苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题14类比归纳专题：平行直角坐标系中图形面积的求法(原卷版+解析)

专题14类比归纳专题：平行直角坐标系中图形面积的求法考点一直接利用面积公式求图形的面积考点二利用补形法或分割法求图形的面积考点三与图形面积相关的点的存在性问题考点一直接利用面积公式求图形的面积例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．(1)求三角形AOB的面积；(2)求点C的坐标．【变式训练】1．（2022·河南洛阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，点为垂足，则的面积为（

）A．6 B． C．3 D．2．（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积．3．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知，，．(1)写出点C到x轴的距离______；(2)连接AB、BC、AC，求的面积；(3)点P在y轴上，当的面积是6时，求出点P的坐标．4．（2022·湖北鄂州·七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：(1)在坐标系内描出点，，的位置；(2)求出以，，三点为顶点的三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．考点二利用补形法或分割法求图形的面积例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．【变式训练】1．（2022·河北邯郸·七年级期中）四边形ABCD各顶点的位置如图所示，求四边形ABCD的面积．2．（2021·安徽芜湖·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．3．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）（1）请画出△ABC关于y轴对称(其中、、分别是A、B、C的对应点)；（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______，_______，________．（3）求出△ABC的面积．4．（2022·山东临沂·七年级期末）四边形ABCD各个顶点的坐标分别为、、、．(1)确定这个四边形的面积，你是怎么做的？写出简要计算过程．(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，所得的四边形和原四边形ABCD的面积是否发生变化？面积是多少？(3)请用数学原理说出（2）其中的规律？考点三与图形面积相关的点的存在性问题例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．(1)求此四边形的面积；(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．【变式训练】1．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，同时将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接，，．(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形面积；(2)在x坐标轴上是否存在点P；连接、使？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·河南信阳·七年级期中）如图，，点B在x轴上，且．(1)求点B的坐标；(2)求的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以三点为项点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·四川广元·七年级期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：(1)在坐标系内描出△ABC的位置；(2)求出△ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·湖北十堰·七年级期末）平面直角坐标系中，已知，，其中，满足：，为最小的正整数．(1)直接写出点、、的坐标；(2)如图1，在轴上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，试说明理由；(3)如图2，为轴正半轴上一点，连接交轴于点，若，求的值．5．（2022·黑龙江·林口县教师进修学校七年级期末）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：＝0．(1)求a，b，c的值．(2)求△ABC的面积．(3)是否存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十一中学七年级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式，．(1)求a、b、c的值：(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·广东·汕头市潮南区阳光实验学校七年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C，连接AC，BD．(1)填空：点C的坐标为________，四边形ACDB的面积为________．(2)若点P是y轴上的动点，连接PD；①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，直接写出点P的坐标．专题14类比归纳专题：平行直角坐标系中图形面积的求法考点一直接利用面积公式求图形的面积考点二利用补形法或分割法求图形的面积考点三与图形面积相关的点的存在性问题考点一直接利用面积公式求图形的面积例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．(1)求三角形AOB的面积；(2)求点C的坐标．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积=6，即可得解．(1)解：过点B作BM垂直于x轴点M．∵，∴BM＝2．∵，∴OA＝2．∴．(2)过点B作BN垂直于y轴点N．，∴．∵点C在y轴的正半轴，∴点C的坐标是．【点睛】本题考查了三角形的面积和点的坐标，熟练掌握坐标和图形的性质是本题的关键．【变式训练】1．（2022·河南洛阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，点为垂足，则的面积为（

）A．6 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据题意作出图形，利用三角形面积公式直接计算即可．【详解】解：如图，∵A（-2,3），过点A作轴，点为垂足，∴AB=3，OB=2，，∴的面积==3，故选：C．【点睛】此题考查了坐标与图形，直角三角形面积计算公式，正确理解题意作出图形辅助做题是解题的关键．2．（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，顺次连接A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3）各点，并求出该图形的面积．【答案】图见解析，4【分析】在平面直角坐标系中描绘出格点并连接，根据各个点的坐标跟别计算出AB的长度和三角形的高CD，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．【详解】如图：过点C作CD⊥AB，垂足为点D；∵A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴AB=1-（-1）=2，CD=2-（-2）=4，∴【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、已知点的坐标求线段的长度和图形的面积，熟练地掌握平面直角坐标系中点的坐标表示方法和根据点的坐标求线段的长度是解题的关键．3．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知，，．(1)写出点C到x轴的距离______；(2)连接AB、BC、AC，求的面积；(3)点P在y轴上，当的面积是6时，求出点P的坐标．【答案】(1)3(2)15(3)或【分析】（1）根据点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值解答即可；（2）利用面积公式计算即可；（3）设点P的坐标为，根据面积求出b即可．（1）解：∵，∴点C到x轴的距离是3，故答案为：3；（2）如图，，（3）设点P的坐标为，则点P到AB的距离为，∵，∴，解得或，∴点P的坐标为或．【点睛】此题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，利用面积求点坐标，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键．4．（2022·湖北鄂州·七年级期中）已知在平面直角坐标系中有三点，，请回答如下问题：(1)在坐标系内描出点，，的位置；(2)求出以，，三点为顶点的三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)5(3)或【分析】（1）根据题意描出各点，即可求解；（2）根据三角形的面积公式计算，即可求解；（3）分两种情况讨论，即可求解．（1）解：如图所示（2）解：（3）解：设点P（0，m），则，∵点，，∴AB=5，∵以，，三点为顶点的三角形的面积为10，当点P在AB的上方时，，解得：m=5；当点P在AB的上方时，，解得：m=-3；∴点P的坐标为或．【点睛】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．考点二利用补形法或分割法求图形的面积例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．【答案】5【分析】根据割补法可进行求解三角形的面积．【详解】解：由题意画出如下草图：∵A(－1，3)，B(－2，0)，C(2，2)，∴D（2，0），E（－2，3），F（2，3），∴，∴==5．【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握利用割补法求解图形的面积是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河北邯郸·七年级期中）四边形ABCD各顶点的位置如图所示，求四边形ABCD的面积．【答案】15.5【分析】根据图象得出各点的坐标，过D点分别作x轴、y轴的垂线，分别交于点F、点E，利用分割法求每部分的面积相加即可．【详解】解：由图可知，A（0，4），B（-1，0），C（5，0），D（3，3）过D点分别作x轴、y轴的垂线，分别交于点F、点E，S四边形ABCD=S△ABO+S△ADE+S△DCF+S正方形OFDE=×1×4+×3×1+×3×2+3×3=15.5．【点睛】本题主要考查坐标与图形及面积计算，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．2．（2021·安徽芜湖·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）(1)求△ABC的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】(1)4(2)（10，0）或（﹣6，0）【分析】（1）如图所示，S△ABC＝S四边形CDOE﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD，根据三角形面积公式计算即可；（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|，根据三角形面积公式，列出关于x的方程，解出方程即可得出结果．（1）解：过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC＝S四边形CDOE﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×42×41×22×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．【点睛】本题考查直角坐标系，三角形面积计算，方程思想，分类讨论思想，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．3．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）（1）请画出△ABC关于y轴对称(其中、、分别是A、B、C的对应点)；（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标_______，_______，________．（3）求出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）(2，3)，(3，1)，(-1，-2)；（3）．【分析】（1）根据A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2），关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，写出，，，描点，顺次连接各点；（2）根据（1）所得点的坐标，，书写；（3）根据割补法解答，用梯形面积公式和三角形面积公式计算，把一个直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积即得．【详解】（1）∵A（-2，3），B（-3，1），C（1，-2），∴，，，描出各点，顺次连接各点；（2）由（1）知，，，；故答案为：(2，3)，(3，1)，(-1，-2)；（3）．故△ABC的面积为．【点睛】本题主要考查了作图：作轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，梯形面积公式和三角形面积公式，用割补法计算图形的面积．4．（2022·山东临沂·七年级期末）四边形ABCD各个顶点的坐标分别为、、、．(1)确定这个四边形的面积，你是怎么做的？写出简要计算过程．(2)如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，所得的四边形和原四边形ABCD的面积是否发生变化？面积是多少？(3)请用数学原理说出（2）其中的规律？【答案】(1)见解析；(2)所得的四边形和原四边形ABCD的面积不改变，面积是；(3)见解析；【分析】（1）分别作DM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，然后利用S四边形ABCD=S△CBN+S四边形ADCN=S△CBN+S梯形MNCD-S△ADM，进行计算；（2）所得的四边形和原四边形ABCD的面积相等；（3）利用平移进行说明．（1）解：分别作DM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，S四边形ABCD=S△CBN+S四边形ADCN=S△CBN+S梯形MNCD-S△ADM，，；（2）解：所得的四边形和原四边形ABCD的面积不发生变化，其面积是；（3）解：如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标增加2，纵坐标都减少3，相当于把四边形向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的四边形和原四边形ABCD的面积不发生变化．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，能利用点的坐标得到相应的线段长是解题的关键．考点三与图形面积相关的点的存在性问题例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．(1)求此四边形的面积；(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)44(2)（-13，0）或（27，0）【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．（1）解：如图，过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：S=S△AED+S梯形EFCD-S△CFB=×AE×DE+×（CF+DE）×EF-×FC×FB．=×2×7+×（7+5）×7-×2×5=44．故四边形ABCD的面积为44．（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；如图，S△PBC=|7-x|×5=50，解得：x=-13或27，点P坐标为（-13，0），（27，0）．【点睛】此题考查了坐标与图形，四边形的面积，数形结合是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，同时将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接，，．(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形面积；(2)在x坐标轴上是否存在点P；连接、使？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C（0，2）、D（4，2）；见解析；8(2)存在，点P坐标为（7，0）或（－9，0）．【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据即可求解．(1)解：∵将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D，∴C（0，2）、D（4，2）；如图，由平移的性质可知四边形是平行四边形，∴．(2)解：存在点P使．当点P在x轴上时，∵，∴，∵，∴，∵∴点P坐标为（7，0）或（－9，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，坐标与图形变化－平移等，熟记相关性质以及利用分类讨论思想是解题的关键．2．（2022·河南信阳·七年级期中）如图，，点B在x轴上，且．(1)求点B的坐标；(2)求的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以三点为项点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（2，0）或（﹣4，0）(2)6(3)存在，（0，）或（0，﹣）【分析】（1）根据，分点B在点A的右边与点B在点A的左边量种情况讨论即可求解；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解；（3）设点P到x轴的距离为h，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可求解．（1）解：点B在点A的右边时，﹣1＋3＝2，点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；（2）解：∵，∴△ABC的面积＝×3×4＝6；（3）设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝，点P在y轴正半轴时，P（0，），点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点睛】本题考查了坐标与图形，分类讨论是解题的关键．3．（2022·四川广元·七年级期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：(1)在坐标系内描出△ABC的位置；(2)求出△ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)S△ABC＝5；(3)存在，P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）【分析】（1）根据点坐标描出点，顺次连线即可得到△ABC；（2）利用三角形面积公式计算即可；（3）利用三角形的面积得到P点到AB的距离为4，由此得到点P的坐标．（1）解：如图所示为所求；（2）依题意，得AB∥x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，∴S△ABC5×2＝5；（3）存在；∵AB＝5，S△ABP＝10，∴P点到AB的距离为4，又点P在y轴上，∴P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．【点睛】此题考查了直角坐标系中点的坐标特点，根据点坐标确定点，正确掌握直角坐标系中点的坐标特征确定△ABC的位置是解题的关键．4．（2022·湖北十堰·七年级期末）平面直角坐标系中，已知，，其中，满足：，为最小的正整数．(1)直接写出点、、的坐标；(2)如图1，在轴上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，试说明理由；(3)如图2，为轴正半轴上一点，连接交轴于点，若，求的值．【答案】(1)，B(－2，0)，C(1，－2)(2)存在，或(3)【分析】（1）（1）根据非负数的性质求出a，b，再根据最小的正整数求出c，即可求出答案；（2）设出点P坐标，利用，建立方程求解，即可求出答案；（3）连接，，设交y轴于点F，过C作CH⊥轴于H，根据，可得，再由，可得，然后根据，可求出DF，即可求解．（1）解：∵，∴，解得∶，∵为最小的正整数．∴c=1，∴，B（-2，0），C（1，-2）；（2）解：设P（0，y），∵∴，解得：，∴或；（3）解：连接，，设交y轴于点F，过C作CH⊥轴于H，∵，，∴OB=2，HC=2，∴，∴，解得，∴，∵，AB=4-（-2）=6，∴，∴∴∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，绝对值和平方的非负性，利用数形结合思想解答是解题的关键．5．（2022·黑龙江·林口县教师进修学校七年级期末）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：＝0．(1)求a，b，c的值．(2)求△ABC的面积．(3)是否存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a，b，c的值分别为2，3，4(2)△ABC的面积为6(3)存在，点P的坐标为（0，0），（6，12）【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a,b,c的值；（2）由点A、B、C的坐标可得△ABC的面积；（3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍，根据面积列出方程，解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，（2）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4）；∴（3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍，∵，∴，，即，解得或，∴P的坐标为（0,0），（6,12）．【点睛】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四十一中学七年级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式，．(1)求a、b、c的值：(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a＝2，b＝3，c＝4；(2)3﹣m(3)存在，点P（﹣3，）【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）四边形ABOP的面积＝△APO的面积+△AOB的面积，即可解答；（3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答．（1）由已知|a﹣2|+＝0和≤0可得：a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，解得：a＝2，b＝3，c＝4；（2）∵a＝2，b＝3，c＝4，∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），∴OA＝2，OB＝3，∵＝×2×3＝3，＝×2×（﹣m）＝﹣m，∴＝+＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）存在，∵＝×4×3＝6，＝,∴3﹣m＝6，解得m＝﹣3，∴存在点P（﹣