必修二课件第一章立体几何初步1.2.3第2课时-1

第2课时直线与平面平行的性质第1章

直线与平面的位置关系学习目标1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1

知识点直线与平面平行的性质定理如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线.答案思考2

如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，a∥b.答案梳理

表示定理图形文字符号

直线与平

面平行的

性质定理

如果一条直线和一个

平面平行，经过这条

直线的平面和这个平

面相交，那么这条直

线就和交线_____

⇒a∥b平行a∥α____________a⊂βα∩β＝b题型探究命题角度1用线面平行的性质定理证明线线平行例1

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.类型一线面平行的性质定理的应用证明证明连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.③确定交线.④由定理得出结论.(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.反思与感悟跟踪训练1

如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.命题角度2用线面平行的性质求线段比例2

如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.解答解如图，连结BD交AC于点O1，连结OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，又AO1＝CO1，故PM∶MA＝1∶3.破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.反思与感悟跟踪训练2

如图所示，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为______.1答案解析解析连结BC1，设B1C∩BC1＝E，连结DE.由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1的值为1.例3

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.类型二线线平行与线面平行的相互转化证明证明过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.已知如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求证

b∥α.直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.反思与感悟跟踪训练3

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.当堂训练1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是____.①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.答案23410解析解析①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内.52.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线_____.(填序号)①只有一条，不在平面α内；②有无数条，不一定在α内；③只有一条，且在平面α内；④有无数条，一定在α内.答案23415③解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填③.解析3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是_____.答案2341梯形解析5解析如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为_____.答案2341解析5解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.234155.如图，AB是圆O的直径

，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解答23415解直线l∥平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以