山西省长治市第四中学校2024届高三上学期8月月考数学试卷

高中数学精编资源2/2高三8月月考数学试题考试范围:函数、集合考试时间:120分钟考试分数:150分一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,,则()A. B.C. D.2.若函数,若,则实数m的值等于()A.－3 B.1 C.－1或3 D.－3或13.已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.4.已知不等式的解集为,则不等式的解集为A. B.C. D.5.函数的大致图象是A. B.C. D.6.已知,则关于说法正确的是()A.有最大值8 B.有最小值 C.有最小值8 D.有最大值7.定义运算:,例如:,,若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.8.高斯函数属于初等函数,以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名,其图形在形状上像一个倒悬着的钟,高斯函数应用范围很广,在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影,设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,.则函数的值域为()A. B. C. D.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.当时,幂函数的图像在直线的下方,则的值可能为()A. B. C. D.10.下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则11.已知函数是上的增函数,则实数的值可以是()A4 B.3 C. D.12.对任意两个实数a,b,定义,,若,,下列关于函数的说法正确的是()A.函数是偶函数 B.方程有两个解C.函数有个单调区间 D.函数有最大值为,最小值三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.函数的单调递减区间是___________.14.使得“”成立的一个充分不必要条件是______.15.若函数满足,则__________.16.已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数,且在区间是减函数,若,则实数a的取值范围是_______.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合U为全体实数集,或,.(1)若,求;(2)若,求实数a的取值范围.18.已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设全部溶解),糖水变甜了,(1)请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立;(2)运用该不等式比较以下三个值的大小:,,19.求满足下列条件各式的值:(1)若,求的值;(2)若,求的值.20已知函数,.(1)求函数的定义域;(2)判断函数奇偶性,并说明理由;(3)讨论函数的值域.21.设函数,且,求证:函数在内至少有一个零点.22.已知函数.(1)判断函数在R上的单调性,并用单调性的定义证明;(2)若,①判断函数的奇偶性,并证明;②若恒成立,求实数k的取值范围.

高三8月月考数学试题考试范围:函数、集合考试时间:120分钟考试分数:150分一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合并集的概念及运算,即可求解.【详解】由集合,,根据集合并集的概念及运算,可得.故选:B.2.若函数,若,则实数m的值等于()A.－3 B.1 C.－1或3 D.－3或1【答案】D【解析】【分析】分段求解方程,即可求得函数的零点.【详解】当时,等价于,解得;当时,等价于,解得.故选:D.【点睛】本题考查函数零点的求解,属基础题.3.已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据指数函数的单调性判断与1的大小关系,再由对数函数的单调性判断与0的大小关系,最后判断与0和1的大小关系即可求解.【详解】解:因为,,,所以,故选:C.4.已知不等式的解集为,则不等式的解集为A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到,为方程的根,再解出的值带入不等式即可.【详解】有题知:,为方程的根.所以,解得.所以,解得:或.故选:B【点睛】本题主要考查二次不等式的求法,同时考查了学生的计算能力,属于简单题.5.函数的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式,用排除法判断,根据偶函数排除C、D;再根据单调性,排除A,即可求解答案.【详解】可知函数是偶函数,排除C,D;定义域满足:,可得或.当时,是递增函数,排除A;故选B.【点睛】本题考查已知函数解析式的函数图像的判断,考查数形结合思想,属于基础题.6.已知,则关于的说法正确的是()A.有最大值8 B.有最小值 C.有最小值8 D.有最大值【答案】B【解析】【分析】由题意可知x与3y和为定值,根据基本不等式即可求得的最小值.【详解】根据题意得,,则(当且仅当时,等号成立),则有最小值.故选B.7.定义运算:,例如:,,若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为函数与的图象有3个不同的交点,画出函数图象,利用图象求解即可【详解】因为函数有3个不同的零点,所以方程有3个不相等的实根,所以函数与的图象有3个不同的交点,函数图象如图所示由图可知当,两函数图象有3个不同的交点,所以实数的取值范围为,故选:A8.高斯函数属于初等函数,以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名,其图形在形状上像一个倒悬着的钟,高斯函数应用范围很广,在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影,设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,.则函数的值域为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的值域,再根据题干中要求即可得出的值域.【详解】,,,,,即函数的值域为,由高斯函数定义可知:函数的值域为故选:C.【点睛】方法点睛:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.当时,幂函数的图像在直线的下方,则的值可能为()A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】转化为当时,恒成立,可得,由此可得解.【详解】根据题意得当时,,可知,故选:AB【点睛】关键点点睛:由不等式得出是解题关键.10.下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质,结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值,,,显然不满足结论;B.由可知,,结论正确;C,,,,显然不满足结论;D.,则又,则根据不等式性质,有成立.故选:BD.11.已知函数是上的增函数,则实数的值可以是()A.4 B.3 C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用分段函数单调性建立不等关系,从而求出参数的取值范围.【详解】由函数是上的增函数,所以所以,故选:CD.12.对任意两个实数a,b,定义,,若,,下列关于函数的说法正确的是()A.函数是偶函数 B.方程有两个解C.函数有个单调区间 D.函数有最大值为,最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据定义表示出函数解析式,并画出函数图象,观察图象即可得出正确选项.【详解】由题意可得,,作出函数图象,如下图所示:由图像可知,该函数为偶函数;函数有两个零点;函数单调递减区间为:和,单调递增区间为:和,故函数有四个单调区间;当时,函数取得最大值为,无最小值.故选:ABC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.函数的单调递减区间是___________.【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】,,解得或.函数的开口向上,对称轴是轴,在上递减,根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.故答案为:14.使得“”成立的一个充分不必要条件是______.【答案】(答案不唯一,只需为集合的真子集即可)【解析】【分析】由指数函数性质求得不等式的解,然后根据充分不必要条件的定义确定.【详解】,即原不等式解集为,只要取此集合的真子集即可,如.故答案为:.15.若函数满足,则__________.【答案】1【解析】【分析】根据,分别令,求解.【详解】因为,令可得:,①令可得:,②联立①②可得:,故答案为:1.16.已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数,且在区间是减函数,若,则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为,从而解该不等式组即可求得正解.【详解】由已知可得原不等式等价于,结合单调性可得.故答案为:四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合U为全体实数集,或,.(1)若,求;(2)若,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)把代入求出N,然后结合集合的补集交集运算即可.(2)根据函数的包含关系即可求解参数的取值范围.【小问1详解】解:由题意得:当时,集合U为全体实数集或,【小问2详解】若,则当时,,解得:;当时,成立,且或成立,解得:;综上:实数a的取值范围或18.已知克糖水中含有克糖,再添加克糖(假设全部溶解),糖水变甜了,(1)请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立;(2)运用该不等式比较以下三个值的大小:,,【答案】(1);证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据添加后的浓度大于之前的浓度,得出,利用作差法证明不等式成立即可.(2)利用(1)中结论可得,时,,依此不等式即可比较所给三个数的大小.【小问1详解】由题意可得:,时,.证明如下:,,,,,,.【小问2详解】由(1)知,时,,即;则,,又综上所述,.19.求满足下列条件的各式的值:(1)若,求的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【解析】分析】(1)首先解方程求出的值,再根据对数恒等式计算可得;(2)根据对数恒等式计算可得.【详解】解:(1),;(2),.【点睛】本题考查对数恒等式的应用(且),属于基础题.20.已知函数,.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;(3)讨论函数值域.【答案】(1)(2)偶函数,理由见解析(3)答案见解析【解析】【分析】(1)由对数的真数大于零可求得函数的定义域.(2)根据函数奇偶性的定义判断.(3)换元后分和两种情况分析判断.【小问1详解】且,得,即定义域为.小问2详解】因为定义域关于原点对称,且,所以函数为偶函数.【小问3详解】,令,由,得,则,,当时,,所以原函数的值域为;当时,,所以原函数的值域为.21.设函数,且,求证:函数在内至少有一个零点.【答案】见解析【解析】【分析】由可得到,由此化简得到,确定,可知与中至少有一个为正;利用零点存在定理可证得结论.【详解】又与中至少有一个为正又或∴函数在内至少有一个零点【点睛】本题考查零点存在定理的应用,关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负,从而利用零点存在定理确定是否存在零点.22.已知函数.(1)判断函数在R上的单调性,并用单调性的定义证明;(2)若,①判断函数的奇偶性