第一章空间向量与立体几何（单元复习12类重点题型清单）（原卷版）

第一章空间向量与立体几何（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记知识点01：空间向量的数乘运算定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反知识点02：共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．知识点03：空间向量的数量积1、已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.3、两个向量夹角的坐标计算公式设，则知识点04：空间向量运算的坐标表示设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积知识点05：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.知识点06：空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔知识点07：空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔知识点08：点到线面距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.知识点09：用向量法求空间角1、用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则①②.2、用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）3、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分别为面，的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；0303题型归纳题型一空间向量的加减运算例题1．（2324高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（

）A． B．C． D．例题2．（2324高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．巩固训练1．（2324高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·全国·开学考试）在正四面体中，是的中点，是的中点，若，则（

）A． B．C． D．题型二空间向量共面问题例题1．（2324高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面例题2．（2324高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题3．（多选）（2324高二上·浙江温州·期中）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．例题4．（2324高二上·河北邢台·期末）已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=.巩固训练1．（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（

）A．A，B，C，D四点共线B．A，B，C，D四点共面C．A，B，C，D四点不共面D．无法确定2．（2324高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（

）A．4 B．2 C．3 D．13．（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（

）A．1 B． C． D．4．（多选）（2223高二下·江苏连云港·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．题型三空间向量数量积及应用例题1．（2324高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（

）A． B．1 C． D．例题2．（2324高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2324高二上·福建福州·期末）已知，则在上的投影向量的坐标为.巩固训练1．（2324高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（

）A． B． C． D．题型四用向量证明空间向量平行关系例题1．（2324高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，，，.(1)求证：平面平面.(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.例题2．（2324高二·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．例题3．（2324高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点．(1)用空间向量法证明：平面；(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．巩固训练1．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)证明：平面.2．（2324高三上·浙江湖州·期末）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC；题型五用向量证明空间向量垂直关系例题1．（2324高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；

例题2．（2324高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.

(1)求证：平面平面；(2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，?例题3．（2324高二上·湖北·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.巩固训练1．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E．证明：.2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．

3．（2020·天津河东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．(1)求证：平面．(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．题型六异面直线所成交例题1．（2024高三下·全国·专题练习）如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高二上·河北承德·期末）在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．例题3．（2324高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则.

巩固训练1．（2324高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·上海·期末）如图，正方体中，，点在线段上，且，为线段的中点，则异面直线与所成的角为.3．（2324高二下·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点在面上，且，则线段长度的取值范围为．题型七线面角问题例题1．（2324高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高二下·湖北·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．例题3．（2324高二上·上海·期中）如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是．巩固训练1．（2425高二上·江苏·假期作业）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．3．（2324高二上·上海黄浦·阶段练习）已知长方体中，，．则直线和平面所成角的正弦值等于．题型八线面角问题（解答题）例题1．（2324高二下·安徽芜湖·期末）已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点．(1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的大小．例题2．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四边形，平面，，，，且.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.例题3．（2324高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为．(1)求直四棱柱的高；(2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由．巩固训练1．（2324高二下·江苏泰州·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，.(1)求证：为的中点；(2)求直线与平面所成角的大小.2．（2324高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面.(1)求证：：(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.3．（2324高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．题型九二面角问题（小题）例题1．（2324高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2324高二上·全国·课后作业）已知四边形为矩形，平面，设，则平面与平面夹角的余弦值为.例题3．（2324高二上·全国·课后作业）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平面夹角的余弦值为.

巩固训练1．（2324高三下·上海浦东新·开学考试）如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面，是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是（

）A．减小 B．先减小再增大 C．先增大再减小 D．增大2．（2324高二上·浙江绍兴·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.3．（2324高三·全国·对口高考）在直棱柱中，分别是，的中点，．则二面角的余弦值是．

题型十二面角问题（解答题）例题1．（河南省商丘市部分学校20232024学年高二下学期期末考试数学试卷）如图，在三棱柱中，平面平面，分别为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．例题2．（2425高二上·江苏·假期作业）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例题3．（2324高二下·北京·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．(1)证明：；(2)当为何值时，平面与平面DEF夹角最小？并求出此时夹角的余弦值．巩固训练1．（2324高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.2．（2425高二上·江苏·假期作业）在三棱柱中，已知，，，，是的中点．(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．3．（2024高三下·四川成都·专题练习）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形是边长为3的正方形，，．(1)证明：四棱锥是一个“阳马”；(2)已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求的值．题