人教版高中数学精讲精练选择性必修三第6章 计数原理 章末测试（基础）（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第6章计数原理章末测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有.故选:A.2．（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）不等式的解为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得且，化简整理得，解得，又因为，所以.故选：C.3．（2022春·吉林白城·高二校考阶段练习）（，）可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，D正确.故选：D4．（2022秋·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有（

）种A．240 B．288 C．48 D．580【答案】A【解析】第一步：将甲、乙两人捆绑在一起，看作一个元素，与剩下的4名同学进行排列，则有种方法，第二步：甲、乙两人内部可以进行排列，有种方法，所以一共有种方法.故选：A.5．（2022秋·云南）6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（

）A．105种 B．144种 C．150种 D．210种【答案】D【解析】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有种.故选：D6．（2023秋·河北石家庄·高二校联考期末）的展开式中的系数是（

）A． B．840 C．210 D．【答案】B【解析】由题意可得的展开式通项公式为，故展开式的系数为，故选：B7．（2022春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为，所以，解得，故选：D8．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由二项式定理：观察可知的系数为.故选：B.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022春·湖南长沙·高二周南中学校考期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【答案】BD【解析】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有种不同的选法，所以该选项错误：对B，若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确；对C，若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；对D，若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确.故选：BD10．（2023秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知二项式，则下列说法正确的是（）A．若a＝1，则展开式中的常数项为15B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1C．若展开式中的常数项为60，则a＝2D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2【答案】AB【解析】二项式，对于A，若a＝1，则展开式的通项，令，得r＝4，故所求常数项为，故A正确；对于B，若a＝2，令x=1，则展开式中各项系数之和为，故B正确；对于C，由通项，令，得r＝4，故所求常数项为，解得，故C错误；对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为，由已知得，，解得a＝﹣1或a＝3，故D错误.故选：AB．11．（2022秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期中）将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（

）A．共有18种安排方法B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法【答案】BD【解析】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误；对于：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确；对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误；对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；所以一共有安排方法为正确.故选：.12．（2022春·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（

）A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法【答案】AC【解析】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有种，所以B不正确；对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，故选：AC.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有___________种．【答案】48【解析】先对区域涂色，共有4种不同的涂法，再对区域涂色，共有3种不同的涂法，再对区域涂色，共有2种不同的涂法，最后对区域涂色，共有2种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，则不同的涂法共有种，故答案为：48.14．（2023·高二课时练习）若，则的值为______．【答案】190【解析】因为即，化简得，因为为大于等于10的整数，所以，所以故答案为：19015．（2022·高二课时练习）二项式的展开式的常数项为________．【答案】60【解析】根据二项展开式的通项，令，，则，故常数项为60.故答案为：60.16．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）若，则__________.（用数字作答）【答案】【解析】令，则有，令，则有，所以.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知：.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)-1【解析】(1)由原式得：，∵，，∴；(2)方法一：由（1）知，，所以，方法二：由（1）知，，所以，从而所以.18．（2023·高二课时练习）（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？【答案】（1）100

（2）180

（3）180

（4）48

（5）120【解析】（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成100个无重复数字的三位数；（2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个三位数；（3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数；（4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数；（5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有种，所以，可以组成个六位数.19．（2022春·吉林长春·高二校考期末）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．问题：已知二项式，若_____填写条件前的序号，(1)求展开式中含项的系数；(2)求展开式中二项式系数最大的项．【答案】(1)条件①②：135(2)【解析】（1）若选填条件，则由已知可得，解得，若选填条件，则由已知可得，整理得，解之得，或（舍）所以二项式为，则二项式通项，（，，，，）当时，，故展开式中含项的系数是，（2）由（1）得，展开式共项，二项式系数最大的项为．20．（2023·高二课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．21．（2022秋·江西·高二统考阶段练习）已知二项式

的展开式中，.给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.(1)求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；(2)求的展开式中的常数项.【答案】(1)，二项式系数最大的项为或(2)【解析】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；该两种组合都会得到，所以，解得；所以二项式系数最大的项为或