江西省吉安一中北师大版高中数学选修2-1教案2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理

2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点)知识点一空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量eq\o(OP,\s\up12(→))的坐标也是(x，y，z)．知识点二投影(1)一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．如图所示，向量a在向量b上的投影为OM＝|a|cos〈a，b〉．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．知识点三空间向量基本定理(1)如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.(2)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量．(3)当向量e1、e2、e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3叫作a的标准正交分解．知识点四空间向量运算的坐标表示1．空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．知识点五空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1)).cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))).(a≠0，b≠0)考点一空间向量的坐标表示例1(1)设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若a＝(3,7，－2)则a关于i，j，k的分解式为________．(2)设{i，j，k}是空间向量的一个单位的正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别是________．(3)已知在如图2­3­3所示的棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AA1,\s\up12(→))}为基底，则向量eq\o(AE,\s\up12(→))的坐标为________，向量eq\o(AF,\s\up12(→))的坐标为________，向量eq\o(AC1,\s\up12(→))的坐标为________．【名师指津】1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系．2．空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a＝xi＋yj＋zk⇔a＝(x，y，z)考点二空间向量的投影例2如图所示，已知单位正方体ABCD­A′B′C′D′，(1)求向量eq\o(CA′,\s\up12(→))在eq\o(CD,\s\up12(→))上的投影；(2)求向量eq\o(CA′,\s\up12(→))在eq\o(DC,\s\up12(→))上的投影．【名师指津】求向量a在向量b上的投影，通常有两种方法：1．利用投影的计算公式求，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，亦为eq\f(a·b,|b|).2．利用投影的几何意义求，如图，a在b上的投影为有向线段OM的数量，正方向为向量b的方向．例3.如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OC,\s\up12(→))＝b，eq\o(OP,\s\up12(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up12(→))，eq\o(BE,\s\up12(→))，eq\o(AE,\s\up12(→))，eq\o(EF,\s\up12(→)).【名师指津】对于基底e1，e2，e3除了知道它们不共面外，还应明确：(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e1，e2，e3不能含有其他形式的向量；(2)用e1，e2，e3表示向量，需要根据三角形法则，及平行四边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进行变形，化简；(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了．练习1..如图2­3­6，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up12(→))和eq\o(GH,\s\up12(→)).考点三空间向量的坐标运算例3(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,2，－1)，则a＋b＝________，2a－b________.(2)(2016·南宁高二检测)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值为________．(3)已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，则a－b＋2c＝考点四数量积的坐标运算例4已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，求(1)a·b；(2)(2a－b)·(3a＋b【名师指津】空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键．练习1本例条件不变，求(a＋b)·(a－b)．考点五利用坐标运算解决长度和夹角问题例5已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．【名师指津】1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．2．平行四边形面积的计算公式：S▱ABCD＝eq\r(|\o(AB,\s\up12(→))||\o(AC,\s\up12(→))|2－\o(AB,\s\up12(→))·\o(AC,\s\up12(→))2).练习2．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．(1)求cos∠BAC；(2)求△ABC中BC边上中线的长度．考点六坐标形式下的平行与垂直问题例6已知空间三点A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3,0,4)．设a＝eq\o(AB,\s\up12(→))，b＝eq\o(AC,\s\up12(→)).(1)设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up12(→))，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【名师指津】向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解决这种问题时要注意：①适当引入参数参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．练习3．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.课堂练习1．在以下3个命题中，真命题的个数是()①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．32．若向量a、b、c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．2a3．O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up12(→))为()A.eq\f(1,2)(c＋b－a)B．eq\f(