新高考数学二轮复习创新题型专题10 解析几何专题（新定义）（原卷版）

专题10解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距离之积等于SKIPIF1<0的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知SKIPIF1<0为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：①双纽线Γ的方程为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．其中所有正确命题的序号是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆SKIPIF1<0中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”．则椭圆SKIPIF1<0中所有“好弦”的长度之和为（

）A．162 B．166 C．312 D．3643．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点SKIPIF1<0，定义两点间“距离”为SKIPIF1<0，则平面内与SKIPIF1<0轴上两个不同的定点SKIPIF1<0的“距离”之和等于定值（大于SKIPIF1<0）的点的轨迹可以是（

）A． B．C． D．4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圆方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点.离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为蒙日圆上一个动点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若SKIPIF1<0面积的最大值为36，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线SKIPIF1<0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义SKIPIF1<0称为点SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”，其中SKIPIF1<0为坐标原点，对于下列结论：（1）“SKIPIF1<0和”为1的点SKIPIF1<0的轨迹围成的图形面积为2；（2）设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点，则点SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”的最小值为2；（3）设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点，则使得“SKIPIF1<0和”最小的点有无数个”的充要条件是SKIPIF1<0；（4）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上任意一点，则“SKIPIF1<0和”的最大值为SKIPIF1<0.其中正确的结论序号为（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0到两个焦点SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，则称此椭圆或双曲线存在“SKIPIF1<0点”，下列曲线中存在“SKIPIF1<0点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在椭圆上，且满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为坐标原点），则称点SKIPIF1<0为“★”点.下列结论正确的是（

）A．椭圆SKIPIF1<0上的所有点都是“★”点B．椭圆SKIPIF1<0上仅有有限个点是“★”点C．椭圆SKIPIF1<0上的所有点都不是“★”点D．椭圆SKIPIF1<0上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线上存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则该直线为“SKIPIF1<0型直线”，给出下列直线，其中是“SKIPIF1<0型直线”的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①③ B．①② C．③④ D．①④12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(

)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.A．①③ B．①② C．②③ D．③④二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：SKIPIF1<0.其中星形线E：SKIPIF1<0常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（

）A．E关于y轴对称B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过SKIPIF1<0C．E上的点到原点距离的最小值为SKIPIF1<0D．曲线E所围成图形的面积小于214．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若对于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为10，则称曲线SKIPIF1<0为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段SKIPIF1<0长度为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的轨迹称为双纽线.已知曲线SKIPIF1<0为双纽线，下列选项判断正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0B．曲线SKIPIF1<0上的点的纵坐标的取值范围是SKIPIF1<0C．曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称D．SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<017．（2021秋·江苏南通·高二江苏省包场高级中学校考期中）黄金分割比例SKIPIF1<0具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率SKIPIF1<0的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（

）A．椭圆SKIPIF1<0是“黄金椭圆”B．若椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”C．设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”D．设椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称②卵圆上不存在两点关于直线SKIPIF1<0对称③线段SKIPIF1<0长度的取值范围是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<019．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日SKIPIF1<0发现：双曲线SKIPIF1<0的两条互相垂直切线的交点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线SKIPIF1<0对应的蒙日圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0外的一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的两个动点，则SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0叫点SKIPIF1<0对曲线SKIPIF1<0的张角.已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的动点，设SKIPIF1<0对圆SKIPIF1<0的张角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与SKIPIF1<0的交点N为点M的“中心投影点”，曲线SKIPIF1<0上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆SKIPIF1<0的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆SKIPIF1<0的长轴､短轴，使椭圆SKIPIF1<0变换成椭圆SKIPIF1<0，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆SKIPIF1<0“压缩”成椭圆SKIPIF1<0，得到一系列椭圆SKIPIF1<0，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0次“压缩”后能终止，则椭圆SKIPIF1<0的离心率可能是①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中的______.（填写所有正确结论的序号）25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点SKIPIF1<0,若直线上存在点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,则该直线为“SKIPIF1<0型直线”.给出下列直线,其中是“SKIPIF1<0型直线”的是___________.①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<026．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则称曲线SKIPIF1<0为“合作曲线”，有下列曲线①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0后，构成一个斜坐标平面SKIPIF1<0.在此斜坐标平面SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0的坐标定义如下：过点SKIPIF1<0作两坐标轴的平分线，分别交两轴于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上表示的数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上表示的数为SKIPIF1<0.那么以原点SKIPIF1<0为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0为黄金双曲线.如图是双曲线SKIPIF1<0的图象，给出以下几个说法：①双曲线SKIPIF1<0是黄金双曲线；②若SKIPIF1<0，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0,b)，B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为____________四、解答题29．（2022·全国·高三专题练习）焦距为2c的椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求SKIPIF1<0的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．30．（2022·高二课时练习）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆短轴的上端点，SKIPIF1<0为椭圆上异于SKIPIF1<0点的任一点，若SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点距离的最大值仅在SKIPIF1<0点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.（1）若SKIPIF1<0，判断椭圆SKIPIF1<0是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆SKIPIF1<0是“圆椭圆”，求SKIPIF1<0的取值范围.31．（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是“相似椭圆”，已知椭圆SKIPIF1<0的短半轴长为SKIPIF1<0．（1）写出椭圆SKIPIF1<0的方程（用SKIPIF1<0表示）；（2）若椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，求实数SKIPIF1<0的取值范围．32．（2020春·上海青浦·高三校考开学考试）我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作SKIPIF1<0.（1）求点SKIPIF1<0到抛物线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0是长为2的线段，求点集SKIPIF1<0所表示图形的面积.33．（2020秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.若三角形SKIPIF1<0的三个顶点都在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”