统计学课件：平均指标与标志变异指标

平均指标与标志变异指标第一节

平均指标第二节标志变异指标

平均指标与标志变异指标第一节

平均指标一、平均指标的概念、作用和种类（一）平均指标的概念平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志值或同一总体指标在不同时间上一般水平的一种综合性指标。平均指标是反映社会现象和自然现象数量特征一般水平的一种统计指标，又称平均数。（二）平均指标的作用1．用来比较不同国家、地区、单位或部门、行业之间某种现象一般水平的差距。2．用来比较同一国家、地区、单位或部门、行业在不同时期某现象一般水平的发展变化情况。3．用来分析现象之间的相互依存关系。4．用来进行有关推算和预测。（三）平均指标的种类

算术平均数

数值平均数 调和平均数几何平均数 众数

位置平均数

中位数二、算术平均数算术平均数是指将总体标志总量除以同一总体单位总数得到的平均指标。算术平均数的基本计算公式如下：（一）简单算术平均数将总体各单位的标志值相加，然后除以标志值项数(即总体单位数)而得到的平均数叫简单算术平均数。其计算公式为：式中：——算术平均数——第i个单位的标志值，i＝1，2，3,…,n——总体单位数——总和【例】某企业有5名职工，其月工资分别为：5000元、5500元、6000元、7000元、8000元。则5名职工的月平均工资为：简单算数平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况。用各组变量值乘以各组的单位数(即相应的次数)，加总求出总体标志总量，然后再除以总体单位数求得的平均数即是加权算术平均数。其计算公式为：式中：——标志值出现的次数或权数——标志值——组数——标志总量（二）加权算术平均数【例】下表资料是经过分组整理的，已知日产量及工人人数，则加权算术平均数计算如下：日产量x（件）工人人数f（人）总产量xf（件）1516171812384020180608680360合计1101828【例】设某厂职工按日产量分组后所得组距数列如下，据此求平均日产量。按日产量分组(千克)组中值X(千克)工人数f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合计-16413550加权算数平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况。在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数系数来求加权算术平均数，其公式为：按日产量分组(千克)组中值X(千克)工人数f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合计-1641.0082.7(三)算术平均数的数学性质1、将变量数列中每一个变量值减一个不为零的任意常数

，则算术平均数也相应减该任意常数

。2、将变量数列中的每一个变量值除以一个不为零的任意常数d，则算术平均数也相应除以该任意常数d。3、各变量与其算术平均数离差之和为零。4、各变量值与其平均数离差平方之和为最小值。三、调和平均数调和平均数又称“倒数平均数”，它是指各变量值倒数的算术平均数的倒数。分为简单调和平均数和加权调和平均数。简单调和平均数的计算公式为：即设m为权数，则加权调和平均数的计算公式为：则【例】有三种水果的单价每千克分别为10元、15元、20元，且三种水果各买了1元，则三种水果的平均价格为：【例】接上例，如果每种水果各买了15元、20元、25元，则三种水果的平均价格为：算术平均数和调和平均数的选择b、调和平均数常作为算术平均数的变形使用。联系：a、两种平均数经济意义相同。1、计算平均指标时，如果资料中没有直接给出所计算指标的分子数，就要选择算术平均数的公式。2、计算平均指标时，如果没有直接给出所计算指标的分母数，应选择调和平均数的公式。区别：四、几何平均数几何平均数是n个变量连乘只的n次方根。分为简单几何平均数和加权几何平均数。若资料未分组，简单几何平均数计算公式：若资料已分组，加权几何平均数计算公式：【例】某企业生产的某产品，依次需要经过三道生产工序才能完工。三道生产工序合格率分别为97%，96%，95%，则该产品三道工序的平均合格率为：【例】某家电厂最近5年电冰箱的年发展速度分别为：113.47％，179.68％，188.69％，290.40％和264.54％，则其年平均发展速度为：五、众数和中位数(一)众数1、概念众数是指总体中出现次数最多的变量值。它可以用来大致说明现象的一般水平。2．众数的确定(1)由单项变量数列确定众数：不需计算，只需将各项变量值排列成序列，直接观察出现次数最多的变量值就是众数。(2)由组距数列计算众数①由最多次数来确定众数所在组；②利用比例插值法推算众数的近似值。上限公式：下限公式：其中：M0—众数，L—众数所在组的下限

U—上限，d—众数组的组距△1—众数所在组次数与前一组次数之差△2—众数所在组次数与其后一组次数之差按日产量分组(千克)工人人数(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中第三组70-80出现次数最高，为众数所在组。【例】某企业工人按照日产量分组资料如下表，试确定日产量的众数。2．众数的特点（1）众数可通过其次数的多少来反映研究总体次数分布的集中状况，其次数在总体单位总量中所占比重越大，表明研究总体集中程度越高，众数对总体的代表性也越大。（2）若总体的次数分布是正态或基本上是正态分布，或者众数的次数较多，达到总体单位的半数，甚至更多，此时，众数将等于或接近于算术平均数，从而可用来代表总体的一般水平。（3）众数不受极端值的影响。(二)中位数1．概念将总体各单位的变量值按大小顺序排列，属于中间位次的变量值即为中位数。2、作用中位数处于次数分布的中点，不受极端数值的影响，有时也可用来代表现象的一般水平。3．中位数的确定(1)未分组资料的中位数确定方法①把原始资料按大、小顺序排列，形成数据序列；②确定序列的中点位置——中位数项；③再据此确定或测算中位数。中位数所在项次Qm的确定依据为：中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则(2)分组资料的中位数确定方法①单项式分组资料确定中位数【例】设有某单位职工人均月缴个人所得税资料如下表所示。人均月缴个人所得税（元）职工人数职工人数由上向下累计10015020025030035015201525301515355075105120合计120—由中位数项公式有：累计次数60对应的组的变量值为250元，即为该单位人均月缴个人所得税的中位数。②由组距式分组资料确定中位数下限公式：上限公式：—中位数所在组的次数，—中位数所在组以下组的累计次数，—中位数所在组以上组的累计次数，L—下限。u—上限，d—中位数所在组的组距，—中位数，【例】某车间50个工人日产量资料如下表。日产量（件）工人数（人）工人数由上向下累计60以下60~7070~8080~9090以上5821106513344450合计50－六、平均数之间的相互关系1.当总体分布呈对称状态时f如图：x2.当总体分布呈非对称状态时如图：fX如图：fX七、应用平均指标应注意的问题（一）总体的同质性是运用平均指标的基本前提（二）用组平均数补充说明总平均数（三）用次数分布的资料补充说明总平均数第二节

标志变异指标一、标志变异指标的概念和作用1、概念标志变异指标是用来说明总体各单位某一数量标志值之间差异程度的指标。2、作用用来衡量和比较平均数代表性的大小:标志变异程度大，平均数的代表性就小；标志变异程度小，平均数的代表性就大；用来反映现象发展过程的稳定性与均衡性。二、标志变异指标的种类及计算（一）全距1、概念全距又称极差(一般用R表示)，是指总体各单位最大变量值与最小变量值的差数。2、计算3、优、缺点优点：计算方便，易于理解。缺点：易受极端值的影响，只能反映最大值与最小值之间的差距，而不能反映其内部各数值的差异状况，从而代表性差。（二）平均差1、概念平均差是指各项变量值与其平均数的离差的绝对值的算术平均数。通常用符号A．D表示。2、计算【例】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000解：3、优、缺点优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。（三）标准差1、概念标准差又称均方差，是指总体中变量值与其算术平均数的离差平方和的算术平均数的平方根。2、计算【例】某厂工人日产量及工人数资料如下，计算标准差。6100--4200-100合计253513169825551550-60405392025454540-501715-7491225353530-401445-1728912525520-30

xf

x工人数(人)f按日产量分组(千克)解：3、标准差的简捷计算法标准差的简捷计算公式是根据算术平均数的数学性质：“各项变量值与其算术平均数离差平方和为最小”而推算出来的。4、特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算。（四）离散系数1、概念离散系数是指各离散趋势绝对指标与其相应的平均数之比。【例】资料如下表所示：甲地区乙地区年利润（千万元）企业数年利润（千万元）企业数579101346178520421538065—4