专题10.3 两个计数原理、排列与组合（解析版）

专题10.3两个计数原理、排列与组合题型一分类及分步的简单应用题型二排列数及组合数问题题型三捆绑法及插空法题型四倍缩法题型五隔板法题型六特殊元素法题型七染色问题题型八平均分组问题题型九部分平均分组问题题型一 分类及分步的简单应用例1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）

A．90 B．180 C．270 D．360【答案】B【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可.【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，其中1春2夏的不同情况有：种；2春1夏的不同情况有：种，所以小明选取节气的不同情况有：种．故选：B．例2．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有种不同的安排方法．（用数字回答）【答案】300【分析】解法一，分类考虑，化学是否被排在上午，根据分类加法原理求得答案；解法二，先排上午第四节，再排其余节次的课，根据分步乘法原理求得答案；解法三，利用间接法，即求出从6门课程中任意选4门安排在上午的排法，减去化学排在第四节课的排法数，即得答案.【详解】解法一，第一类：化学被选上，有种不同的安排方法；第二类：化学不被选上，有种不同的安排方法．故共有种不同的安排方法，故答案为：300解法二，第一步：化学不排在第四节，故第四节有种排法；第二步：其余三节有种排法，故共有种不同的安排方法，故答案为：300解法三（间接法）,从6门课程中任意选4门安排在上午，有种排法，而化学排第四节，有种排法，故共有种不同的安排方法．故答案为：300练习1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有7部产生于魏晋南北朝时期．某校拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程的学习内容，则所选2部专著中至少有1部是魏晋南北朝时期的情况共有（

）A．42种 B．39种 C．10种 D．35种【答案】A【分析】根据题意分两种情况：一是所选的2部专著中有1部是魏晋南北朝时期的，二是所选的2部专著都是魏晋南北朝时期的，求出各个情况的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果.【详解】根据题意分两种情况：一是所选的2部专著中有1部是魏晋南北朝时期的，有种方法，二是所选的2部专著都是魏晋南北朝时期的，有种方法，所以由分类加法原理可知共有种方法，故选：A练习2．甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有种承包方式（用数字作答）.【答案】60【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根据分步乘法原理可求得结果.【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩下的3项丙承包，所以由分步乘法原理可得共有种方案，故答案为：60练习3．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有种不同的选法.（用数字作答）【答案】【分析】根据题意，可分为志愿组有3名男生，2名女生和志愿组有4名男生，1名女生，两类情况，结合分类计数原理，即可求解.【详解】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法，由分类计数原理得，共有种不同的选法.故答案为：.练习4．2014年国务院印发《关于深化考试招生制度改革意见》，福建省在2021年高考进入“3+1+2”选科模式，即语文、数学、英语三门必考，物理和历史二选一，化学、政治、生物、地理四选二，在此规则下，学生共有种选科方式.【答案】12【分析】根据分步乘法原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】依题意，根据计数乘法原理，有种方法.故答案为：12练习5．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为.【答案】10【分析】分两种情况考虑，即每个家庭乘坐一辆车和每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子，根据分类加法原理即可得答案.【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案；当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为，故满足条件的不同乘车方案种数为，故答案为：10题型二 排列数及组合数问题例3．已知（，且），则（

）A．28 B．42 C．43 D．56【答案】A【分析】先根据排列数得出n,再计算组合数即可.【详解】,.故选:A.例4．（1）解不等式．（2）若，求正整数n．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．【详解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，因为，，，，，所以；（2），故，解得.练习6．（多选）满足不等式的的值可能为（

）A．12 B．11 C．8 D．10【答案】ABD【分析】根据排列数公式得到不等式，解得的取值范围，即可判断.【详解】由排列数公式得，依题意可得，解得或（舍去），又，所以可以取，，．故选：ABD．练习7．已知，求n.【答案】6【分析】利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将化简并展开，解方程即可求得答案.【详解】由得，即，即，解得，或，由知，故.练习8．计算：(1)若，求(2)若，求【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据组合式的性质计算可得；（2）根据排列数、组合数公式计算可得.【详解】（1）因为，所以或，解得或.（2）因为，所以，又，所以，所以，解得.练习9．（1）解方程：（2）解不等式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答.（2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答.【详解】（1）由组合数性质及，得，而，则，因此，即，解得，所以原方程的解为.（2）由，得且，解得，又，化简得，解得，因此，所以不等式的解为.练习10．（1）若，则x=.（2）不等式的解集为.【答案】5【分析】（1）根据排列数公式即可求解；（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.【详解】（1）且，，化简得，解得（不合题意，舍去），；（2）∵，∴，即，解得.∵，∴.∴的取值集合为.故答案为：5；.题型三 捆绑法及插空法例5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（

）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法【答案】D【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；不相邻问题利用插空法可以判断D错误.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，D错误.故选：D.例6．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【分析】应用排列数求出“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数，间接法求出上述两道菜不能接连相邻上菜的方法种数即可.【详解】若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有种，再将其与其它4道菜作全排列，共有种，所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有种；而六道菜依次上菜的总顺序有种，所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数种.故选：A练习11．要从甲、乙等8人中选5人在座谈会上发言，若甲乙都被选中且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种．（用数字作答）【答案】720【分析】根据先选后排原理，再根据插空法，进行排列组合即可得解.【详解】除甲乙外再选3人共有种可能，从选中的3人中选一人插在甲乙中间，此三人再进行排列共有种可能，再将此三人看作整体和另外两人进行全排列，共有种可能，则共有，故答案为：720.练习12．（多选）我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL项目课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（）A．某学生从中选3类，共有56种选法B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有种排法C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法【答案】ABD【分析】由题意，利用组合数、插空法、捆绑法、特殊元素优先法，解得分类加法原理，可得答案.【详解】选项A，某同学从中选3类，共有(种)选法，A正确；选项B，若“X”“T”不相邻，剩余6类排列方法为，形成7个空，则“X”“T”填入7个空的方法为，所以共有种排法，B正确；选项C，先排列“S”“C”“I”三科，则有2种排列方法，3科形成整体与剩余5科再进行全排列，则有种排列方法，所以共有(种)排法，C错误；选项D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法，则共有种排法，D正确．故选：ABD．练习13．一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？【答案】480种【分析】首先将两个空位看成一个整体，再利用插空法求解.【详解】把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人把两个元素隔开的典型问题，就可先让四人坐在四个位置上，再让后两个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）选择被四人造成的五个“空隙”中的两个插入，所以共有种坐法．练习14．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用捆绑法进行求解即可；（2）利用插空法进行求解即可.【详解】（1）因为喜羊羊家族的四位成员必须相邻，所以可以把它们捆绑一起,然后与灰太狼、红太狼全排列,所以一共有种排法.（2）喜羊羊家族的四位成员一共形成5个空,灰太狼、红太狼进行插空,所以一共有练习15．一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有种；要使数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有种．【答案】72144【分析】分类讨论文理科的顺序可得第一空；利用捆绑法结合插空法可得第二空.【详解】要使文、理科间排，有两种情况：文科排1，3，5，理科排2，4，6或理科排1，3，5，文科排2，4，6，共有种排法；数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：种排法．故答案为：72；144.题型四 倍缩法例7．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.故选：C.例8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有种不同排法（用数字作答）【答案】42【分析】用相对顺序已定的排列模型求解.【详解】5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有种安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有种不同排法.故答案为：42练习16．小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360【答案】D【分析】先将8个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可.【详解】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为．故选：D．练习17．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序．在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，所以，甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，所以，则，故选：B．练习18．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．72种【答案】B【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.故选：B.练习19．（多选）用3，4，5，6，7，9六个数字组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（

）A．这样的六位数共有720个B．在这样的六位数中，偶数共有240个C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个D．在这样的六位数中，4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个【答案】ABD【分析】根据排列的知识对每个选项一一分析即可.【详解】对于A，符合题意的六位数有个，故A正确；对于B，若六位数为偶数，其个位数字为4或6，有2种情况，其他数位没有限制，则符合题意的偶数有个，故B正确；对于C，将其他4个数字全排列，再将4，6安排在产生的空位中，所以有个4，6不相邻的六位数，故C错误；对于D，4个奇数数字按从左到右、从小到大的顺序排好，则有个符合题意的六位数，故D正确．故选：ABD．练习20．甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.【答案】18【分析】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，再将剩余3名学生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式；再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式.又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种.故答案为：18.题型五 隔板法例9．方程的非负整数解的组的个数为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【详解】依题意，可知为非负整数，因为，所以，从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.故选：A例10．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为.【答案】【分析】分只有一个班分到名额，恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然后利用古典概型求概率的方法能求出恰有两个班分到三好学生名额的概率．【详解】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况，第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为．故答案为：．练习21．在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点(所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（

）A．35 B．36 C．84 D．21【答案】A【分析】首先求平面的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件，并结合隔板法，求方法种数.【详解】由条件可知，，，设平面的一个法向量，则，令，则，故，设是平面上的点，则，故，则，不妨设三棱锥内部整数点为，则，且，，，则若时，则在平面上，若，则在三棱锥的外部，所以，当，且时，将写成个1排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，显然有个方法，所有整数点的个数为.故选：A练习22．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（

）A．72项 B．75项 C．78项 D．81项【答案】C【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.故选：C练习23．（多选）把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，则（

）A．每个盒子中至少放1个小球的放法共有35种B．有空盒的放法共有161种C．恰有1个空盒的放法共有21种D．编号为2的盒子中至少放2个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法共有20种【答案】AD【分析】利用隔板法可判断选项A；根据分类加法计数原理及组合的知识结合隔板法可判断B，D；由分步乘法计数原理及组合的知识可判断C．【详解】对于A，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，相当于将8个球排成一排，分为4份，即在这8个球之间形成的7个空中，选3个插入隔板，每个盒子中至少放1个小球的放法共有种，故A正确．对于B，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有空盒的放法可分为：8个球放一个盒子里，有种放法；8个球放二个盒子里，有种放法；放三个盒子，有种方法，所以共有种放法，故B错误；对于C，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法,结合B可知即将8个相同的小球放入3个盒子里，共有种，故C错误；对于D，有8个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，编号为2的盒子中至少放2个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法分4类：编号为2的盒子放2个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法有种，编号为2的盒子放3个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法有种，编号为2的盒子放4个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法有种，编号为2的盒子放5个小球，其他3个盒子每个盒子至少放1个小球的放法有1种，则共有种放法，故D正确，故选：AD．练习24．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有个（用数字回答）【答案】120【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，综上：共有个“英雄数”．故答案为：120．练习25．用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有个．【答案】【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【详解】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为，故共种，故答案为：45．题型六 特殊元素法例11．第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.故选：D.例12．为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学与同学站在一起，同学站在边缘，则同学不与同学或相邻的概率为．【答案】【分析】利用分步乘法原理先求出同学与同学站在一起，同学站在边缘的方法数，再求出其中同学不与同学或相邻的方法数，然后利用古典概型的概率公求解即可.【详解】将同学与同学看成一个整体，与剩下的5人排列，先让同学站在边上，有种方法，然后同学与同学组成的整体与剩下4人排列，有种方法，所以分步乘法原理可知同学与同学站在一起，同学站在边缘，共有种方法，其中同学不与同学或相邻的有：先让同学站在边上，有种方法，然后同学与同学组成的整体从与同学不相邻的4个位置中选一个位置，有种方法，再让剩下的4人去站剩下的4个位置，有种方法，所以由分步乘法原理可得同学不与同学或相邻的共有种方法，所以所求概率为，故答案为：练习26．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242．这样的四位数共有（

）A．1692个 B．3672个 C．3708个 D．3888个【答案】D【分析】就含零的个数分类讨论后可得正确的选项.【详解】情形一不含0的四位数个数为．情形二含1个0的四位数个数为．情形三含2个0的四位数个数为．于是符合题意的四位数个数为．故选：D.练习27．用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成个没有重复数字的六位奇数．【答案】288【分析】解法一，从特殊位置入手，即先考虑个位或十万位上的数字，根据分步计数原理可求得答案；解法二，从特殊元素入手，即先考虑0的排法，再排其他数字，根据分步计数原理可求得答案.【详解】解法一（从特殊位置入手）①从个位入手：个位上的数字的排法有种，十万位上的数字的排法有种，余下的数字可以在其余各位上进行全排列，有种排法．由分步乘法计数原理知，符合题意的六位奇数共有个．②从十万位入手：十万位排定后，个位数字的排法与十万位所排数字是奇数还是偶数有关，因此，需分2类．第1类，十万位排奇数的六位奇数有个；第2类，十万位排偶数的六位奇数有个．故符合题意的六位奇数共有个．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有种排法，其余各数位用余下的数字全排列，由分步乘法计数原理知，符合题意的六位奇数共有个．故答案为：288练习28．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个．（用数字作答）【答案】【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故答案为：练习29．某34人班级派5人参观展览，班级里有11人喜欢唱，4人喜欢跳，5人喜欢rap，14人喜欢篮球，每个人只喜欢一种.5人站一队参观，但是当队伍中第个人分别喜欢唱、跳、rap、篮球时，上述4人会讨论蔡徐坤，展览馆不希望有人讨论蔡徐坤.当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的人的喜好不同，两个队伍才被认为是不同的，则满足上述条件的不同的排队方案数为.【答案】【分析】就5个人中喜欢的种类分类讨论后可得正确的排队方案数.【详解】如果5个人中喜欢的种类有1种，则不同的排队方案数为3种，如果5个人中喜欢的种类有2种，则不同的排队方案数为；如果5个人中喜欢的种类有3种，则不同的排队方案数为；如果5个人中喜欢的种类有4种，则不同的排队方案数为；故不同的排队方案数为.故答案为：.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的计数问题，注意根据问题的特征选择合理的分类讨论的角度，这样能简化计算.练习30．现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有种【答案】54【分析】利用排列组合先排特殊元素，再排其余元素即可【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有种方法，再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有种方法，最后排其余3个，有种方法，所以由分步乘法原理可知共有种方法，故答案为：54题型七 染色问题例13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（

）种不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.【详解】分两类情况：第一类：2与4种同一种果树，第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法；第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法，由分步计数原理共有种方法；第二类：2与4种不同果树，第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有种方法.再由分类计数原理，共有种不同的方法.故选：C.例14．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（）种植方式．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种【答案】A【分析】先选出4种庄稼，再根据可能的相同庄稼情况计算种数，运用分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有种选择，则地种植相同庄稼或地种植相同庄稼，共有种选择，根据分步乘法计数原理可知，有种．故选：A练习31．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种【答案】C【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可.【详解】如图，不同的布置方案分两类：当与布置相同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.当与布置不同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.所以不同的布置方案有种.故选：C练习32．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）

A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种【答案】C【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有种.故选：C练习33．（多选）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（

）A．B．当时，若同色，共有48种涂法C．当时，若不同色，共有48种涂法D．当时，总的涂色方法有420种【答案】ABD【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.【详解】对于A，由于区域与均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，故共有种涂法，B正确；对于C，当时，涂有种，当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，故共有种涂法，当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，故选：ABD练习34．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有种不同的涂色方案.【答案】96【分析】将格子自左向右编号为1，2，3，4，易得格子1，2有种选法，再分格子3与格子1相同和不同求解.【详解】解：将格子自左向右编号为1，2，3，4，5,6格子1，2有种选法，当格子3与格子1相同时，此时格子4，5，6都有2种选法，当格子3与格子1不同时，此时格子3有1种选法，格子4，5，6都有2种选法，所以当格子1和2颜色确定后，格子4，5，6共有种选法，所以不同的涂色方法有种，故答案为：96练习35．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．

【答案】48【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，即可得到结果.【详解】先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后剩下的两个区域有2种选择．故不同的涂色方法有种．故答案为：题型八 平均分组问题例15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合排列组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意，甲、乙随机选择自己的选考科目的情况有种，甲、乙选考的三门科目均不相同的情况有种，所以所求的概率是.故选：A例16．临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为．【答案】15120【分析】利用全排列计算长联的分配方式，利用平均分组分配计算短联的分配方式，结合分布乘法原理，可得答案.【详解】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，方法种数为．所以所求方法种数为．故答案为：.练习36．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意按照分组分配问题的步骤，首先计算出恰有两种饮品没人购买的总数，再计算出四种饮品四人随意选择的总数，即可求得其概率.【详解】解决该问题，可以将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有种分堆方法，再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人，故共有种方法.所以恰有两种饮品没人购买的概率为.故选：A练习37．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）A．450种 B．360种 C．90种 D．70种【答案】A【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为的三组，共有种；第二种：分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种.故选：A.练习38．在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（

）A．450种 B．180种 C．720种 D．360种【答案】A【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】方案