数列新定义解答题专项训练（解析版）

数列新定义解答题专项训练数列新定义解答题专项训练1．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【详解】（1）因为，则，从而有，由，则，则，解得则有，所以；（2）由，则，所以，故（非零常数），且，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（3）由等比数列的前n项和公式得：，因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，x∈0,+∞，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，又，且，，，则，当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；综上可知，.2．（2024·广东梅州·二模）已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为an的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为关于单调递增，所以，，于是，的前项和．（2）由题意可知，，所以，因此，即是单调递增数列，且，由“生成数列”的定义可得．（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．当是一个常数列，则其公差必等于0，，则，因此是常数列，也即为等差数列；当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，所以要么，要么，又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，记，则当时，有，于是当时，，故当时，，…，因此存在正整数，当时，，…是等差数列．综上，命题得证．3．（2024·广东广州·模拟预测）若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”.(1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求；(2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和；(3)设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)1【详解】（1）由题意有，，，，则，，，，，，，，，，…一般有，，,所以.（2）数列bn是首项为1的等比数列，设其公比为，又bn为数列，，，当时，，，.有，又，，，于是得，解得，有或，当时，，，bn为数列，当时，，，bn为数列，当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得，于是得，，，bn为数列，所以①当，，是大于1的任意正整数，则，；②当，，，则，.（3）依题意，，，，数列为“数列”，则，，，，，，，，，，，…，，，，是公差为1的等差数列，且,所以且,所以数列是以首项为9，公比为2的等比数列，所以,即,即,所以所以，即，化简得，代入，等式成立.因为当时，，所以当，方程无解，综上所述，满足成立的值为1.4．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”.(1)若，且，写出所有可能的的值；(2)若，证明：“”是“”的充要条件；(3)若，证明：或.【答案】(1)；；(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）依题意，若，此时；若，此时；若，此时.（2）必要性：因为，故数列为等差数列，所以，公差为-1，所以；充分性：由于，累加可得，，即，因为，故上述不等式的每个等号都取到，所以，所以，综上所述，“”是“”的充要条件.（3）令，依题意，，因为，所以，因为，所以为偶数，所以为偶数；所以要使，必须使为偶数，即4整除，亦即或，当时，比如或，时，有；当时，比如或，时，有；当或时，不能被4整除，.5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，其中且，，若对任意的，都有，则称集合A具有性质．(1)集合具有性质，求m的最小值；(2)已知A具有性质，求证：；(3)已知A具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由．【答案】(1)20(2)证明见解析(3)8，理由见解析【详解】（1）不妨设，①当时，由，不满足题意；②当时，由性质定义知：，且，所以m的最小值为20；经检验符合题意.（2）由题设，，且，所以，，所以，得证.（3）由（2）知：，同（2）证明得且．故，又，所以在上恒成立，当，取，则，解得，矛盾；当，则，即.经计算集合，综上，集合A中元素个数的最大值为8．6．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)，，矩阵，求使的的最小值.(2)，，，矩阵求.(3)矩阵，证明：，，.【答案】(1)10(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意得.若，则，即.因式分解得.因为，所以.所以使的的最小值是10.（2）由题得第1对角线上的平方和为，第2对角线上的平方和为，第对角线上的平方和为，第对角线上的平方和为，所以所以.（3）由题意知，证明等价于证明，注意到左侧求和式，将右侧含有的表达式表示为求和式有故只需证成立，即证成立，令，则需证成立，记，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.7．（2024·广东茂名·二模）有无穷多个首项均为1的等差数列，记第个等差数列的第项为，公差为.(1)若，求的值；(2)若为给定的值，且对任意有，证明：存在实数，满足，；(3)若为等比数列，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题意得，又，所以；（2）证明：因为，所以，即，所以，因此，所以，又，即，因此，所以存在实数，满足；（3）证明：因为为等比数列，所以，其中为的公比，于是，当时，，因为，因此，又，所以，因此，即，所以.8．（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）．(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：；(3)记，求证：．【答案】(1)或（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）（1）当时，正整数的4个正约数构成等比数列，如1，2，4，8为8的所有正约数，即；或1，3，9，27为27的所有正约数，即；或1，5，25，125为125的所有正约数，即；（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）（2）由题意可知，，，且，因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为，则，所以，化简得：，所以，又因为，所以，所以公比，所以，又因为，，所以，又因为，所以；（3）由题意知，，，，，所以，因为，，，所以，因为，，所以所以，即．9．（2024·广东广州·模拟预测）若集合的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.(1)求的值；(2)若是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；(3)求的值.【答案】(1)11(2)证明见解析(3)6【详解】（1）的全部非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11个.所以.（2）将的元素从小到大排列，即，，其中.首先对任意的，若和奇偶性相同，则，所以，而，集合中和中间没有项，故产生矛盾!即对任意的，和奇偶性相反，则对任意的，和奇偶性必相同，于是由题意，因，则，而且，所以.即对任意的，，即.由的任意性知，是一个等差数列.（3）记.首先证明中包含1的好子集个数为.的好子集分为两类：包含1的和不包含1的.因为中不包含1的好子集每个元素均减去1即为的好子集，的每个好子集每个元素均加上1即为的好子集，所以的不包含1的好子集与的好子集一一对应，其个数为.故包含1的好子集个数为.同理可证：中包含1的好子集个数为，这也恰是中包含1但不包含的好子集个数.于是中包含1且包含的好子集的个数为故题目所求的为的包含1，2024的所有好子集的个数.显然，是好子集.若好子集中除了1，2024外至少还有一个元素，则由（2）可知，中元素从小到大排列可以构成一个等差数列，设为.设公差为，因为，而，所以为的小于的正约数，故.而每一个都唯一对应一个的包含1，2024的好子集，这样的子集有5个.因此.10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．(1)若，写出，及的值；(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合，，求证：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）因为，所以，，由得，，所以，由得，，所以；（2）由题可知，所以，即，若，则，，所以，，与bn是等差数列矛盾，所以，设，因为an是各项均为正整数的递增数列，所以，假设存在使得，设，由得，由得，，与bn是等差数列矛盾，所以对任意都有，所以数列an是等