新高考数学二轮复习创新题型专题09 解析几何专题（数学文化）（解析版）

专题09解析几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形SKIPIF1<0截某圆锥得到椭圆SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与矩形SKIPIF1<0的四边相切.设椭圆SKIPIF1<0在平面直角坐标系中的方程为SKIPIF1<0，下列选项中满足题意的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题得SKIPIF1<0，再判断选项得解.【详解】解：矩形SKIPIF1<0的四边与椭圆相切，则矩形的面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.只有选项A符合.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为SKIPIF1<0，若双曲线C以SKIPIF1<0为焦点、以直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点SKIPIF1<0为原点，直线SKIPIF1<0为x轴建立平面直角坐标系，如图，点SKIPIF1<0，设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，其渐近线为SKIPIF1<0，因直线SKIPIF1<0为一条渐近线，则有SKIPIF1<0，双曲线C的离心率为SKIPIF1<0.故选：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0在圆上，所以蒙日圆的半径SKIPIF1<0.故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）我们把离心率为SKIPIF1<0的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的最大值得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得到椭圆C的方程.【详解】解：由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0.故选：D．5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上的两个定点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一个动点，当SKIPIF1<0在何处时，SKIPIF1<0最大?问题的答案是：当且仅当SKIPIF1<0的外接圆与边SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴正半轴上的一动点，当SKIPIF1<0最大时，点SKIPIF1<0的纵坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由米勒定理确定SKIPIF1<0的外接圆与SKIPIF1<0轴的位置关系，再应用垂径定理、直线与圆关系确定圆心和半径，进而写出SKIPIF1<0的外接圆的方程，即可求SKIPIF1<0的纵坐标.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴正半轴上的一动点，根据米勒定理知，当SKIPIF1<0的外接圆与SKIPIF1<0轴相切时，SKIPIF1<0最大，由垂径定理知，弦SKIPIF1<0的垂直平分线必过SKIPIF1<0的外接圆圆心，所以弦SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，故弦SKIPIF1<0中点的横坐标即为SKIPIF1<0的外接圆半径的大小，即SKIPIF1<0，由垂径定理得圆心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0.故选：C6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为SKIPIF1<0，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，进而即得.【详解】设椭圆的长半轴长为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是SKIPIF1<0．故选：D.7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点SKIPIF1<0是锐角SKIPIF1<0的一边SKIPIF1<0上的两点，试在SKIPIF1<0边上找一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0最大.”如图，其结论是：点SKIPIF1<0为过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点且和射线SKIPIF1<0相切的圆与射线SKIPIF1<0的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，给定两点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上移动，当SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0的横坐标是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．1或SKIPIF1<0 D．1或SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点SKIPIF1<0为过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点且和SKIPIF1<0轴相切的圆与SKIPIF1<0轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点SKIPIF1<0为过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点且和SKIPIF1<0轴相切的圆与SKIPIF1<0轴的切点，线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，所以以线段SKIPIF1<0为弦的圆的圆心在线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0上，所以可设圆心坐标为SKIPIF1<0，又因为圆与SKIPIF1<0轴相切，所以圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即切点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于圆上以线段SKIPIF1<0（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点SKIPIF1<0的圆的半径比过SKIPIF1<0的圆的半径大，所以SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0为所求，所以当SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0的横坐标是1.故选：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知SKIPIF1<0是平面内两个定点，且|AB|=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（

）A．到SKIPIF1<0两点距离相等的点的轨迹是直线B．到SKIPIF1<0两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C．到SKIPIF1<0两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D．到SKIPIF1<0两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线【答案】D【分析】判断到SKIPIF1<0两点距离相等的点的轨迹是SKIPIF1<0连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断SKIPIF1<0.【详解】对于A，到SKIPIF1<0两点距离相等的点的轨迹是SKIPIF1<0连线的垂直平分线，正确；对于B，以SKIPIF1<0为x轴，SKIPIF1<0的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，设动点SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，化简为SKIPIF1<0，即此时点的轨迹为圆，B正确；对于C，不妨设动点P到SKIPIF1<0两点距离之和等于5，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故到SKIPIF1<0两点距离之和等于5的点的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，C正确；对于D，设动点P到SKIPIF1<0两点距离之差等于3，即SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，故到SKIPIF1<0两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线靠近B侧的一支，D错误，故选：D9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当SKIPIF1<0时，轨迹为椭圆；当SKIPIF1<0时，轨迹为抛物线；当SKIPIF1<0时，轨迹为双曲线．现有方程SKIPIF1<0表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于SKIPIF1<0的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0和定直线SKIPIF1<0的距离之比为常数SKIPIF1<0，由双曲线得定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（SKIPIF1<0）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于SKIPIF1<0，在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作圆锥的母线，分别与两个球相切于SKIPIF1<0，由球和圆的几何性质，可以知道，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0的产生方法可知，它们之间的距离SKIPIF1<0是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆.如图②，一个半径为SKIPIF1<0的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源SKIPIF1<0，则球在桌面上的投影是椭圆，已知SKIPIF1<0是椭圆的长轴，SKIPIF1<0垂直于桌面且与球相切，SKIPIF1<0，则椭圆的焦距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设球SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切与点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用二倍角正切公式可得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求得焦距.【详解】设球SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切与点SKIPIF1<0，作出轴截面如下图所示，由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆的焦距为SKIPIF1<0.故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率SKIPIF1<0与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，两个焦点分别为SKIPIF1<0，点P为椭圆C的上顶点．直线SKIPIF1<0与椭圆C交于A，B两点，若SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则椭圆C的长轴长为（

）A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意得到方程组SKIPIF1<0①和SKIPIF1<0②，即可解出a、b，求出长轴长.【详解】椭圆的面积SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①.因为点P为椭圆C的上项点，所以SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0与椭圆C交于A，B两点，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入整理化简得：SKIPIF1<0②①②联立解得：SKIPIF1<0.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选：B12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离.结合上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】记点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，数形结合可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点时，等号成立，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.故选：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为SKIPIF1<0，若将军从点SKIPIF1<0处出发，河岸线所在直线方程为SKIPIF1<0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求出将军出发点SKIPIF1<0关于河岸所在直线的对称点SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0交河岸所在直线于点SKIPIF1<0，则由对称性可知SKIPIF1<0为最短距离，求解即可．【详解】解：如图，设SKIPIF1<0关于河岸线所在直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，根据题意，设军营所在区域为以圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0的圆上和圆内所有点，SKIPIF1<0为最短距离，先求出SKIPIF1<0的坐标，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为1，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设内层椭圆方程为SKIPIF1<0，则外层椭圆方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），分别列出过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的切线方程，联立切线和内层椭圆，由SKIPIF1<0分别转化出SKIPIF1<0的表达式，结合SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），设切线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，设切线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：D二、多选题16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，若某直线上存在点SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离比到直线SKIPIF1<0的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（

）A．点SKIPIF1<0的轨迹曲线是一条线段B．SKIPIF1<0不是“最远距离直线”C．SKIPIF1<0是“最远距离直线”D．点SKIPIF1<0的轨迹与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是没有交会的轨迹SKIPIF1<0即两个轨迹没有交点SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点SKIPIF1<0的轨迹，可以判断选项A，根据抛物线的曲线性质可判断选项D，对于选项B和C，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离比等于点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，由抛物线的定义可知，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的抛物线，即：SKIPIF1<0，故A选项错误；对于选项B和C：判断直线是不是“最远距离直线”，只需要判断直线与抛物线SKIPIF1<0是否有交点，所以联立直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0可得方程SKIPIF1<0，易得方程SKIPIF1<0无实根，故选项B正确；同理，通过联立直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0可得方程SKIPIF1<0，易得方程SKIPIF1<0有实根，故选项C正确；由于抛物线SKIPIF1<0与其准线SKIPIF1<0没有交点，所以选项D正确；故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，SKIPIF1<0等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与SKIPIF1<0相关的代数问题，可以转化为点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0无解 B．SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为2SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为2SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即椭圆方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故A错误，B正确，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无最大值，故C正确，D错误，故选：BC.18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，下列式子正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0<SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根据题意得SKIPIF1<0，再结合不等式的性质即可得答案.【详解】观察图形可知SKIPIF1<0，即A不正确；SKIPIF1<0，即B正确；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0,即：SKIPIF1<0,即D正确，C不正确．故选：BD【点睛】本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知SKIPIF1<0，进而根据不等式性质讨论求解.19．（2022·全国·高三专题练习）数学家称SKIPIF1<0为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：SKIPIF1<0与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．黄金椭圆离心率SKIPIF1<0C．设直线OQ的倾斜角为θ，则SKIPIF1<0 D．交点Q坐标为(b,ωb)【答案】AC【分析】A：由方程SKIPIF1<0的根可判断正误；B：由题设SKIPIF1<0，根据椭圆参数关系及离心率SKIPIF1<0即可判断正误；C：由圆的性质有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D：由C易得Q点纵坐标为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即可判断正误.【详解】A：方程SKIPIF1<0的一个根为SKIPIF1<0，正确；B：由题意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，错误；C：易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，正确；D：由SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0知：Q点纵坐标为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标.20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，重心SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0为等边三角形C．欧拉线方程为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0外接圆的方程为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A正确；计算SKIPIF1<0得到B错误；计算线段SKIPIF1<0垂直平分线的方程得到C正确；计算外接圆圆心为SKIPIF1<0，得到圆方程，D正确，得到答案.【详解】SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，设SKIPIF1<0，由重心坐标公式SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选项A正确；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是等边三角形，故选项B错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心､重心､垂心都位于线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点的坐标为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0所在直线的斜率SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0垂直平分线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的欧拉线方程为SKIPIF1<0，故选项C正确；因为线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的垂直平分线与线段SKIPIF1<0的垂直平分线的交点，所以交点SKIPIF1<0的坐标满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，外接圆半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆方程为SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：ACD.21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为圆SKIPIF1<0，又已知动圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.则下列说法正确的是（

）A．圆SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0变化时，动点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，过直线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0引圆SKIPIF1<0的两条切线，切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．存在SKIPIF1<0使得圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切【答案】ABC【分析】对于A根据“阿波罗尼斯圆”的定义列式化简即可；对于B，设圆心SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0即可得到圆心SKIPIF1<0的估计方程；对于C，因为SKIPIF1<0是直角三角形，根据三角函数找出SKIPIF1<0的最大值，再得出SKIPIF1<0的最大值；对于D，根据两点间的距离公式计算出SKIPIF1<0范围，再根据两圆内切条件判断即可.【详解】.解：设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0化简整理得：SKIPIF1<0.故A正确；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故B正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最大，只需SKIPIF1<0最小.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，若两圆内切有SKIPIF1<0，故不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故D错误.故选:ABC22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，把到定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离之积等于SKIPIF1<0的点的轨迹称为双纽线SKIPIF1<0.已知点SKIPIF1<0是双纽线SKIPIF1<0上一点，下列说法中正确的有（

）A．双纽线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称 B．SKIPIF1<0C．双纽线SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0有两个 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对A，设动点SKIPIF1<0，则对称点SKIPIF1<0代入轨迹方程，显然成立；对B，根据SKIPIF1<0的面积范围证明；对C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在y轴上，代入轨迹方程求解；对D，根据余弦定理分析SKIPIF1<0中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A，设动点SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0关于x轴对称的点SKIPIF1<0代入轨迹方程，显然成立，故A正确；对B，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故B正确；对C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂线即y轴上．故此时SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，仅有一个，故C错误；对D，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线时取等号．故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为SKIPIF1<0，当阳光与地面夹角为SKIPIF1<0时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为SKIPIF1<0，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为SKIPIF1<0，设伞柄与地面的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴SKIPIF1<0，短半轴SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两次反弹后击打目标球N，点M到SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，点N到SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】以C为原点，SKIPIF1<0边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出SKIPIF1<0的坐标，求出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0的坐标，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0的坐标，则直线SKIPIF1<0方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.【详解】以C为原点，SKIPIF1<0边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，N关于x轴的对称点为SKIPIF1<0关于y轴的对称点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方向为本球射出方向，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点SKIPIF1<0和一动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0将动点SKIPIF1<0的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0将动点SKIPIF1<0的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心到直线SKIPIF1<0的距离最远，即为圆心到M的距离.此时，直线l与CM垂直，由SKIPIF1<0可得答案.【详解】依题意可知，动点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内.当劣弧所对的圆心角最小时，SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以所求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆SKIPIF1<0，则该椭圆的面积为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据椭圆方程求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，依题意椭圆的面积SKIPIF1<0，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以椭圆的面积SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<027．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点间的直线距离，即SKIPIF1<0.切比雪夫距离是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________.【答案】6【分析】由条件确定SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点SKIPIF1<0的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.【详解】因为点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，要使SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点之间的切比雪夫距离为6.故答案为：6.28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心SKIPIF1<0的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据离心率SKIPIF1<0可求出双曲线方程，再将横坐标代入可得纵坐标.【详解】依题意知：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又瓶口直径为20厘米，SKIPIF1<0代入双曲线方程得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0高为20厘米故答案为：2029．（2022秋·湖北·高二校联考期末）如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，SKIPIF1<0是馈源的方向角，记为SKIPIF1<0，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值SKIPIF1<0称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角SKIPIF1<0，则其焦径比为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】理解题意，根据抛物线有关知识求解【详解】设抛物线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0