苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练期中难点特训(一)与数轴上的动点和代数式结合的压轴题(原卷版+解析)

期中难点特训（一）与数轴上的动点和代数式结合的压轴题1．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．(1)填空：AB＝，BC＝；(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示运动后BC和AB的长，是否存在符合要求的m的值，使BC﹣mAB的值不随时间t的变化而变化，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．2．阅读理解：如图，对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如：数轴上点A、B、C表示的数分别是1、4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．知识运用：(1)当点A表示数，点B表示数2时，下列个数：，0，1，4中，是A，B两点的“倍分点”表示的数是____________；(2)当点A表示数，点B表示数3时，点P是数轴上的一个动点．①若点P在点A、点B之间，且点P是点A，B的“倍分点“，则点P表示的数是____________；②若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“倍分点“，则点”表示的数是____________；③若点P在点B的右侧，当点A、点B、点P中，有一个点恰好是另外两点的“倍分点”时，请你直接写出点P表示的数是____________．3．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的次数的相反数，b是最小的正整数，单项式的次数为c．（1）________，__________，________．（2）若将数轴在点O折叠，则点A落下的位置与点C的距离为_______；（3）点开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则_____，_____（t的整式表示）（4）在（3）的条件下，当AC=3AB时，求的值．4．思考下列问题并在横线上填上答案．（1）已知数轴上有两点，点M与原点的距离为两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是________；（2）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上两点之间的距离是10（E在F的左侧），且两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是______，点F表示的数是________；（3）数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？5．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b与c互为相反数，a、b、c三个数的和为﹣6，点A与点C之间的距离为10个单位长度．（1）a＝，b＝，c＝；（2）如果P是数轴上点A、B之间一动点（不与点A、B重合），其对应的数为x，化简：|x＋6|﹣3|x﹣2|；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点B、C的距离之和为20？若存在，请求出P点表示的数，若不存在，请说明理由：（4）若点C以每秒2个单位长度、点B以每秒0.5个单位长度向左移动，当点C与点B之间的距离为5个单位长度时，点B所对应的数是多少？6．已知3xyb﹣（a+2）y2﹣3是三次二项式；（1）请直接写出a，b的值：a＝，b＝；（2）在（1）的条件下，a，b分别对应的点A、B开始在数轴上运动，若点A、B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒钟过后，当AB的距离为2时，求t的值；（3）在（1）（2）的条件下，点C对应的数为5，若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：是否存在一个数m，使得AC﹣mBC的值为定值．若存在，请求出m，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．7．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为，，，此时点B是点A，C的“关联点”．(1)若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是；(2)点A表示数，点B表示数，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数．8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．（1）A、B两点之间的距离为_______；（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?10．【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．如图①，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则DC＝|3﹣1|＝2；CO＝|1﹣0|＝1；AB＝|（﹣4）﹣（﹣2）|＝|﹣2|＝2【问题解决】（1）计算|2﹣（﹣3）|＝．（2）如果点A为数轴上一点，它所表示的数为x，点B在数轴上表示的数为﹣4，|AB|＝5，那么x为．【关联运用】（3）运用一：代数式|x﹣1|＋|x＋4|的最小值为．（4）运用二：在图②，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是﹣3，B点表示数是﹣1，C点表示数是6，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝，AC＝．（用含t的代数式表示）（5）在（4）的条件下，若mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变，试确定m的值．11．如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为4．阅读并解决相应问题．（1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A，B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3＝7，则称点P为点A，B的“7节点”．填空：①若点P表示的数为﹣2，且点P为点A，B的“n节点”，则n的值是．②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A，B的“7节点”，则这样的整点P共有个．（2）类比探究：如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，则点P表示的数是，及n的值是．（3）拓展延伸：若点P表示的数为﹣2，点P以每秒6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，若此时点P为点A，B的“n节点”，请求出t和n的值．12．【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为．【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交点表示的数为（用含a，b的代数式表示）．【问题解决】（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为﹣4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．13．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足．（1）______，______，______；（直接写得数）（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合（请写出过程）；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则______，______，______．（直接用含t的代数式表示）（4）请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．14．【阅读】

我们知道：在数轴上，点表示有理数为，点表示有理数为，当时，点之间的距离记作：；当时，点之间的距离记作：，例如：，则=2-（-3）=5．【应用】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．（1）若=1，=2，则=．（2）若，点到点的距离是点到点的距离的倍．则的值为．（3）若，则，请直接写出c=（4）若为常数，且，现在在数轴上做匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，假设秒钟过后，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值（用含的代数式表示）．15．【阅读理解】

一般地，数轴上表示数m和数n的两点A、B之间的距离等于m、n两数差的绝对值，即AB=．例如，数轴上表示3和－1的两点A、B之间的距离是AB=；表示－3和2两点C、D之间的距离是CD=．【知识运用】（1）若数轴上表示数a的点位于－4与2之间，求的值；（2）数轴上一点表示数a，若，求a的值；（3）如图，

A、B为数轴上两点，点

A所表示的数为－20，点

B所表示的数为

40．现有一只电子蚂蚁

P从点

B出发，以

5个单位每秒的速度向左运动，设P运动时间为t秒，当

t为何值时，

P、A、

B三点中恰有某两点距离是另两点距离的两倍？16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒.①当P运动到C点时，点Q所表示的数是多少?②当t为何值时，P、Q之间的距离为6?③若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB.在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=5?若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．17．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和-2两点之间的距离等于；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么；（2）若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；（3）满足的的取值范围是；（4）已知数轴上两点，其中表示的数为，表示的数为2，若在数轴上存在一点，使得，（把点到点的距离记为，点到点的距离记为，则称点为点的“节点”．例如：若点表示的数为0.5，有，则称点为点的“3节点”．若点在数轴上（不与重合），满足，且此时点为点的“节点”，求的值．18．阅读下面的材料并解答问题：在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且点A到点B的距离记为线段AB的长，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a，若a＝﹣1，b是最小的正整数，c＝5．（1）BC＝．（2）若将数轴折叠，使得A与C点重合：①点B与数表示的点重合；②若数轴上P、Q两点之间的距离为2018（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，则点P表示的数是．（3）点A、B、C开始在数轴上运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．试探索：3AC﹣5AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．期中难点特训（一）与数轴上的动点和代数式结合的压轴题1．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．(1)填空：AB＝，BC＝；(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示运动后BC和AB的长，是否存在符合要求的m的值，使BC﹣mAB的值不随时间t的变化而变化，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)14，20(2)存在，m＝【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式进行计算即可；（2）设运动时间为t，则A运动后对应的数为点B和点C运动后对应的数分别为：再分别求解BC，AB，再计算整式的加减运算，结合BC﹣mAB的值不随时间t的变化而变化，即代数式的值与t无关，再建立方程求解即可．（1）解：由题意可知AB=（-10）-（-24）=14，BC=10-（-10）=20．故答案为14、20．（2）设运动时间为t，则A运动后对应的数为点B和点C运动后对应的数分别为：∴BC＝2t＋20，AB＝4t＋14；∴BC﹣mAB＝（2－4m）t＋20－14m，∵BC﹣mAB的值不随时间t的变化而变化，∴解得：当m＝时，BC﹣mAB＝13【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减运算的应用，整式的加减运算中代数式的值与某字母无关的问题，熟练的表示运动后相应的点对应的数是解本题的关键．2．阅读理解：如图，对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如：数轴上点A、B、C表示的数分别是1、4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．知识运用：(1)当点A表示数，点B表示数2时，下列个数：，0，1，4中，是A，B两点的“倍分点”表示的数是____________；(2)当点A表示数，点B表示数3时，点P是数轴上的一个动点．①若点P在点A、点B之间，且点P是点A，B的“倍分点“，则点P表示的数是____________；②若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“倍分点“，则点”表示的数是____________；③若点P在点B的右侧，当点A、点B、点P中，有一个点恰好是另外两点的“倍分点”时，请你直接写出点P表示的数是____________．【答案】(1)1或4(2)①0或2；②-3；③点P表示的数为5或或15或11【分析】（1）求出每个点到A、B的距离，然后根据“倍分点”的定义判断即可；（2）①设点P表示的数为x，由P在A、B之间，则，，再由“倍分点”的定义列出方程求解即可；②设点P表示的数为x，由P在A的左侧，得到，，再由“倍分点”的定义列出方程求解即可；③设点P表示的数为x，由P在B的右侧，得到，，，然后分当P是A、B的“倍分点”时，则，当B是A、P的“倍分点”时，则或，当A为P、B的“倍分点”时，则．（1）解：点与A，B两点的距离分别为、，则点不是A，B两点的“倍分点”；同理可以求得点0不是A，B两点的“倍分点”；点1和点4是A，B两点的“倍分点”；∴点P表示的数为1或4；（2）解：①设点P表示的数为x，∵P在A、B之间，∴，，∵点P是点A，B的“倍分点”，∴或，解得或；∴点P表示的数为0或2；②设点P表示的数为x，∵P在A的左侧，∴，，∵点P是点A，B的“倍分点”，∴，解得，∴点P表示的数为-3③设点P表示的数为x，∵P在B的右侧，∴，，，当P是A、B的“倍分点”时，则，解得，即点P表示的数为5；当B是A、P的“倍分点”时，则或，解得或，即点P表示的数为或15；当A为P、B的“倍分点”时，则，解得，即点P表示的数为11，综上所述，点P表示的数为5或或15或11．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，用数轴表示有理数，解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴的关系．3．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的次数的相反数，b是最小的正整数，单项式的次数为c．（1）________，__________，________．（2）若将数轴在点O折叠，则点A落下的位置与点C的距离为_______；（3）点开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则_____，_____（t的整式表示）（4）在（3）的条件下，当AC=3AB时，求的值．【答案】（1）-4，1，6；（2）2；（3）；（4）5【分析】（1）根据多项式次数，单项式次数的定义，相反数的定义，最小的正整数的定义求解即可；（2）先求出点A落下的位置为数轴上表示4的点的位置，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；（3）由题意得：t秒过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，由此根据数轴上两点距离公式求解即可；（4）先求出，再由，得到，由此求解即可．【详解】解：（1）∵a是多项式的次数的相反数，b是最小的正整数，单项式的次数为c，∴，，；故答案为：-4，1，6；（2）∵将数轴在点O折叠，∴点A落下的位置为数轴上表示4的点的位置，∵点C表示的数是6，∴点A落下的位置与点C的距离为6-4=2，故答案为：2；（3）由题意得：t秒过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，∴，，故答案为：，；（4）由（3）可得，∵，∴，解得．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，单项式和多项式次数的定义等等，熟知相关知识是解题的关键．4．思考下列问题并在横线上填上答案．（1）已知数轴上有两点，点M与原点的距离为两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是________；（2）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上两点之间的距离是10（E在F的左侧），且两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是______，点F表示的数是________；（3）数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？【答案】（1）3.5或0.5或-3.5或-0.5；（2）-6，4；（3）8，4，24【分析】（1）先求出点M所表示的数，进而即可求解；（2）先求出折痕对应的数为：-1，进而即可求解；（3）先求出A、B相遇时所花的时间，进而即可求解．【详解】解：（1）∵点M与原点的距离为2，∴点M表示的数为：±2，∵两点的距离为1.5，∴N表示的数为：2±1.5=3.5或0.5；-2±1.5=-3.5或-0.5，故答案是：3.5或0.5或-3.5或-0.5；（2）∵折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，∴折痕对应的数为：-1，∵数轴上两点之间的距离是10（E在F的左侧），且两点经过上述折叠后重合，∴点E表示的数是：-1-5=-6，点F表示的数是：-1+5=4，故答案是：-6，4；（3）当三个点聚于一个点时，则A、B相遇，运动的时间为：（8+8）÷（0.5+1.5）=8（秒），此时，这一点表示的数是：-8+1.5×8=4，点C在整个运动过程中，移动了：3×8=24个单位．【点睛】本题主要考查数轴上的点所表示的数，两点间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点的距离等于对应的两数之差的绝对值，是解题的关键．5．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b与c互为相反数，a、b、c三个数的和为﹣6，点A与点C之间的距离为10个单位长度．（1）a＝，b＝，c＝；（2）如果P是数轴上点A、B之间一动点（不与点A、B重合），其对应的数为x，化简：|x＋6|﹣3|x﹣2|；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点B、C的距离之和为20？若存在，请求出P点表示的数，若不存在，请说明理由：（4）若点C以每秒2个单位长度、点B以每秒0.5个单位长度向左移动，当点C与点B之间的距离为5个单位长度时，点B所对应的数是多少？【答案】（1）﹣6，﹣4，4；（2）4x；（3）存在，点P表示的数是﹣10或10；（4）﹣5或﹣【分析】（1）b与c互为相反数，三个数的和为﹣6，可得a＝﹣6，再根据AC＝10可得c和b；（2）根据绝对值的性质化简，再合并即可；（3）设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得结论，注意分情况讨论；（4）设t秒后，点C与点B之间的距离为5个单位长度，由题意得|（4﹣2t）﹣（﹣4﹣0.5t）|＝5，解方程即可．【详解】解：（1）∵b与c互为相反数，a、b、c三个数的和为﹣6，∴a＋b＋c＝﹣6，b＋c＝0，∴a＝﹣6，∵AC＝10，∴c＝4，b＝﹣4，故答案为：﹣6，﹣4，4；（2）由题意得，﹣6＜x＜﹣4，∴|x＋6|﹣3|x﹣2|＝x＋6﹣3（2﹣x）＝x＋6﹣6＋3x＝4x；（3）设点P表示的数为x，由题意可得x＜﹣4或x＞4，当x＜﹣4时，﹣4﹣x＋4﹣x＝20，解得x＝﹣10，当x＞4时，x＋4＋x﹣4＝20，解得x＝10，∴点P表示的数是﹣10或10；（4）设t秒后，点C与点B之间的距离为5个单位长度，由题意得，|（4﹣2t）﹣（﹣4﹣0.5t）|＝5，解得t＝2或，∴-4﹣0.5t＝﹣5或﹣．此时点B所对应的数﹣5或﹣．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，熟知数轴上两点间距离公式是解题的关键．6．已知3xyb﹣（a+2）y2﹣3是三次二项式；（1）请直接写出a，b的值：a＝，b＝；（2）在（1）的条件下，a，b分别对应的点A、B开始在数轴上运动，若点A、B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒钟过后，当AB的距离为2时，求t的值；（3）在（1）（2）的条件下，点C对应的数为5，若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：是否存在一个数m，使得AC﹣mBC的值为定值．若存在，请求出m，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-2，2；（2）t＝2或t＝6；（3）存在，m＝0.5，这个定值为5.5．【分析】（1）根据三次二项式的定义直接写出a，b的值即可；（2）根据数轴上点的表示方法表示出点A，B，再根据两点间的距离公式列出方程求解即可；（3）先根据点A，B，C所表示的数求出AC，BC，再根据AC﹣mBC的值为定值求出m的值．【详解】解：（1）∵3xyb﹣（a+2）y2﹣3是三次二项式，∴a＝﹣2，b＝2故答案为：﹣2，2；（2）根据题意，t秒后点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为2﹣2t，AB＝|﹣2﹣t﹣（2﹣2t）|＝|t﹣4|＝2，解得：t＝2或t＝6；（3）由题意，得：AC＝5﹣（﹣2﹣t）＝7+t，BC＝5﹣（2﹣2t）＝3+2t，AC﹣mBC＝7+t﹣m（3+2t）＝7﹣3m+（1﹣2m）t，要使得AC﹣mBC的值为定值，则1﹣2m＝0，即m＝0.5，这个定值为7﹣3×0.5＝5.5，∴m＝0.5，这个定值为5.5．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，多顶式，数轴上两点的距离，关键是找出等量关系列出方程．7．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为，，，此时点B是点A，C的“关联点”．(1)若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是；(2)点A表示数，点B表示数，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数．【答案】(1)(2)①或或；②或或【分析】（1）根据题意由两个点的“关联点”的定义，求得CA与BC的关系，得到答案；（2）①由题意设点P表示的数为p，根据PA，PB成2倍关系列方程求解；②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、三种可能列方程解答．（1）若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是，故答案是：；（2）设P点在数轴上表示的数为p．①∵P在点B左侧，则：（Ⅰ）当P点在AB之间时．，解得：，或，解得：，（Ⅱ）当P点在A点左侧时．，解得：，∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为或或．②∵点P在B点右侧，则：（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时．，解得：；（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时．，解得：，或，解得：；（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时．，解得：，∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为或或．【点睛】本题考查线段上的动点问题，设动点为p，根据题意建立方程进行求解即可，注意分类讨论．8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【答案】（1）-2；（2）①不是；②1秒或10秒；（3）﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44【分析】（1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论；（2）①先根据数轴上两点的距离表示出PA和PB的长，再根据好点的定义即可求解；②根据题意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据好点的定义即可求解；（3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“好点”时；当点A是关于B→P的“好点”时；当点P是关于A→B的“好点”时；当点P是关于B→A的“好点”时；当点B是关于P→A的“好点”时，分别代入计算即可．【详解】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP＝PA＝AB＝6，∴点P表示的数是﹣2；（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，∵PA≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得t＝1或t＝10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“好点”时，|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|＝3|AP|，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|PA|＝3|PB|，即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|＝3|AP|，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|＝3|AB|，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．【点睛】本题考查了数轴，好点的定义，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离公式，若点A表示的数a，点B表示的数b，则AB=|a−b|是解决本题的关键．9．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．（1）A、B两点之间的距离为_______；（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?【答案】（1）12；（2）14或5；（3）①；②或或或秒【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）设、两点的伴侣点在数轴上对应的数是．根据列出方程，解方程即可；（3）①先求出、两点相向而行相遇时所需的时间，再求出点在数轴上对应的数即可；②设点出发秒后，与点之间相距3个单位长度．由于，由于点和点分别从点、同时出发，且点的运动速度小于点的运动速度，所以它们同时向右运动时、两点之间的距离．然后分两种情况进行讨论：Ⅰ、两点相向而行，Ⅱ、两点都向左运动．根据列出方程，求解即可．【详解】解：（1）数轴上两点、对应的数分别为、8，、两点之间的距离为：．故答案为12；（2）设、两点的伴侣点在数轴上对应的数是．数轴上点到的距离是到的距离的3倍，，，，或，解得，或．故、两点的伴侣点在数轴上对应的数是14或5；（3）①当、两点相向而行相遇时，所需时间为：（秒，此时点在数轴上对应的数是：．故答案为；②设点出发秒后，与点之间相距3个单位长度．分两种情况：（Ⅰ）、两点相向而行，此时点对应的数为，点对应的数为，，，，或，解得，或；（Ⅱ）、两点都向左运动，此时点对应的数为，点对应的数为，，，，或，解得，或．综上所述，点出发或或或秒后，与点之间相距3个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，行程问题数量关系的应用，数轴上两点间的距离公式，数轴上点的表示，比较复杂，解题的关键是正确表示数轴上两点间的距离、正确进行分类讨论．10．【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．如图①，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则DC＝|3﹣1|＝2；CO＝|1﹣0|＝1；AB＝|（﹣4）﹣（﹣2）|＝|﹣2|＝2【问题解决】（1）计算|2﹣（﹣3）|＝．（2）如果点A为数轴上一点，它所表示的数为x，点B在数轴上表示的数为﹣4，|AB|＝5，那么x为．【关联运用】（3）运用一：代数式|x﹣1|＋|x＋4|的最小值为．（4）运用二：在图②，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是﹣3，B点表示数是﹣1，C点表示数是6，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝，AC＝．（用含t的代数式表示）（5）在（4）的条件下，若mAC﹣4AB的值不随着时间t的变化而改变，试确定m的值．【答案】（1）5；（2）1或-9；（3）5；（4）3t+2，4t+9；（5）m=3．【分析】（1）根据绝对值的意义计算即可；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可求解；（3）|x-1|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数1与表示数-4的距离之和，因此当x在1与-4之间时，这个距离之和最小，最小值为1与-4之间的距离5；（4）根据题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得AB、AC的长；（5）根据题意列式，利用整式的加减运算即可得到结论．【详解】解：（1）|2-（-3）|=|2+3|=5；故答案为：5；（2）根据题意得|AB|=5，即|x-（-4）|=5，∴x+4=5，解得x=1或x=-9，故答案为：1或-9；（3）|x-1|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数1与表示数-4的距离之和，因此当-4≤x≤1时，这个距离之和最小，最小值就是1与-4之间的距离，为5，故有最小值，是5．故答案为：5；（4）根据题意得：AB=t+2t+2=3t+2，AC=t+3t+9=4t+9；故答案为：3t+2，4t+9；（5）∵mAC-4AB=m（4t+9）-4（3t+2）=（4m-12）t+9m-8，∵mAC-4AB的值不随着时间t的变化而改变，∴4m-12=0，∴m=3．【点睛】本题主要考查了数轴表示数的意义和方法以及数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．11．如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为4．阅读并解决相应问题．（1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A，B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3＝7，则称点P为点A，B的“7节点”．填空：①若点P表示的数为﹣2，且点P为点A，B的“n节点”，则n的值是．②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A，B的“7节点”，则这样的整点P共有个．（2）类比探究：如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，则点P表示的数是，及n的值是．（3）拓展延伸：若点P表示的数为﹣2，点P以每秒6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，若此时点P为点A，B的“n节点”，请求出t和n的值．【答案】（1）①7；②8；（2）或，9或7；（3）t=，n=49或t=，n=7．【分析】（1）①结合题意，根据数轴的性质即可解答；②根据数轴的性质，设出点P表示的数为，分，且、，且、，且三种情况分析，根据绝对值的性质计算，即可得到答案；（2）根据数轴的性质可得点P表示的数为：或，然后再计算即可；（3）设出点P表示的数为,则x=-2+6t，然后根据分分且、且、且三种情况分别根据绝对值和一元一次方程的性质求出x，再根据x=-2+6t求出t的值，最后求n即可．【详解】解：（1）①∵点P表示的数为，∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7∴点P为点A、B的“7节点”∴n=7故填：7；②设出点P表示的数为∴点P到点A的距离为：，点P到点B的距离为：当，且，即时，∵∴，不符合题意；当，且，即时，，符合题意当，且，即时，∵∴，不符合题意；∴∵P为整点∴P表示的数为：-3或-2或-1或0或1或2或3或4∴整点P共有8个故答案为：8；（2）∵点P到点A的距离为1，点A表示的数为-3，∴点P表示的数为：或当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+8=9，即n=9；当点P表示的数为：时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+6=7，即n=7；（3）设出点P表示的数为,则x=-2+6t根据题意，得当，且，即时，根据题意，得：∴当，且，即时，根据题意，得：∴当，且，即时，根据题意，得：∴（不符合题意，故舍去）∴或，即P表示的数为或当P表示的数为时，-2+6t=25，即t=，当P表示的数为时，-2+6t=1，即t=，．【点睛】本题主要考查了有理数、绝对值的知识；解题的关键是灵活运用绝对值、数轴、一元一次方程的性质．12．【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为．【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交点表示的数为（用含a，b的代数式表示）．【问题解决】（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为﹣4，点D表示的数为2，如果C，D，E三点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．【答案】【操作感知】1，【建立模型】；【问题解决】（1）点E表示的数为﹣1或﹣10或8；（2）．【分析】操作感知：由已知得出A'、B'表示的数，再求出A'B'中点即可得答案；建立模型：求出MN的中点表示的数即可得到答案；问题解决：（1）分三种情况分别列出方程，求解即可得答案；（2）先求出PQ的长度，再根据每两条相邻折痕间的距离为，即可得最右端的折痕与数轴的交点表示的数．【详解】解：操作感知：由已知得A'表示的数是4，B'表示的数是﹣2，∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，∴A′与点B′关于折痕对称，即A'B'中点为折痕与数轴的交点，而A'B'中点表示的数为：，故答案为：1；建立模型：∵MN关于折痕对称，∴MN的中点即是折痕与数轴交点，而MN的中点表示的数是，∴折痕与数轴交点表示的数为，故答案为：；问题解决：（1）设点E表示的数是x，当E到C、D距离相等，即E是CD中点时，，当C到E、D距离相等，即C是ED中点时，，解得：；当D到C、E距离相等，即D是CE中点时，，解得：；综上所述，点E表示的数为﹣1或﹣10或8；（2）由已知得Q表示的数是2l，P表示的是﹣l，∴，而对折n次后，每两条相邻折痕间的距离相等，这个距离是，∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为．【点睛】题目主要考查数轴上两点间的距离公式、一元一次方程的应用，利用数形结合思想、正确理解题意是解题关键．13．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足．（1）______，______，______；（直接写得数）（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合（请写出过程）；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则______，______，______．（直接用含t的代数式表示）（4）请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1），1，7；（2）4，见解析；（3），，；（4）不变，12【分析】（1）由非负数的性质可得，，从而求解的值，再由b是最小的正整数求解即可；（2）先求解对折时折痕点对应的数，再计算与折痕点之间的距离即可得到答案；（3）先表示运动后对应的数分别为：再利用数轴上两点之间的距离公式进行计算可得答案；（4）结合（3）问的结论计算，根据计算的结果进行作答即可.【详解】解：（1）因为，所以，，所以，．又因为b是最小的正整数，所以，，答案：，，．（2）由折痕点是线段AC的中点，折痕点对应的数为：对应的数为点B与数4表示的点重合故答案为：4．（3）由题意可得：运动后对应的数分别为：，．（4）解：不变．理由如下：．为定值，不会发生变化.【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值非负性的应用，数轴上线段的中点对应的数的表示，列代数式，整式的加减运算的应用，掌握以上基础知识是解题的关键.14．【阅读】

我们知道：在数轴上，点表示有理数为，点表示有理数为，当时，点之间的距离记作：；当时，点之间的距离记作：，例如：，则=2-（-3）=5．【应用】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．（1）若=1，=2，则=．（2）若，点到点的距离是点到点的距离的倍．则的值为．（3）若，则，请直接写出c=（4）若为常数，且，现在在数轴上做匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，假设秒钟过后，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值（用含的代数式表示）．【答案】（1）3或-1；（2）0或-8；（3）；（4）不变，值为【分析】（1）由题意可得：再分两种情况讨论：当在的左边时，当在的右边时，再解方程可得答案；（2）分两种情况讨论：当在之间时，则当在的左边时，则再分别利用列方程，解方程可得答案；（3）如图，当在之间时，再利用，列方程求解即可，如图，当在之间时，同理可得答案；（4）如图，运动后对应的数分别为：再分别计算再求解，从而可得结论.【详解】解：（1）由题意可得：当在的左边时，解得：当在的右边时，解得：综上：或故答案为：或（2）当在之间时，则解得：当在的左边时，则解得：故答案为：或；（3）如图，当在之间时，，解得：如图，当在之间时，，解得：故答案为：（4）如图，运动后对应的数分别为：的值与无关，是定值.【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值的化简，整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用，解本题的关键按照点的位置进行分类讨论.15．【阅读理解】

一般地，数轴上表示数m和数n的两点A、B之间的距离等于m、n两数差的绝对值，即AB=．例如，数轴上表示3和－1的两点A、B之间的距离是AB=；表示－3和2两点C、D之间的距离是CD=．【知识运用】（1）若数轴上表示数a的点位于－4与2之间，求的值；（2）数轴上一点表示数a，若，求a的值；（3）如图，

A、B为数轴上两点，点

A所表示的数为－20，点

B所表示的数为

40．现有一只电子蚂蚁

P从点

B出发，以

5个单位每秒的速度向左运动，设P运动时间为t秒，当

t为何值时，

P、A、

B三点中恰有某两点距离是另两点距离的两倍？【答案】（1）6；（2）-5或3；（3）4，6，8，18，24，36【分析】（1）画出数轴，利用点对应的数为再表示再分别化简绝对值即可得到答案；（2）由（1）可得数不在之间，再分两种情况讨论：当数在的左边时，如图，当数在的左边时，如图，再利用，化简绝对值，再解方程即可；（3）先分两大类：如图，当在之间时，如图，当在的左边时，再在每一类里分三种情况讨论，利用两点间的距离公式列方程，再解方程即可.【详解】解：（1）如图，数轴上表示数a的点位于－4与2之间，点C对应的数为（2）由（1）可得数不在之间，当数在的左边时，如图，解得：当数在的右边时，如图，解得：综上：或（3）如图，当在之间时，当时，整理得：解得：当时，整理得：解得：当时，此时为中点，整理得：解得：如图，当在的左边时，当时，整理得：解得：当时，整理得：解得：当则为中点，此时整理得：解得：综上：当的值为4s，6s，8s，18s，24s，36s时，P、A、B三点中恰有某两点距离是另两点距离的两倍.【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向