2019－2020学年度南通第一中学高三年级5月调研

2019-2020学年度南通第一中学高三年级5月调研数学试卷（一卷）1.设集合M，则使成立的a的值是______.【答案】2.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为______.【答案】；3.已知命题p：，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______.【答案】4.已知中，，则C的大小为______.【答案】5.在直角坐标系中，点P的坐标满足：，则的最大值为______.【答案】56.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______.【答案】7.若，且，则与的夹角是______.【答案】8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则______.【答案】；9，已知实数a，b满足，则的最小值为______.【答案】410.已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，向量，.若，且，则______.【答案】11.在中，AD是BC边上的中线，，若，则______.【答案】12.已知，且，则______.【答案】13.如图，在直角梯形ABCD中，，若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，其中，若，则的值为______.【答案】14.已知圆C：，AB为圆C上的两个动点，且，G为弦AB的中点.直线l：上有两个动点PQ，且.当AB在圆C上运动时，恒为锐角，则线段PQ中点M的横坐标取值范围为______.【答案】15.（本小题满分14分）已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【解析】（1）∵，∴，又∵，∵，∴，∴.（2）∵，∴.由（1）得，∴，又∵，∴，∴.16.（本小题满分14分）已知函数，（）.（1）当时，求函数的值域；（2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量与向量共线，求a的值.16.（1），因为，所以，故，从而.所以的值域为.（2）由，得，因为，所以，故，即.又由向量与向量共线，得，由正弦定理得，①由余弦定理得，，即，故②由①②解得.17.已知两个定点，动点P满足.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若与曲线E交于不同的C，D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.【解析】（1）设点P的坐标为由可得，，整理可得所以曲线E的轨迹方程为.（2）依题意，，且，则点O到CD边的距离为1即点到直线l：的距离，解得所以直线l的斜率为.（3）依题意，，则M，N都在以OQ为直径的圆F上Q是直线l：上的动点，设则圆F的圆心为，且经过坐标原点即圆的方程为，又因为M，N在曲线E：上由，可得即直线MN的方程为由且可得，解得所以直线MN是过定点.18.如城某观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长千米，宽千米，半圆的圆心P为AB中点.为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路.其中线段EF经过圆心P，且点F在线段CD上（不含线段端点C，D）.已知道路AE、FC的造价为2a（）元每千米，道路EF造价为7a元每千米，设，观光道路的总造价为y.（1）试求y与的函数关系式：；（2）当为何值时，观光道路的总造价y最小.18.解：（1）由题意可知，过点F作，垂足为O，则，所以（）（2）即或（舍）—0+y↘↗所以时，y最小，即当时，观光道路的总造价最小.（说明：函数的定义域不写统一扣2分）19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：（）的离心率为，左、右顶点分别为A、B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作，，直线交于点C.（1）若点C的横坐标为，求点P的坐标；（2）直线与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围.【解析】（1）设直线AP的斜率为k，，由题意得，所以，所以椭圆M的方程为.因为点P在椭圆M上，且位于第一象限，所以，直线AP的方程为.因为，所以，所以直线BP的方程为.联立，解得，即.因为，所以，则直线AC的方程为.因为，所以.则直线BC的方程为.联立，解得，即.因为点C的横坐标为，所以，解得.因为，所以，将代入可得点P的坐标为.（2）设，又直线AC的方程为.联立消去y，整理得，所以，解得.因为，所以.因为，所以.20.对于两个定义域均为D的函数，若存在最小正实数M，使得对于任意，都有，则称M为函数的“差距”，并记作.（1）求（），（）的差距；（2）设（），（）.（）①若，且，求满足条件的最大正整数a；②若，且，求实数m的取值范围.解：（1），当时，取“=”，所以x16-0+↘↗（2）①令，则，令，则，列表：∵；当时，，由于，因此，所以；当时，，故满足条件的最大正整数为3.②法一：由，且，得，从而，所以.当时，上式显然成立；法二：令，则.（ⅰ）若，则，从而在上递增，又，，所以；（ⅱ）若，则，从而在上递减，又，，所以；（ⅲ）若，则由，可得，列表x1e-0+1↘↗因为，所以，令∴，∴，故该情况不成立.综上，m的取值范围是.2019-2020学年度南通第一中学高三年级5月调研数学试卷（二卷）21.变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是，求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.【解析】旋转变化矩阵记设是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是，面积，也就是，即，代入，得，所以所求曲线的方程是25.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为，（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C经过极点，且其圆心的极坐标为.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若射线（）分别与圆C和直线l交于点A，B（点A异于坐标原点O），求线段AB的长.【解析】解：（1）圆C是以为圆心，半径为2的圆.其方程是，即，可得其极坐标方程为，即；2）将代入得，直线l的普通方程为其极坐标方程是将代入得故.23.袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用5表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列和期望.【解析】解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A则为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴（2）题意可知值为：2，3，4，5；；；∴的分布列为：2345P则答：随机变量的期望是.24.如图，已知F是抛物线C：的焦点，过的直线l与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴