R两点分

别在A3、AD±,且AE=DF请完整说明为何四边形AECT的面积为四边

形ABCD的一半.

33.如图，在△ABC中，点。是A3的中点，点歹是5c延长线上一点，连接

DF,交AC于点E,连接BE,ZA=ZABE.

(1)求证：DR是线段A3的垂直平分线；

(2)当A3=AC,ZA=46°时，求NE3C及NR的度数.

D,

B

34.作图题：(不写作法，但必须保留作图痕迹)

如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，(点航，N表示大学，AO,B0表

示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两

条公路的距离也相等.你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形

中画出你的设计方案.

35.如图，在△ABC中，ZA=60°,点。是3c边的中点，DE±BC,ZABC

的角平分线3口交DE于△ABC内一点尸，连接PC.

(1)若NACP=24。，求NA3P的度数；

(2)若NACP=机。，ZABP=n°,请直接写出加〃满足的关系式：

36.如图，在△ABC中，AD为NB4c的平分线，DELAB于E,DF±ACF,

△ABC的面积是28cm2,AB=T6cm,AC=12cm,求DE的长.

E,

BDlc

37.AABC中，ZABC^ZACB的平分线交于点0,过点。作一直线交A3、

AC于E、F.<BE=EO.

(1)说明OR与CR的大小关系；

(2)若BC=12cm,点0到AB的距离为4cm,求△03C的面积.

38.如图，AABC^,AD±BC,ER垂直平分AC,交AC于点R交BC于点E,

且BD=DE.

(1)若NA4E=40°,求NC的度数；

(2)若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长.

39.已知：ZAOB=90°,0M是NA03的平分线，将三角板的直角顶点P在射

线。”上滑动，两直角边分别与。4、交于C、D,PC和尸。有怎样的数

量关系，请说明理由.

40.已知：如图，ZB=ZC=90°,〃是3c的中点，DM平分NADC.

(1)求证：AM平分NB4D；

(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？

(3)线段。、AB.AD间有怎样的关系？直接写出结果.

41.如图，i£AABC中，ZC=90°,AD平分NA4C,DELAB于点E,点F

在AC上，且凡

(1)求证：CF=EB；

(2)请你判断AE、AR与3E之间的数量关系，并说明理由.

交A3延长线于点E,

连接CE.求证：ZBCE=ZA+ZACB.

43.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DR分别是△A3。和△ACD的高，求

证：AD垂直平分ER.

44.已知直线/及其两侧两点A、B,如图.

(1)在直线/上求一点P,使必=P&

(2)在直线/上求一点。，使/平分NAQ3.

(以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法)

.B

45.已知，如图，3。是NA3C的平分线，AB=BC,点P在3。上，PMLAD,

PN±CD,垂足分别是“、N.试说明：PM=PN.

46.如图，△ABC的外角ND4c的平分线交3c边的垂直平分线于P点，PD1

A3于。，PELAC于E.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=6c/n,AC=10cm,求AD的长.

47.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,NA=22.5°,斜边A3的垂直平分

线交AC于点。，点R在AC上，点E在3c的延长线上，CE=CF,连接3F

DE.线段DE和3R在数量和位置上有什么关系？并说明理由.

48.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于。，3C边的垂直平分

线EN交BC于E,DM与EN相交于点R

(1)若△口3的周长为20cm,求A3的长；

(2)若/MFN=7G°,求NMCN的度数.

49.如图，RtAABCZACB=9Q°,。是A3上一点，BD=BC,过点。作

A3的垂线交AC于点E,求证：3E垂直平分CD.

50.已知：△ABC内部一点。到两边A3、AC所在直线的距离相等，且。3=

OC.

苏科新版八年级上学期《2・4线段、角的轴对称性》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.如图：在△ABC中，ZC=90°,AD是NB4c的平分线，DELAB于E,F

在AC上，BD=DF,证明：

(1)CF=EB.

(2)AB=AF+2EB.

W决

【分析】(1)根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，

可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE.再根据RtACDF2

RtAEDB,得CF=EB；

(2)利用角平分线性质证明RtZXADCmRtZXADE,AC=AE,再将线段A3进行

转化.

【解答】证明：(1)..工。是NA4c的平分线，DELAB,DCLAC,

：.DE=DC,

在RtACDF和RtAEDB中，

[BD=DF,

lDC=DE，

RtACDF^RtAEDB(HL).

：.CF=EB；

(2)是NBAC的平分线，DELAB,DCLAC,

：.CD=DE.

在RtAA£>C与RtAADE中，

[CD=DE,

iAD=AD'

RtAADC^RtAADE(HL),

：.AC=AE,

：.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点

D到AC的距离，即CD=DE,是解答本题的关键.

2.如图，四边形A3CD中，ZB=90°,AB//CD,”为3C边上的一点，且AM

平分NB4D,DM平分NADC.求证：

(1)AM1DM；

(2)〃为3c的中点.

【分析】⑴根据平行线的性质得到NR4D+NADC=180°,根据角平分线的定

义得到NMAD+NADM=90°,根据垂直的定义得到答案；

(2)作根据角平分线的性质得到3/=汝匚MN=CM,等量代换得

到答案.

【解答】解：(1),：AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

,.•AM平分NA4D,DM平分NADC,

/.2ZMAD+2ZADM=180°,

AZMAD+ZADM=90°,

ZAMD=90°,

即AM±DM；

(2)作TWLAD交AD于N,

VZB=90°,AB//CD,

：.BM±AB,CMLCD,

,.•AM平分NB4D,DM平分NADC,

：.BM=MN,MN=CM,

：.BM=CM,

即“为3c的中点.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点

到角的两边的距离相等是解题的关键.

3.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和3C,交A3于M、N两点，

DM与EN相交于点H

(1)若的周长为15cm,求A3的长；

(2)若/MFN=70°,求NMCN的度数.

【分析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM,

BN=CN,然后求出△©新的周长=A&

(2)根据三角形的内角和定理列式求出NMNR+NNME再求出NA+NB根据

等边对等角可得NA=NACM,ZB=ZBCN,然后利用三角形的内角和定理

列式计算即可得解.

【解答】解：（1）'：DM.EN分别垂直平分AC和BC,

：.AM=CM,BN=CN,

：.△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

'.,△CMN的周长为15c/n,

.".AB=15cm；

(2)VZMFN=10°,

/.ZMNF+ZNMF=180°-70°=110°,

：ZAMD=ZNMF,ZBNE=ZMNF,

：.ZAMD+ZBNE=ZMNF+/NMF=110°,

AZA+ZB=90°-ZAMD+90°-ZBNE=1SQ°-110°=70°,

'：AM=CM,BN=CN,

：.ZA=ZACM,ZB=ZBCN,

：.ZMCN=180°-2(ZA+ZB)=180°-2X70°=40°.

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等

边对等角的性质，三角形的内角和定理，(2)整体思想的利用是解题的关键.

4.如图，四边形A3DC中，ZD=ZABD=90°，点。为3。的中点，且。4

平分NA4c.

(1)求证：0c平分NACD；

(2)求证：OA±OC；

(3)求证：AB+CD=AC.

【分析】(1)过点。作OELAC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离

相等可得。3=。应从而求出OE=OD,然后根据到角的两边距离相等的点

在角的平分线上证明；

(2)利用“HL”证明△AB。和△AE。全等，根据全等三角形对应角相等可得

ZAOB=ZAOE,同理求出NCOD=NCOE,然后求出NAOC=90°,再根

据垂直的定义即可证明；

(3)根据全等三角形对应边相等可得AB=AE,CD=CE,然后证明即可.

【解答】证明：(1)过点。作。ELAC于E,

VZABD=90°,04平分N3AC,

：.0B=0E,

:点。为3。的中点，

：.0B=0D,

：.0E=0D,

••.0C平分NACD；

(2)在RtAABO和RtAAEO中，

fAO=AO(

lOB=OE，

RtAABO^RtAAEO(HL),

：.ZAOB=ZAOE,

同理求出NCOD=NCOE,

/.ZAOC=ZAOE+ZCOE=lx180°=90°,

2

：.OA±OC；

(3)RtAABO^RtAAEO,

：.AB=AE,

同理可得CD=CE,

"：AC=AE+CE,

：.AB+CD=AC.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边

距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并

作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

5.如图，点E是NA03的平分线上一点，EC±OA,EDLOB,垂足分别为C、

D.

求证：(1)ZECD=ZEDC；

(2)OC=OD；

(3)OE是线段CD的垂直平分线.

【分析】(1)根据角平分线性质可证ED=EC,从而可知△CDE为等腰三角形,

可证NECD=NEDC；

(2)由OE平分NAOB,ECLOA,EDLOB,OE=OE,可证△OED注△OEC,

可得0c=0。；

(3)根据ED=EC,OC=OD,可证0E是线段CD的垂直平分线.

【解答】证明：(1),JOE^ZAOB,ECLOA,EDLOB,

：.ED=EC,即为等腰三角形，

：.ZECD=ZEDC；

(2)•点E是NA03的平分线上一点，ECLOA,ED±OB,

：.ZDOE=ZCOE,ZODE=ZOCE=90°,OE=OE,

:AOED经AOEC(AAS),

：.OC=OD；

(3)'：OC=OD,1.DE=EC,

••.OE是线段CD的垂直平分线.

【点评】本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定,等腰三角形的判定,

三角形全等的相关知识.关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形.

6.如图，DE±ABE,DF±ACF,若BD=CD、BE=CF.

(1)求证：AD平分NA4C；

(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.

【分析】（1）根据相“HL”定理得出△3DE四△CDE故可得出DE=DF,所

以AD平分NA4C；

（2）由（1）中mZXCDE可知3E=CEAD平分N5AC,故可得出△AED

经&AFD,所以AE=ARi^AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

【解答】（1）证明："CDELAB^E,DF±ACF,

：.ZE=ZDFC=9Q°,

I./\BDE与△CDE均为直角三角形，

...[BD=CD

,lBE=CF

ABDE^ACDF,

：.DE=DF,即AD平分NB4C；

(2)AB+AC=2AE.

证明：'：BE=CF,AD平分NA4C,

：.ZEAD=ZCAD,

VZE=ZAFD=9Q°,

ZADE=ZADF,

在△川££>与△ARD中，

'/EAD=/CAD

,•*<AD=AD，

ZADE=ZADF

AAED^AAFD,

：.AE=AF,

：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分

线的性质及其逆定理是解答此题的关键.

7.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,交AC于E,DE垂直

平分A3于D,

【分析】根据角平分线性质得出CE=DE,根据线段垂直平分线性质得出AE=

BE,代入AC=AE+CE求出即可.

【解答】证明：•.•NACB=90°,

：.AC±BC,

'JEDLAB,BEABC,

/.CE=DE,

•「DE垂直平分A—

：・AE=BE,

*：AC=AE+CE,

：・BE+DE=AC.

【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂

直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

8.如图，在△ABC中，AB^AC,NB4c的外角平分线交直线于。，过。

作DELAB,DR,AC分别交直线A3,AC于E,F,连接EH

(1)求证：EFLAD-,

(2)DE//AC,且DE=1,求A。的长.

【分析】(1)根据AD是NE4R的平分线，那么DE=DR如果证得EA=E1,

那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EFLADT.因此证

明E4=网是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和ARD全等.这两个

三角形中已知的条件有NEAD=/刚。，一条公共边，一组直角，因此两三角

形全等，那么就可以得出EA=AR了.

(2)要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了NADE

或NE4D的度数，那么就能求出AD了.如果。E〃AC,那么NEAC=90°,

ZEAD=45°,那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了.

【解答】⑴证明：..ND是NEAR的平分线，

：.ZEAD=ZDAF.

'：DE±AE,DF±AF,

：.ZDEA=ZDFA=9Q°

又AD=AD,

ADEA^^DFA.

：.EA=FA

,:ED=FD,

.••AD是ER的垂直平分线.

即ADLEF.

(2)解：'JDE//AC,

：.ZDEA=ZFAE=90°.

又ND物=90°,

・•.四边形E4ED是矩形.

由(1)得E4=£4,

•••四边形E4ED是正方形.

"：DE=1,

.".AD=y/2-

【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性

质等知识点.本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键.

9.如图，已知：E是NA03的平分线上一点，ECLOB,EDLOA,C、。是垂

足，连接CD,且交0E于点色

(1)求证：OE是CD的垂直平分线.

(2)若NA03=60°,请你探究OE,ER之间有什么数量关系？并证明你的结

【分析】(1)先根据E是NA03的平分线上一点，ECLOB,EDLOA得出△ODE

空丛OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角

形，由等腰三角形的性质即可得出0E是8的垂直平分线；

(2)先根据£是/4。3的平分线，/4。3=60°可得出NAOE=N3OE=30°,

由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论.

【解答】解：(1),••E是NA03的平分线上一点，EC±OB,EDLOA,

：.DE=CE,OE=OE,

RtAODE^RtAOCE,

：.OD=OC,

...△DOC是等腰三角形，

,JOE^ZAOB的平分线，

.•.0E是CD的垂直平分线；

(2)是NA03的平分线，ZAOB=60°,

AZAOE=ZBOE=3Q°,

'：EC±OB,EDLOA,

：.OE=2DE,ZODF=ZOED=60°,

：.ZEDF=3Q°,

：.DE=2EF,

：.OE=4EF.

【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定

与性质，熟知以上知识是解答此题的关键.

10.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,E为CD的中点，连接AE、BE,BE

LAE,延长AE交的延长线于点凡求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD.

【分析】（1）根据可知NADC=NECE再根据E是CD的中点可求出

AADE^AFCE,根据全等三角形的性质即可解答.

（2）根据线段垂直平分线的性质判断出歹即可.

【解答】证明：（1）（已知），

•••NADC=NECT（两直线平行，内错角相等），

是CD的中点（已知），

：.DE=EC（中点的定义）.

在△ADE与AFCE中，

,ZADC=ZECF

<DE=EC，

ZAED=ZCEF

/.AADE^AFCE（ASA）,

：.FC=AD（全等三角形的性质）.

（2）VAADE^AFCE,

：.AE=EF,AD=CF（全等三角形的对应边相等），

・••3E是线段AR的垂直平分线，

：.AB=BF=BC+CF,

'：AD=CF(已证)，

：.AB=BC+AD(等量代换).

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线

上的点到线段的两个端点的距离相等.

11.如图，AABCdp,AD平分NB4C,DG,3c且平分3C,DELABE,DF

LAC于F.

(1)说明3E=CR的理由；

(2)如果A3=5,AC=3,求AE、BE的长.

【分析】(1)连接3D,CD,由AD平分NR4C,DELABE,DFLACF,

根据角平分线的性质，即可得DE=DE又由DG,5c且平分3C,根据线段

垂直平分线的性质，可得3D=CD,继而可证得则可

得BE=CF；

(2)首先证得△AED咨△AED,即可得AE=AR然后设3E=x,由A3-3E=

AC+CF,即可得方程5-x=3+x,解方程即可求得答案.

【解答】(1)证明：连接3D,CD,

•.•AD平分NA4C,DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,

,.,DGL3C且平分BC,

：.BD=CD,

在RtABED与RtACFD中，

[BD=CD,

lDE=DF，

RtABED^RtACFD(HL),

：.BE=CF；

(2)解：在△AED和△ARD中,

，ZAED=ZAFD=90°

<NEAD=/FAD，

,AD=AD

/.AAED^AAFD(AAS),

：.AE=AF,

设BE=x,贝UCF=x,

"：AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,

.*.5-x=3+x,

解得：x=l,

：.BE=1,AE=AB-BE=5-1=4.

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的

判定与性质.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想

与数形结合思想求解.

12.四边形A3CD中，AC平分NBA。，CELABE,ZADC+ZB=1SO°

【分析】过C作CRLAD于E由条件可证△APC2Z\AEC,得到CR=CE.再

由条件/4。。+/3=180°BE=DF,所以ACDF咨ACEB,由全等的性质

可得。P=EB,问题可得解.

【解答】证明：过C作CfUAD于E

：AC平分NR4D,

ZFAC=ZEAC,

'：CE±AB,CFLAD,

AZDFC=ZCEB=90°,

/.AAFC^AAEC,

：.AF=AE,CF=CE,

'：ZADC+ZB=18Q°

：.ZFDC=ZEBC,

：.AFDC^AEBC

：.DF=EB,

：.AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE

【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS,SSS,

AAS,ASA.常用到的性质是：对应角相等，对应边相等.有时还需要证“两

步”全等.

13.如图，在△ABC中，A3边的垂直平分线八交3c于点。，AC边的垂直平分

线/2交3c于点E,A与为相交于点0,连结OB,0C,若△ADE的周长为

6cm,△OBC的周长为16cro.

(1)求线段的长；

(2)连结。4,求线段的长；

(3)若NA4c=120°,求ND4E的度数.

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,根据三角形

的周长公式计算即可;

(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可;

(3)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算.

【解答】解：(1)是A5边的垂直平分线

：.DA=DB,

••2是AC边的垂直平分线，

：.EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；

(2)..Z是A3边的垂直平分线，

：.OA=OB,

是AC边的垂直平分线，

：.OA=OC,

OB+OC+BC=16c机，

.".0A=QB=0C=5cm；

(3)VZBAC=120°,

/.ZABC+ZACB=60°,

'：DA=DB,EA=EC,

：.ZBAD=ZABC,ZEAC=ZACB,

：.ZDAE=ZBAC-ZBAD-ZEAC=6Q°.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线

上的点到线段的两个端点的距离相等.

14.如图，已知3。为NABC的平分线，AB=BC,点P在BD上,于

M,PNLCD于N,求证：PM=PN.

"MD,

【分析】根据角平分线的定义可得NA3D=NC3D,然后利用“边角边”证明△

A3。和△C3D全等，根据全等三角形对应角相等可得NADB=NCD3,然后

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.

【解答】证明：•••3。为NA3C的平分线，

ZABD=ZCBD,

在△A3。和△C3D中，

'AB=BC

<NABD=/CBD，

BD=BD

:AABD空ACBD(SAS),

ZADB=ZCDB,

:点P在3。上，PM±AD,PN±CD,

：.PM=PN.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形

的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键.

15.如图，在△ABC中，。是3c的中点，DE±AB,DF1AC,垂足分别是E,

F,BE=CF.

求证：AD是△ABC的角平分线.

【分析】首先可证明RtABDE名RtADCF(HL)再根据三角形角平分线的逆定

理求得AD是角平分线即可.

【解答】证明：,：DE±AB,DF±AC,

：.RtABDE和RtADCF是直角三角形.

[BD=DC,

lBE=CF，

RtABDE^RtADCF(HL),

：.DE=DF,

X'：DELAB,DF±AC,

•••AD是角平分线.

【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判

定.由三角形全等得到是正确解答本题的关键.

16.已知甲村和乙村靠近公路a、b,为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工

厂，经协商，工厂必须满足以下要求：

(1)到两村的距离相等；

(2)到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗？

【分析】先作出两条公路相交的角平分线0C,再连接ED,作出ED的垂直平分

线RG,则0C与RG的交点H即为工厂的位置.

【解答】解：①以。为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、6于点A、

B；

②分别以A、5为圆心，以大于去43为半径画圆，两圆相交于点C,连接0C；

③连接ED,分别以E、。为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于R、G

两点，连接RG；

④RG与。。相交于点H,则H即为工厂的位置.

同法可得也满足条件，

故点"或即为工厂的位置.

【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，是一道比较简单的题

目.

17.如图，在四边形A5CD中，BOBA,AD=CD,3。平分NABC,

【分析】首先过点D作DELBC于E,过点D作DFLAB交BA的延长线于F,

由3。平分NABC,根据角平分线的性质，即可得DE=DR又由AD=CD,

即可判定RtZ\CDE等RtZkADF则可证得：ZA+ZC=180°.

【解答】证明：过点D作DE±BC于E,过点D作DFLAB交BA的延长线于F,

,.•3。平分NA3C,

：.DE=DF,ZDEC=ZF=90°,

在RtCDE和RtAADF中，

[CD=AD,

1DE=DF，

RtACDE^RtAADF(HL),

：.ZFAD=ZC,

：.ZBAD+ZC=ZBAD+ZFAD=180°.

【点评】此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中,

解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用.

18.如图，3。平分NA3C交AC于点。，DELAB于E,DF±BCF,AB=

BC=8,若S^BC=28,求DE的长.

【分析】根据角平分线性质得出DE=DF根据三角形的面积公式得出关于DE

的方程，求出即可.

【解答】解：,••3。平分NABC交AC于点。，DE±AB,DF±BC,

：.DE=DF,

•SZVLBC=28，AB=BC=8>

/.1X8XDE+1X8XDF=28,

22

8DE=28.

：.DE=3.5.

【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF

是解此题的关键.

19.已知：如图，尸是。C上一点，尸。，。4于。，PEL03于E,F、G分别是

04、03上的点，1.PF=PG,DF=EG.

求证：0C是/A03的平分线.

D,

【分析】利用“HL”证明RtAPFD和RtAPGE全等,根据全等三角形对应边相

等可得PD=PE,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可.

［解答】证明：在RtAPFD和RtAPGE中，(PP=PG,

IDF=EG

RtAPFD^RtAPGE(HL),

：.PD=PE,

,.•P是0c上一点，PD±0A,PELOB,

・..0C是NAOB的平分线.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的

判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键.

20.已知：如图，1SAABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分线MN

分别交3C,A3于点N,求证：CM=2BM.

【分析】先根据垂直平分线的性质，判定再求出乙8=30°,ZCAM

=90°,根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=

AM=^CA即CM=2BM.

2

【解答】证法1：如答图所示，连接AM,

VZBAC=120°,AB=AC,

：.ZB=ZC=3Q°,

,:MN是AB的垂直平分线，

：.BM=AM,：.ZBAM=ZB=30°,

ZMAC=90°,

：.CM=2AM,

：.CM=2BM.

证法二：如答图所示，过A

作AD〃跖V交于点D.

,:MN是AB的垂直平分线，

:.N是AB的中点.

'：AD//MN,

，M是3。的中点，即BM=MD.

'：AC=AB,ZBAC=12Q°,

/.ZB=ZC=3Q°,

VZBAD=ZBNM=90°,

:.AD=LBD=BM=MD,

2

又,.•NG4D=N3AC-N3AD=120°-90°=30°,

：.ZCAD=ZC,

：.AD=DC,BM=MD=DC,

：.CM=2BM.

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线

上的点到线段的两个端点的距离相等.

21.已知，如图，3。是NA3C的平分线，AB=BC,点P在3。上，PMLAD,

PNLCD,垂足分别是M、N.试说明：PM=PN.

M

D.

【分析】根据角平分线的定义可得NA3D=NC3D然后利用“边角边”证明△

A3。和△C3D全等，根据全等三角形对应角相等可得NAD3=NCD3,然后

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.

【解答】证明：•••3。为NA3C的平分线，

ZABD=ZCBD,

fAB=BC

在△A3。和△C3D中，，/ABD=NCBD，

BD=BD

/.AABD^ACBD(SAS),

ZADB=ZCDB,

:点尸在3。上，PM±AD,PN±CD,

：.PM=PN.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形

的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键.

22.如图所示，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为3c边上的中点，

CELAD于点E,3/〃AC交CE的延长线于点F求证：A3垂直平分DH

［分析］先根据A5A判定△ACD之△CBF得至UBF=CD,然后又。为3C中点，

根据中点定义得到8=3。，等量代换得到3歹=5。，再根据角度之间的数量

关系求出NA3C=NA3R即R4是NR3D的平分线，从而利用等腰三角形三

线合一的性质求证即可.

【解答】证明：连接DR

VZBCE+ZACE=9Q°,ZACE+ZCAE=9Q°,

ZBCE=ZCAE.

"：AC±BC,BF//AC.

：.BF±BC.

：.ZACD=ZCBF=9Q°,

'：AC=CB,

：.AACD^ACBF.：.CD=BF.

,:CD=BD=LBC,:.BF=BD.

2

.•.△3即为等腰直角三角形.

VZACB=90°,CA=CB,

：.ZABC=45°.

VZFBD=9Q°,

/.ZABF=45°.

ZABC=ZABF,即BA是NFBD的平分线.

...A4是ED边上的高线，B4又是边RD的中线,

即AB垂直平分DF.

【点评】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线

的性质等几何知识.要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等.

23.如图，已知N1=N2,尸为3N上的一点，PF±BC^F,PA=PC.

求证：ZPCB+ZBAP=1SQ0.

A

BFC

【分析】过点P作PE±BA于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得

PE=PF,然后利用HL证明RtAPEA与RtAPFC全等，根据全等三角形对

应角相等可得/以E=NPC3,再根据平角的定义解答.

【解答】证明：如图，过点P作胡于E,

VZ1=Z2,PR,5c于F

：.PE=PF,ZPEA=ZPFB=90°,

在RtAPEA与RtAPFC中JPA-PC,

lPE=PF

.,.RtAPEA^RtAPFC(HL),

：.ZRXE=ZPCB,

VZBAP+ZPAE=1SO°,

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的

判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

24.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLA3于。，AE平分NA4C,交

CD于K,交3c于E,R是3E上一点，^.BF=CE,

【分析】过点K作MK//BC,根据AE是NA4c的平分线及NAC3=90°,CD

±AB可求出NDK4=NCE4,再由对顶角的性质知NDK4=NCKE,故CK

=BF,由MK〃3C可知N3=NAMK,ZAMK=ZDCA,由全等三角形的判

定定理可知△AMK法△ACK,根据全等三角形的性质可知，CK=MK,MK=

BF,MK//BF,故四边形BRKM是平行四边形，所以RK〃AB.

【解答】证明：过点K作般K〃3C,

：AE平分NA4C,

/.ZBAE=ZCAE,

又,.,NACB=90°,CDLAB,

：.ZBAE+ZDKA=ZCAE+ZCEA=90°,

/.ZDKA=ZCEA,

又：ZDKA=ZCKE,

：.ZCEA=ZCKE,：.CE=CK,又CE=BF,

：.CK=BF（4分）

而MK//BC,

：.ZB=ZAMK,

：.ZBCD+ZB=ZDCA+ZBCD=9Q°,

ZAMK=ZDCA,

在△AMK和△ACK中，

ZAMK=ZACK,AK=AK,ZMAK=ZCAK,

：.AAMK^AACK,（4分）

I.CK=MK,

：.MK=BF,MK//BF,

四边形BRKM是平行四边形，（2分）

J.FK//AB.（2分）

A

【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性

质、平行四边形的判定与性质，涉及面较广，难度较大.

25.如图已知：E是NA03的平分线上一点，EC±OA,ED10B,垂足分别为

C、D.求证：

(1)/ECD=/EDC；

(2)0E是CD的垂直平分线.

【分析】(1)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE,再根据等

边对等角证明即可；

(2)利用证明Rt^OCE和Rt^ODE全等，根据全等三角形对应边相等

可得然后根据等腰三角形三线合一证明.

【解答】证明：(1)是NA03的平分线上一点，ECLOA,EDLOB,

：.EC=DE,

：.ZECD=ZEDC；

(2)在和Rt^ODE中，/0E-0E,

lEC=ED

RtAOCE^RtAODE(HL),

：.OC=OD,

又「OE是/AOB的平分线，

•••OE是CD的垂直平分线.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的

判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键.

26.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DELA3于点E,DfUAC于点R

BE=CF,求证：AD是3c的中垂线.

【分析】由AD是△ABC的角平分线，DELAB,DF±AC,根据角平分线的性

质，可得DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,继而证得RtZkBED等口△0吟,

则可得ZB=ZC,证得AB=AC,然后由三线合一，证得AD是3c的中垂线.

【解答】证明：：人。是△ABC的角平分线，DE±AB,DF±AC,

：.DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,

在RtABED和RtACFD中，

rDE=DF

<NBED=/CFD，

BE=CF

RtABED^RtACFD(SAS),

/./B=/C,

：.AB=AC,

".'AD是AABC的角平分线，

••.AD是3c的中垂线.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质.注

意掌握三线合一性质的应用.

27.(1)如图1,在△ABC中，AD平分NB4c交于。，DELABE,DF

LAC于E则有相等关系DE=DRAE=AF.

(2)如图2,在(1)的情况下，如果/MDN=/EDF,NMDN的两边分别与

AB.AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+AN=

2AF,请加以证明.

(3)如图3,在RtZXABC中，ZC=90°,NR4c=60°,AC=6,AD平分N

A4c交BC于。，ZMDN=12Q°,ND//AB,求四边形AMDN的周长.

【分析】(1)根据角平分线的定义可得NB4D=NC4D,然后利用“角角边”证

明△ADE和△ADR全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

(2)由(1)得DE=DF,再求出NMDE=NNDR然后利用“角边角”证明△

MDE和△NDR全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=NF,然后求

AM+AN=AE+AF,再求解即可；

(3)根据(2)求出AM+AN=2AC,根据角平分线的定义求出乙BAD=NC4D

=30°,根据两直线平行，内错角相等可得/4£^=/84。=30°,从而得

到NC4D=NADN,再根据等角对等边可得AN=DN,根据直角三角形30°

所对的直角边等于斜边的一半可得DN=2CN,然后求出DN,

【解答】(1)证明：..工。平分NA4C,

/.ZBAD=ZCAD,

'：DE±AB,DF±AC,

：.ZAED=ZAFD=9Q°,

在△ADE和△ADR中，

'/BAD=NCAD

<ZAED=ZAFD=90°-

AD=AD

AAADE^AADF(AAS),

：.DE=DF,AE=AF；

⑵解：AM+AN=2AF；

证明如下：由（1）MDE=DF,

,：/MDN=ZEDF,

：.ZMDE=ZNDF,

在AMDE和△NDR中，

，ZMDE=ZNDF

<DE=DF，

ZDEM=ZDFN=90°

，丛MDE部丛NDF(ASA),

：.ME=NF,

：.AM+AN=(AE+ME)+(AF-NF)=AE+AF=2AF；

(3)由(2)可知AM+AN=2AC=2X6=12,

,.♦NB4c=60°,AD平分NB4c交3c于D,

/.ZBAD=ZCAD=3Q°,

'：ND//AB,

：.ZADN=ZBAD=3Q°,

：.ZCAD=ZADN,

：.AN=DN,

在Rt^CDN中，DN=2CN,

"：AC=6,

：.DN=AN=^-X6=4,

1+2

VZBAC=60°,ZMDN=120°,

ZCDE=ZMDN,

：.DM=DN=4,

四边形AMDN的周长=