考点03 分式（精讲）（原卷版）

考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子QUOTEAB叫做分式，其中A为分子，B为分母。（2）对于分式来说：①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0；④当A=B≠0时，分式的值为1；⑤若>0，则A、B同号，若<0，则A、B异号。2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为或，其中A，B，C均为整式。（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。（5）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母。3：分式的运算（☆☆☆）（1）分式的加减①同分母法则：分母不变，分子相加减。用式子表示：。②异分母法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。用式子表示为：。（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示：。（3.分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。用式子表示：。（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，。（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。【易错点归纳】1.判断是否为分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断。2.分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式（即化为最简分式），而且约分前后分式的值相等。4.运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0。5.当分式与整式相乘时，要把整式与分子相乘作为积的分子，分母不变。6.乘方时，一定要把分式加上括号，并且一定要把分子、分母分别乘方。【核心考点】核心考点1.分式的相关概念例1：（2023·江苏·校考模拟预测）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个即可）变式1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变式2．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．变式3．（2024·湖北·校考模拟预测）给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第2024个分式．例2：（2023·河南·校联考模拟预测）下列说法错误的是（）A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0变式1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式有意义的x的取值范围是．变式2．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1变式3．（2020·贵州安顺·统考中考真题）当时，下列分式没有意义的是（

）A． B． C． D．例3：（2023·福建泉州·统考模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是．变式1.（2023·四川南充·统考一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（）A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜变式2．（2023·北京东城·统考二模）若分式的值为正，则实数的取值范围是.例4：（2023·福建福州·统考二模）若分式的值是正整数，则整数的值是．变式1．（2023·湖北·统考一模）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义变式2.（2023·广东广州·校考二模）已知：分式的值为整数，则整数a有．核心考点2.分式的性质例5：（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不变，那么分式应（

）A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍变式1．（2023·江苏盐城·模拟预测）如果把分式中、的值都变为原来的3倍，则分式的值（）A．变为原来的9倍 B．变为原来的3倍 C．不变 D．变为原来的例7：（2023·山东·统考二模）下列分式中，最简分式是(

)A． B． C． D．变式1．（2023·河北·校联考模拟预测）下列分式属于最简分式的是（

）A． B． C． D．例8：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（

）A． B． C．5 D．a变式1．（2023·上海奉贤·统考二模）化简分式的结果为．变式2．（2023·云南昆明·统考二模）化简．例9：（2023·河北唐山·统考一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（

）A． B． C． D．变式1.（2023·内蒙古·统考二模）分式的最简公分母是，=。变式2．（2023·广西梧州·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）A．约分的结果是B．分式与的最简公分母是x﹣1C．约分的结果是1D．化简﹣的结果是1核心考点3.分式的运算例10：（2023·河北·统考二模）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（

）化简：解：原式………………①通分……②合并同类项……③提公因式………………④约分A．① B．② C．③ D．④变式1.（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（

）A． B． C． D．变式2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若分式的值为正整数，则的取值可以是（

）A． B． C． D．例11：（2023·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程：，其中“○”“□”“

”分别盖住了一个整数.（1）“○”“□”“

”表示的整数；（填“相同”或“不相同”）；（2）当时，的最小值为.变式1．（2023下·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）比较与的大小（其中，且）．(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：①当，时，；②当，时，；(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．变式2．（2023·福建泉州·校考模拟预测）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数数，，满足，求的最小值．变式3．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．例12：（2023·河北保定·统考一模）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（

）嘉嘉：琪琪：A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：．变式2．（2023·浙江·九年级专题练习）关于式子，下列说法正确的是（）A．当时，其值为2B．当时，其值为0C．当时，其值为正数D．当时，其值为正数例13：（2023·河北·统考中考真题）化简的结果是（

）A． B． C． D．变式1.（2023·四川攀枝花·统考中考真题）计算，以下结果正确的是（

）A． B． C． D．无意义变式2.（2023·江苏·统考中考真题）计算：．例14：（2023·广东深圳·校考模拟预测）流感病毒的半径大约为米，它的半径用科学记数法表示为（）A． B． C． D．变式1.（2023·四川遂宁·统考中考真题）纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（

）A． B． C． D．变式2.（2023·江苏泰州·统考中考真题）溶度积是化学