专题11 常见函数模型中的应用（解析版）

专题11常见函数模型的应用一、考情分析有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.二、解题秘籍(一)常见对数型函数模型1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，.3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.(1)当时，求函数在区间上的最大值；(2)若为函数的极值点，求证：【解析】（1）定义域为，则，当时，，，所以单调递增区间为，单调递减区间为；若，即时，在上单调递减，故；若，即时，在上单调递增，在上单调递减，故；若，即时，则在上单调递增，故.所以，；（2）（），则，因为是函数的极值点，所以，即，要证，只需证，即证：，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即：，所以，所以，①当时，因为，，所以.②当时，因为，所以，所以，要证，只需证，即证对任意的恒成立，令（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即当时，成立.综上：原不等式成立.(二)常见指数型函数模型1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数．(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，因为,所以，由②③可得④，易知.由①得，代入④可得，即，即，解得.故.（2）令，可得，由题意可得只有一个根.易知不是方程的根，所以，所以由，可得.设，则与的图象只有一个交点.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以.又，时，，时，，画出函数的图象如图所示：

由图可知，若与的图象只有一个交点，则.所以实数的取值范围是.(三)常见三角函数模型1.函数在上是减函数，函数在上是增函数，2.与三角函数有关的常见不等式有：，，.【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数．(1)记函数的导函数是．证明：当时，；(2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围．【解析】(1)．令，则．∵，∴恒成立，即在R上为增函数．∵，∴．∴．(2)．由（1）知在R上为增函数．∴当时，有，即；当时，有，即．当时，由，解得，，且在R上单调递减．①当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴满足0为函数的极小值点；②当时，．∴时，有恒成立，故在R上为减函数．∴函数不存在极小值点，不符合题意；③当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴0为函数的极大值点，不符合题意．综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为．(四)或.在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)若a=1，讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求a的取值范围；【解析】（1）由，得，因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意.（2）若a=1，.当，即时，，所以在上单调递减；当时，；在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以，解得：；(五)或讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增【例5】设函数，其中是自然对数的底数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.【解析】(1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，当时，，当时，，所以，故，即.(2)当时,，当时，，当时，令，分离参数得，由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：所以，即,即.三、典例展示【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.(1)当时，求的单调区间;(2)若,当时,证明:.【解析】（1）的定义域为,当时,,所以,当时,;当时,,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.（2）由,得,所以,则,要证,只需证,即证,需证.令,设,则,设,则,所以在上单调递增,则,所以,所以在上单调递增,由,得,则,所以,所以需证,即证.令，则,即证,设,则,所以在上单调递减,则,所以,即成立,故.【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意，，所以，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以当时取得最小值为.（2）要证明：对任意正整数，都有，即证明，即证明，由（1）得，即令，所以，所以，所以对任意正整数，都有.（3）若不等式恒成立，此时，则恒成立，令，令，所以在区间上单调递增，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，所以.【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数．(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)当时，，求a的取值范围．【解析】（1），当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减；（2）设，；设，则，令，则，当，，当，，故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，；当时，，故在上单调递增.当时，，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件；若，则存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．综上，实数的取值范围是【例4】已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.【例5】已知函数．(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设为的两个不同零点，证明：．【解析】(1)当时，，因为在上恒成立，所以在上恒成立，令，即在上恒成立，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.故，所以实数的取值范围是．(2)证明：要证明，即证，只需证和．由（1）知，当，时，，即，所以．要证，即证．因为为的两个不同零点，不妨设，所以，，则，两边同时乘以，可得，即．令，则．即证，即证，即证．令函数，，则，所以在上单调递增，所以．所以．故．四、跟踪检测1．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)若实数满足且，证明：.【解析】（1）当时，，，由，得，由，得，故的单调增区间为，单调减区间为；（2），令，则，令，则，由，得，由，得，故在递增，在递减，，，所以，在上单调递增，，，的取值范围；（3），又，在上递增，所以，下面证明：，即证，令，则，即，令，则，令，则，∴函数在上单调递减，，在递减，，所以.2．（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数，且．(1)求实数a的取值范围；(2)已知，证明：．【解析】（1）函数定义域为R，，由解得，故在区间上单调递增，由解得，故在区间上单调递减，故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．（2）在（1）中，令时，，令，得，即，令，则，所以，，令，则．且不恒为零．所以，函数在上单调递增，故，则．所以，，所以，.3．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数，且在处取得极值．(1)求a；(2)求证：．【解析】（1）由题意可得的定义域为，且．因为在处取得极值，所以，解得，当时，则，，，令，得；令，得；故函数在上单调递增，在上单调递减，可知在处取得极值，符合题意，所以．（2）由（1）可得的最大值为，所以，即，可得，当且仅当时等号成立．令，则，故．所以，，，…，，，以上式子相加，得，则，即，所以，即，命题得证．4．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.(1)求实数的值；(2)证明：时，.【解析】（1）因为，则，则，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.故有最小值，故.（2）由（1）可知，，当时，要证，即证，即证，令，则上式等价于，构造函数则故当时，为增函数；当时，为减函数；由得，故，故.当时，，故又是的增区间，而故故即，当时，，即在上，为减函数，故即，故原命题得证.5．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），，.令，方程的判别式为，①：当即时，，单调递增，无极值点；②：当即时，函数有两个零点，，（i）当时.，，当时，单调递减，当时，单调递增，有一个极小值点；（ii）当时，，当与时，单调递增，当时，单调递减，有两个极值点.综上：当时无极值点；当时有两个极值点；当时有一个极小值点.（2）不等式恒成立，即.令，，.令，，当时，，单调递增，又，时，不合题意，.当时，单调递减，当时单调递增，.而，.令，，当时单调递增，当时单调递减，，即...6．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【解析】（1）因为，定义域为，所以．当时，由于，所以恒成立，此时在上单调递减；当时，，令，得，则当时，，有在上单调递增；当时，，有在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）我们先证明引理：，恒有且．引理的证明：设，．故只需证明，恒有，．由于，知当时，；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，恒有．由于，知当，均有，所以恒有，故在上单调递增，则．所以，恒有．综上，引理得证．回到原题：由（1）得，故只需证明：对，恒有，即．由引理得．命题得证．7．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.【解析】（1）依题意，得.当时，，所以在单调递增.当时，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为当时，，所以，即，即，即.令，则有对恒成立.因为，所以在单调递增，

故只需，即对恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以.因此，所以.8．（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由得，令，故当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，故的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）由可得对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，设，当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时等号成立，，当且仅当时取等号，令，注意到，，所以存在使，所以等号取得到，故9.已知函数，．(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．【解析】(1)，令，得或，当或时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为．(2)，，即，即，设，，设，，当时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，，即，则函数在上单调递增，则由，得在上恒成立，即在上恒成立．设，，当时，，当时，，所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以，故．10．设函数，．(1)若对任意，都有，求a的取值范围；(2)设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．【解析】(1)的定义域是，．①若，则当时，，在单调递增，等价于，即，由得．设，．，故在单调递减，在单调递增，而，所以的解集为．②若，则在单调递减，在单调递增，等价于，即，即，矛盾，故a的取值范围是．(2)．．同理可得，．所以．下面证明．，且由（1）知，所以只需证明时，．令，即证．设，，，所以．设，，故在（0，1）单调递减，．所以，故，，不能构成等差数列．11．已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：【解析】(1)当时，，因为，所以，即，不符合题意；

当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因为，所以的取值范围为．(2)因为，所以，即．令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．

由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．不妨设，则．设，

则，所以在上单调递增，

所以，即在区间上恒成立．因为，所以．

因为，所以．

又因为，，且在区间上单调递增，所以，即．12．已知函数.(1)若在单调，求的取值范围.(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.【解析】(1)由题意得，.在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，则，当时，.当时，，∴在上单调递减，∴由题意得，或，解得或，∴的取值范围是.(2)的图象恒在轴上方，也即当时，恒成立.也即在上恒成立.令，，令，则，由得，当时，当时，，即时，有极大值，也是最大值，所以，所以（当时取等号），再由可得：，列表如下：100由上表知为极大值，所以.∴的取值范围是.13．已知函数.(1)若函数，讨论的单调性.(2)若函数，证明：.【解析】(1)因为，所以，的定义域为，.当时，在上单调递增.当时，若，则单调递减；若，则单调递增.综上所述：当时，f(x)在上单调递增;当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增；(2)证明：.设，则.当时，单调递减；当时，单调递增.所以，因此，当且仅当时，等号成立.设，则.当时，单调递减：当时，单调递增.因此，从而，则，因为，所以中的等号不成立，故.14．已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【解析】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减