9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（教师版）

9.1直线方程与圆的方程（精讲）直线的斜率与倾斜角1.直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．二．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用三．直线的位置关系1．两条直线的平行与垂直(1)两条直线平行若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2．(2)两条直线垂直设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是说，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．四．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))五．圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)有关圆的位置关系1.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．2．直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜03.圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇒相交；,Δ＝0⇒内切或外切；,Δ＜0⇒内含或外离Ｗ.))一．斜率的求法1.定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；2.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．二．倾斜角及斜率取值范围的两种求法1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．三．求圆的方程的两种方法1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．2.待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．四．判断直线与圆的位置关系的方法1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．五．圆的切线方程1.过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.3.过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.4．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】由已知直线恒过定点,如图所示,若与线段相交,则,

因为,所以.故选:D.【例1-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设切线的倾斜角为，则，∵，∴切线的斜率，则.故选：B【例1-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，直线的斜率为，解得.故选：A.【一隅三反】1．（2023·黑龙江哈尔滨）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如图所示：

依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是等差数列，，令数列的公差为，所以，，则，所以，则直线的斜率为.故选：A考点二直线方程【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，所求直线的方程为，即．故选：A【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】解法一

当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：解法二

易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设所求直线的方程为，即，因为直线与垂直，所以，解得，所以直线的方程为，即.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知两点，则线段的中垂线的方程为.【答案】.【解析】因为，所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，即，故答案为：3（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；【答案】x－y－3＝0【解析】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0．故答案为：x－y－3＝04．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.【答案】【解析】设所求直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，故所求直线方程为.故答案为：考点三两条直线的位置关系【例3-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线：与直线：平行，则（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由题意得，解得.故选：A【例3-2】（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知，则“直线与直线垂直”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，【答案】B【解析】直线与直线垂直，即，解得或.所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件.故选：B【一隅三反】1．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题设，知处的切线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若直线与垂直，则.【答案】0或1【解析】因为直线与垂直，所以，化简整理得，解得或，故答案为：0或13．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和直线，若，则【答案】－1【解析】时，两直线显然不平行，因此，所以由得，解得，故答案为：．考点四三种距离【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线，之间的距离是.【答案】/【解析】由，得，所以直线，之间的距离为，故答案为：【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.【答案】或或（填其中一个即可）【解析】设，，连接MN，则.以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.

当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为.当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切线方程为或.综上，直线l的方程为或或.故答案为：或或【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）当点到直线的距离取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将直线转化为，联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为.【答案】【解析】由，得，得，所以：，即，又：，所以与间的距离.故答案为：3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的距离的最大值是．【答案】【解析】因为直线恒过点，记，直线为直线，则当时，此时点到直线的距离最大，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.

考点五圆的方程【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个顶点为，则下列关于的外接圆圆M的说法正确的是（

）A．圆M的圆心坐标为B．圆M的半径为C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点在圆M内【答案】ABD【解析】设的外接圆圆M的方程为（），则，解得，所以的外接圆圆M的方程为，即.故圆M的圆心坐标为，圆M的半径为，故AB正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为，故点在圆M内，故D正确.故选：ABD【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，解得：①，又∵点在圆的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故选：B．【一隅三反】1．（2023秋·云南临沧·）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C2．（2023春·重庆沙坪坝·）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.3．（2023·宁夏银川）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【解析】因为直线经过圆的圆心，故，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：D考点六直线与圆的位置关系【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时，C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为【答案】ABC【解析】对于选项A：直线的方程可化为，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于选项B：因为，即点在圆内，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，此时，解得，故B正确；对于选项C：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，直线的斜率为，，由，解得，故C正确；对于选项D：此时直线的方程是，圆心到直线的距离为，可得，所以最短弦长是，故D错误．故选：ABC．【一隅三反】1．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）（多选）设直线与圆，则下列结论正确的为（

）A．可能将的周长平分B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为【答案】BC【解析】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误；对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足，所以，解得或，B正确；对于C，，当时，的面积有最大值2，C正确；对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆，其方程为，又因为点在圆内，由，解得，所以点的轨迹方程为，D错误.故选：BC.2．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）（多选）已知直线与圆，则（

）A．直线l过定点B．圆C的半径是4C．直线l与圆C一定相交D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是【答案】ACD【解析】由题意可得直线，由，解得，则直线l过定点，故A正确；圆，即，则圆C的圆心坐标为，半径为2，故B错误；因为，则点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定相交，故C正确；因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确.故选：ACD.3．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）已知直线及圆，则（

）A．直线过定点B．直线截圆所得弦长最小值为2C．存在，使得直线与圆相切D．存在，使得圆关于直线对称【答案】ABD【解析】A选项，由，得，解得，所以直线过定点为，故A正确；B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时，直线截圆所得弦长最短，因为，则最短弦长为，故B正确；C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，故D正确.故选：ABD.考点七圆与圆的位置关系【例7-1】（2023春·江苏扬州）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【解析】由题意可得，故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，易知，故两圆内切.故选：B【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；圆：，即，其圆心为，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．【一隅三反】1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）“”是“圆：与圆：有公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，若两圆有公切线，则，即，解得或，所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.故选：A.2．（2023安徽）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆公共弦所在直线的方程为【答案】AC【解析】根据题意，圆：，其圆心，半径，圆：，即，其圆心，半径，则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；的最小值为，最大值为，故A正确，B不正确；对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在直线斜率，故C正确，故选：AC.3．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（

）A．两圆外离 B．的最大值为9C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为【答案】ABC【解析】圆的圆心坐标，半径，圆，即的圆心坐标，半径，所以圆心距，因为，所以两圆外离．故A正确；因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；故选：ABC．考点八圆的切线、弦长问题【例8-1】（2023秋·湖南）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（

）．A．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【解析】依题意，圆，圆心为，半径为3，则，，

故，由对称性可知，与全等，故四边形的面积．故选：B【例8-2】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）过点与圆相切的两条直线的夹角为则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，所以，可得.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）圆和圆的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为B．线段AB中垂线方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A，因为圆，，两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；对于选项B，圆的圆心为，则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，整理可得，故B正确；对于选项C，圆心到的距离为，又圆的半径，所以，故C不正确；对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确．故选：ABD．2．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则【答案】BD【解析】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；若分别是圆上的动点，则，故D正确.故选：BD3．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当两圆无公切线时，两圆内含，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距为，即，解得，所以当两圆有公切线时或，所以能推出圆和有公切线，而圆和有公切线不能推出，所以“”是“圆：与圆：存在公切线”的充分而不必要条件，故选：A.考点九与圆的有关最值问题【例9-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（

）A．6 B． C． D．7【答案】B【解析】因为，所以，由和可得直线的方程为，变形得，由，得，所以直线经过定点，因为圆的圆心为，半径，所以点到直线的距离的最大值为，所以点到直线距离的最大值为.故选：B【例9-2】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）已知复数满足，则的最大值为．【答案】【解析】设复数，由，得，整理得，即，因此复数在复平面内对应点在以点为圆心，为半径的圆，为原点，所以.故答案为：【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为．【答案】10【解析】由题意知，，所以，由于点是圆上的点,故其坐标满足方程，故，所以.由圆的方程，易知，所以当时，的值最大，最大值为.故答案为：102．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）已知圆与圆内切，则的最小值为【答案】2【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为.【答案】/【解析】设，则，所以.由几何性质知,所以，，，四点在以为直径的圆上，设圆上任意一点坐标为，则，所以，当时，也成立.即圆方程为，即，把圆和圆方程相减得.故直线的方程为.所以是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，故点到直线的距离的最大值为.（当时取等）故答案为：

考点十对称问题【例10-1】（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系