浙江省东阳市外国语学校2024−2025学年高三上学期8月独立作业（开学） 数学试题（含解析）

浙江省东阳市外国语学校2024−2025学年高三上学期8月独立作业（开学）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展开式中的系数为（

）A．4 B．-4 C．6 D．-64．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（

）A．10500 B．12500 C．31500 D．525005．在中，分别为角的对边，若，，，则（

）A．2 B．3 C． D．6．双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．37．在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（

）A．12 B．8 C．6 D．48．已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，的夹角为，且，，则（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量为10．已知函数，则（

）A．当时，的图象关于对称B．当时，在上的最大值为C．当为的一个零点时，的最小值为1D．当在上单调递减时，的最大值为111．已知函数的定义域为R，，，则（

）A． B．C．为奇函数 D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是．13．若，则．14．三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积；(3)若，，D为BC的中点，求AD的长．16．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.19．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案1．【答案】B【分析】解不等式化简集合，根据交集的定义求出即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴.故选B．2．【答案】D【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．【详解】设，则，则，即，所以，，解得，，故，对应的点在第四象限．故选D．3．【答案】C【分析】根据二项展开式的通项公式解答即可．【详解】因为的展开式的通项公式为，所以含的项为：，即的展开式中的系数为6，故选C．4．【答案】A【分析】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案．【详解】一斛米的体积为，因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为.故选A.5．【答案】B【分析】根据同角三角函数关系求得，，利用两角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，进而求出a的值．【详解】由，可得，根据进而求出，，由可得，，则，由正弦定理可知，又因为，解得，，由正弦定理可得．故选B．6．【答案】C【分析】设Px,y，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：设F1-c,0、，，双曲线其中一条渐近线为，直线的方程为，①由，得，即直线的斜率为，直线方程为，②由点Px,y在双曲线上，得，③联立①③，得，联立①②，得，则，即，因此，所以离心率．故选C.7．【答案】B【分析】先根据，再根据圆的性质求的最小值即可.【详解】，当且仅当P在线段CO上时等号成立.故选B.8．【答案】A【分析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，得到，然后构造函数，分析其单调性最值，得到在其值域内，解不等式即可.【详解】因为实数a，b，c构成公差为d的等差数列，且，，所以，，所以，即，解得，设，，则，令，解得，所以时，，单调递减；时，，单调递增.所以时，有最小值为，所以，解得：或.故选A.9．【答案】AB【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．【详解】，，故A正确；，所以，故B正确；，所以，又因为，所以，故C错误；在上的投影向量为，故D错误；故选AB．10．【答案】ACD【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．【详解】时，，因为，所以关于对称，故A正确；时，由可得，根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；若，则，，所以，，且，所以的最小值为1，故C正确；因为在上单调递减，且，根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：，，，，所以，，所以，故D正确．故选ACD．11．【答案】BCD【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．【详解】令，，则，将代入得，即，故A错误；由，令可得，若存在x使得，则上式变为，显然不成立，所以，又，因为，所以，将整理为，因为，即，所以，故B正确；令，则，且，所以为奇函数，故C正确；当时，，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由可知，因为，所以，所以，故D正确.故选BCD．【思路导引】关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进行分析，由此即可顺利得解．12．【答案】【分析】先求出这一组数据5，6，7，7，8，9的平均数，由此再求出该组数据的方差．【详解】一组数据5，6，7，7，8，9的平均数为：，∴该组数据的方差为：．故答案为：．13．【答案】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据，，解得，结合二倍角余弦公式进行解答即可．【详解】因为可得，因为，可得，解得或（舍去）所以．故答案为：．14．【答案】【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值．【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD，由线面平行性质定理可知，设，因为三棱锥的所有棱长均为2，所以，且E为线段BC的中点，所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，所以，因为F为线段AD的中点，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化简可得，因为，所以，则在时取得最小值，所以，综上当，即时MN取得最小值．故答案为：．15．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理得的值，进而根据三角形面积公式即可求解；（3）根据三角形的中线的向量表达形式，结合向量模长公式即可求解【详解】（1），即．即,也即由余弦定理可得，由，故（2）由，，由余弦定理可得：解得：，所以（3）由余弦定理可得：，解得又D为BC的中点，则两边平方可得：所以AD的长.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得an的通项公式；（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到bn的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.【详解】（1）因为an为等差数列，设公差为d由，得，即，由，，成等比数列得，，化简得，因为，所以．所以．综上．（2）由知，，又为公比是3的等比数列，，所以，即，所以，，所以.综上.【思路导引】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，所以，又因为，为中点，所以，由线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，不妨取，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，，平面ABCD，所以平面，平面，所以，又因为，为中点，所以，又，平面，所以平面；（2）设点在底面的射影为点，则平面，又平面，所以，取中点，因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，即在的中垂线上，如图建立空间直角坐标系，不妨取，则设为，，，，所以，，，由（1）可知，计算得，，所以，又，，设平面PBC的法向量为，则，即，取，所以．【思路导引】求直线与平面所成角的方法(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角．(2)向量法：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝(其中eq\o(AB,\s\up6(→))为平面α的斜线AB的方向向量，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出即可得解；（2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，方程为，此时，当直线的斜率存在时，设方程为，联立，消得，恒成立，故，则，所以，令，则，所以，当，即时，AB取得最大值，此时，综上所述，当AB最大时，求直线的方程为.19．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数分类讨论分析函数的单调性即可；（2）当时，不等式恒成立，构造函数，转化为在时恒成立，然后利用导数分析函数的单调性最值，求解实数a的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为0,+∞，，当时，f'x>0，所以在0,+当时，令，解得，所以时，f'x>0，所以在上单调递增；时，f'x<0，所以在上单调递减；综上所述：当时，在0,+∞上单调