高中数学三角函数的图像与性质

5.4三角函数的图像与性质人教A版2019高中数学必修第一册

5.4三角函数的图像与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图像人教A版2019高中数学必修第一册正弦函数的图像【探究】首先我们研究的图像，从画函数

开始.如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，O与轴正

半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上讲点A绕着点O旋转弧度到点B，根据定义有点B的纵坐标.由此，以为横坐标，为纵坐标化点，即得到函数图像上的点

正弦函数的图像【探究】若把轴上这一段分成12等份，让的值分别为…，

它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按刚才画点

的方法，就可以画出自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.

利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到比较精确的函数的图像.

正弦函数的图像【探究】由诱导公式一可知，每经过

个单位长度，函

数会重复出现，所以只需将内的函数图像不段复制平移即可得到的图像(几何画法).

几何画法的步骤：建系画图12等分圆找横坐标连线得图找纵坐标左右平移

五点画图法【问题】在确定正弦函数的图像形状时，有哪些关键的点？【答】观察图像可知，处于函数连接处和转折处的五个点起关键作用.

在非精确作图时，一般选取这五个点快速画出正弦函数的图像来解决问题.

五点画图法【三种作图法的比较】描点法几何法五点法列表→描点→连线利用单位圆在[0，2π]上取足够多的点连线描最高点最低点,图像和坐标轴的三个交点只能取近似值，误差较大较为精确，但步骤繁琐实用，高效余弦函数的图像【分析】对于函数，由诱导公式，得到

，而函数的图像可以通过正弦

函数的图像向左平移个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图.

余弦函数的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状“波浪起伏”的连续光滑曲线.

【1】画出函数的简图：

【解】如图：

【2】画出函数的简图：

【解】如图：

函数图像的平移和对称变换

【平移】

【对称】

左加右减，上加下减.【例1】画出函数

的简图.【解】

取五个关键点列表：

把的图像向下平移1个单位即可得到的图像

【例2】用五点法分别画出函数和函数在上的图像.【解】

取五个关键点列表：

【例3】思考函数和函数的关系,并画出函数的图像.【解】

把函数图像在轴下方的部分翻折到轴上方，加上原来上方的部分就可以得到函数的图像(蓝色部分)，如图.

【例4】已知函数

（1）作出函数的图像；(2)求方程的解.【解】

(1)当时，

当时，

所以，图像如图所示.

(2)由图像可知方程的解是

三、当堂达标（（课本200页练习1~4题）四、小结1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.五、作业1.课本213习题5.4第1题；2.预习下节课内容。5.4.2正弦函数、余弦函数的性质人教A版2019高中数学必修第一册5.4三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数的性质【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位

长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的

变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自

变量的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.【导学2】正弦函数和余弦函数的定义域和值域是什么？

【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]

正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一

个都有，且.那么函数就叫做

周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函数的周期.

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】①对周期函数与周期定义中的“当取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中

“每一个”的要求.如果只是对某些有，那么T就不是的周期.

②自变量本身加的常数才是最小正周期.如中T不是最小正周

期，因为，所以才是最小正周期.

③周期函数的周期不唯一.若T是函数的最小正周期，则也是

函数的周期.

④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数

所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小

正周期.

正弦函数、余弦函数的性质【例1】求下列函数的周期：

【解】

奇偶性【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线

关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，

只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)

对称.③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.

【2】求下列函数的周期

【注意】本题也可以直接用公式求解：

【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？【解】(1)奇函数

(2)偶函数(3)奇函数(4)奇函数探究与发现

探究与发现

单调性【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如

讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

如图可以看到：当由增大到

时，曲线逐渐上升，的值由1减小到-1.的值变化情况如图所示：

这也就是说，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

单调性正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.

由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：单调性余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.

同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：

最大值与最小值【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：①正弦函数当且仅当时取得最大值1，

当且仅当时取得最小值-1；

②余弦函数当且仅当时取得最大值1，

当且仅当时取得最小值-1；

【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数

【正弦函数和余弦函数的性质对比】例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．（１），

∈R；

，

∈R．（２）例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1);(2)

cos;cos分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，

然后再比较大小．例5.

求函数

，∈［－２π，２π］的单调递增区间．分析：令=当自变量

的值增大时，

的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则在相应的区间上也一定单调递增．三、当堂达标（（课本207页练习1~5题）四、小结1.

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性。

2.

求函数的单调区间：（1）直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间。五、作业1.课本213页习题5.4的2、3、4、5、6、10、11题；2.预习下节课内容。5.4.3正切函数的性质和图象人教A版2019高中数学必修第一册

5.4三角函数的图像与性质如何研究正切函数的性质和图象？【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的

图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，

再从代数的角度对性质作出严格表述.(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究

其图象.【问题】正切函数的定义域是什么？

【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是

如何研究正切函数的性质和图象？【正切函数的性质】【1】周期性：

由诱导公式可知，

正切函数是周期函数，周期是π.

【2】奇偶性：

由诱导公式可知，

正切函数有奇偶性，是奇函数.

表明正切函数的定义域关于原点对称表明正切函数的图象关于原点对称如何研究正切函数的性质和图象？【问】你能证明正切函数的周期性吗？【答】①当k是偶数时，

②当k是奇数时，

综上，有

由周期函数的定义可知，正切函数的周求是是它的最小正周期.

【再问】这有什么用？【再答】可以先研究正切函数在之间的图象和性质，再加以拓展.

如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出函数的图象？【答】如图，设，在坐标系中画出角的终边与单

位圆的交点.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A(1，0)作轴的垂线与角的终边交于点T，则

由此可见，当时，线段AT的长度就是角的正切值，利用线段AT画出函数的图象如图所示.

观察可知，函数图象呈类似于指数型的增长，向右上方无限接近直线如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出正切函数的全部图象？【答】利用奇偶性和对称性，把函数在之间的部分进行复制平移即可.

我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无数个形状相同的曲线组成的

如何研究正切函数的性质和图象？【问】正切函数的图象有怎样的特征？【答】①图象关于原点对称②图象在轴上方的部分下凹；在轴下方的部分上凸.②图象被相互平行的直线隔开，图象无限

接近这些直线，但永不相交。🍌

正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。

或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.正切函数的单调性和值域【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增；

由周期性可知，正切函数在每个区间上都单调递增

【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能

发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括