重难点02集合中的创新问题（四大题型）（原卷版）

重难点02集合中的创新问题【题型归纳目录】【方法技巧与总结】1、集合中的创新问题主要体现在（1）集合中的新定义问题；（2）集合中的新运算问题；（3）集合中的新性质问题．对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点．此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托．解决集合中的创新问题的着手点：（1）正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；（2）合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明．2、解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．【经典题型】题型一：创新集合新定义【典例11】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（

）个．A．16 B．15 C．14 D．13【典例12】（2024·高一·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【变式11】（2024·高一·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式12】（2024·高一·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（

）A． B．C． D．【变式13】（2024·高一·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（

）A． B．或C．或 D．题型二：创新集合新运算【典例21】（2024·高一·湖北·阶段练习）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质：①对任意，；②对任意，，；③对任意，，，，以下正确的选项是（

）A．B．C．对任意的，，，有D．对任意，，，有【典例22】对于集合和集合，若满足，则集合中的运算“”可以是（

）．A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法【变式21】（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为．【变式22】（2024·高一·河北衡水·阶段练习）定义集合运算：．若集合，则集合的子集个数为．题型三：创新集合新性质【典例31】（2024·高一·北京·期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题：①若具有性质，则可以是有限集；②若具有性质，且，则具有性质；③若、具有性质，且，则具有性质；④若、具有性质，则具有性质.其中所有真命题的序号是.【典例32】（2024·四川·一模）已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：（1）；（2）；（3）；给出下列命题：①；②若，则；③若，且，则；④若、、，且，，则．其中所有正确命题的序号是．【变式31】（2024·高一·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【变式32】（多选题）（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）非空集合具有下列性质：①若，则；②若，则．下列选项正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则题型四：创新集合新背景【典例41】（2024·高一·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i），；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对的个数为.【典例42】（2024·高三·上海杨浦·期中）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（

）①若为一个“群”，则必为无限集；②若为一个“群”，且，，则；③若，都是“群”，则必定是“群”；④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”；A．1 B．2 C．3 D．4【变式41】（多选题）（2024·高一·陕西西安·开学考试）设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式42】（2024·高一·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（

）A．15 B．16 C．32 D．128【变式43】（2024·高一·上海长宁·阶段练习）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为对于中的任意两个元素，规定：；(1)求；(2)已知集合，判断是否对任意，都有并说明理由：(3)是否存在中的元素，使得恒成立？若存在，求出元素；若不存在，请说明理由；【过关测试】1．（2024·高一·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．2．（2024·高一·宁夏银川·阶段练习）已知集合，，定义集合，则中元素个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（多选题）（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合，，若M与N“相交”，则a等于（

）A．4 B．2 C．1 D．04．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（

）A．，是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素5．（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（

）A． B．C． D．6．（多选题）（2024·高二·广东佛山·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（

）A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集，则数集M一定是数域D．数域中有无限多个元素7．（多选题）（2024·高一·山东济南·期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（

）A．族为集合上的一个拓扑B．族为集合上的一个拓扑C．族为集合上的一个拓扑D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑8．（2024·高一·全国·竞赛）现定义且，若，则集合可以是（写出一个即可）.9．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）设A，B是两个非空集合，定义集合，若，，则.10．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是.（填题编号）①；②；③,则；④若，则．11．（2024·高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题：①若具有性质，则可以是有限集；②若具有性质，且，则具有性质；③若、具有性质，且，则具有性质；④若、具有性质，则具有性质.其中所有真命题的序号是.12．（2024·高一·云南昆明·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.（1）且；（2）若、，则，且当时，有.给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”；⑤设集合是“好集合”，若、，则；其中真命题的序号是.13．（2024·高三·全国·专题练习）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．(1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？(2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．14．（2024·高一·北京顺义·期中）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：①，；②，；③，，使得；④，，使得．例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．15．（2024·高一·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M

②属于M.③属于M

④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数