人教版七年级数学上册 5.3实际问题与一元一次方程（第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件）

5.3实际问题与一元一次方程第五章一元一次方程逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2配套问题工程问题销售问题积分问题方案选择问题知识点配套问题知1－讲11.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.2.生产配套问题中的基本数量关系若m

件甲产品与n

件乙产品配套，则有甲产品的数量∶乙产品的数量=m:n，转化为乘积形式为甲产品的数量×n=乙产品的数量×m.•••••••外项之积=内项之积知1－讲3.调配问题中的基本相等关系调配问题一般把调配的结果作为相等关系列方程，需要注意的是，如果在两个量之间调配，那么这两个量都要发生变化，如：甲量增加的同时，乙量减少相同数量.知1－讲4.列一元一次方程解决实际问题的图示知1－讲特别解读1.列方程解应用题的一般步骤：设→列→解→检→答.2.配套问题中的关键词语“刚好”与“最多”要认真区别.知1－讲特别解读设未知数的方法有直接设未知数法、间接设未知数法、设辅助未知数法.列方程的本质就是“用两个不同的代数式表示出同一个数量”,所以分析问题时,要多思考题中某个数量能不能用两种方法来表示.知1－练例1某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，2个螺栓要配3个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？解题秘方：解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系，利用配套规则列方程求解.知1－练解：设应安排x

名工人生产螺栓，则有(28－

x)名工人生产螺帽.根据题意，得3×12x=2×18×(28－x).解得x=14，所以28－x=14.答：应安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套.知1－练1-1.某服装厂生产一种运动服，已知每3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用800m长的布料生产服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套运动服？知1－练学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？例2解题秘方：此类问题多用列表法找相等关系.设应调往甲处x

人，根据题干信息列表如下：原有人数增加人数现有人数甲处23

x

23＋x乙处1720－x17＋(20－x)

知1－练2-1.为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，国际象棋社团原有学生64人，羽毛球社团原有学生56人，在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半，问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？知1－练解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．根据题意，得2(64－x)＝56＋x，解得x＝24.答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．知2－讲知识点工程问题2

知2－讲2.工程问题中的基本数量关系：方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，那么就设另一个量，从第三个量找相等关系列方程.知2－讲特别解读1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1.2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和；合作的效率=各部分单独做的效率和；工作总量=人均效率×时间×人数.知2－练某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为1200m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天.已知甲队每天整治24m，乙队每天整治16m，求甲、乙两队分别整治河道多少米.例3解题秘方：在工程问题中，工作量、工作效率、工作时间这三个量中已知一个量，设另一个量，用第三个量列方程.知2－练

知2－练3-1.某地决定修建一条高速公路，其中一段长为146m的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26m，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2m，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需要联合工作多少天？知2－练知2－练

例4解题秘方：将总工作量看作整体1，等量关系为各部分的工作量之和等于总工作量1.知2－练(1)乙工程队单独完成需要多少天？

知2－练(2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完这条公路，求甲、乙还需合作几天才能修完这条公路.

知2－练4-1.整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由2人先做4h，然后增加一些人与他们一起做8h完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，应增加多少人？知3－讲知识点销售问题3

知3－讲知识储备1.在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几.2.利润的两种计算方式是常用到的相等关系：售价－进价=进价×利润率.知3－练某药店将一盒进价为100元的口罩提价60%后标价，销售时按标价打折销售，最终获利20%，这盒口罩销售时打几折？例5解题秘方：根据“利润=售价－进价”列出方程即可求解.知3－练

知3－练5-1.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元.问：知3－练(1)每件服装的标价、成本各是多少元？解：设每件服装的成本是x元，则标价是2(x－20)元．根据题意，得0.8×2(x－20)－x＝40，解得x＝120，则2(x－20)＝200.答：每件服装的标价是200元，成本是120元．知3－练(2)为保证不亏本，最多能打几折？解：120÷200＝0.6.答：为保证不亏本，最多能打六折．知3－练

[中考·泰州]某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？例6解题秘方：根据计算销售总额的两种方式列出方程.解：设每件衬衫降价x

元，根据题意，得120×400＋(500－400)×(120－x)=500×80×(1＋45%)，解得x=20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．知3－练6-1.[中考·陕西]一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价．解：设这种服装每件的标价是x元．由题意得10×0.8x＝11(x－30)，解得x＝110.答：这种服装每件的标价为110元．知3－练某商店将两个进价不同的豆浆机都卖了378元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，那么这家商店卖出这两个豆浆机是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？例7解题秘方：根据进价高于售价则亏损，进价低于售价则盈利，进价等于售价则不盈不亏进行判断.知3－练解：设盈利20%的豆浆机的进价为x

元.由题意得(1＋20%)x=378，解得x=315.设亏损20%的豆浆机的进价为y

元.由题意得(1－20%)y=378，解得y=472.5.所以这两个豆浆机的进价和是315＋472.5=787.5(元).因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以这家商店卖出这两个豆浆机是亏损的，亏损31.5元.知3－练教你一招：(1)要判断盈亏，需计算实际售价与进价的差,若差为正数,则盈利；若差为负数,则亏损.(2)利润问题中有些数量关系比较隐蔽,在掌握其基本等量关系的基础上,要深层挖掘题目中能反映问题总体意义的等量关系,据此列出方程.知3－练7-1.某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏35元，而按标价的八折出售将赚55元，照这样计算，若按标价的六折出售则(

)A.亏5元 B.亏30元C.赚5元 D.赚30元A知3－练7-2.某商店在商品促销期间把一种商品按进价加20%作为定价，按定价的1.5倍标价再打八折出售，最终售出10件，总营业额为720元，则这种商品的盈亏情况为________元.盈利220知4－讲知识点销售问题4在比赛积分问题中，基本相等关系有:参赛场数=胜场数＋负场数＋平场数；比赛总积分=胜场积分＋负场积分＋平场积分.知4－讲特别解读：(1)比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.(2)在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确.知4－讲特别提醒并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则.知4－练下表是某足球联赛第一阶段小组赛(该小组共有四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛)积分表的一部分.例8知4－练排名球队场次胜场平场负场进球数主场进球数客场进球数积分1A6？？11385132B6321835113C63129x5104D60061100备注积分=胜场积分＋

平场积分＋

负场积分解题秘方：根据表格中提供的胜、平、负的场数及对应的积分，分析出胜一场、平一场及负一场的积分.知4－练知4－练(1)表格中C

队的主场进球数x

的值为______，本次小组赛胜一场积_____分，平一场积

_____分，负一场积_____分；4310知4－练(2)该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1200万元.另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元.请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A

队一共能获得多少万元奖金.知4－练解：设A

队胜a

场，则平(6－a－1)场，根据题意，得3a＋(6－a－1)=13，解得a=4.则6－a－1=1.1200＋150×4＋50×1=1850(万元).答：在第一阶段小组赛结束后，A

队一共能获得1850万奖金.知4－练8-1.[期末·保定定州市]某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分．下表记录的是其中3名参赛者的得分情况．参赛者答对题数得分A50100分B4894分C3761分知4－练(1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题扣_____分.(2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数.2解：设该参赛者答对的题数为x.由题意得2x－(50－x)＝73，解得x＝41.答：该参赛者答对的题数为41.1知4－练(3)参赛者的得分可能是90分吗？

请说明理由.知5－讲知识点方案选择问题5做一件事情有多种方案可供选择，选择最优方案的基本步骤为：1.根据题中的数量关系设出未知数；2.用含有未知数的式子表示出各种方案的费用；3.根据题目要求列方程求解.知5－练某班准备买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,经洽谈后,甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副,乒乓球x(x

不小于5)盒.例9解题秘方：根据总价=单价×数量以及两家商店的优惠方案表示出各自费用是解题关键.知5－练(1)请用含x

的式子分别表示到两家商店购买乒乓球和乒乓球拍所需的费用.解：到甲商店购买所需的费用为30×5＋(x－5)×5=(125＋5x)(元).到乙商店购买所需的费用为30×5×0.9＋5x×0.9=(135＋4.5x)(元).知5－练(2)当x

为何值时,到两家商店花费一样多？解：由题意,得125＋5x=135＋4.5x,解得x=20，即当x=20时,到两家商店花费一样多.知5－练(3)若该班需乒乓球40盒,请你设计出最省钱的购买方案.解：①当选择甲商店时，花费为5×40＋125=325(元)；②当选择乙商店时，花费为4.5×40＋135=315(元)；③当在甲商店购买5副乒乓球拍，在乙商店购买35盒乒乓球时，花费为30×5＋35×5×0.9=307.5(元).因为325>315>307.5，所以在甲商店购买5副乒乓球拍，在乙商店购买35盒乒乓球最省钱.知5－练9-1.某商场为了庆祝开业，推出了两种购物优惠方案:方案一,非会员购买所有商品可获得九五折优惠;方案二,若缴纳300元会费成为该商场会员,则所有商品可获九折优惠.知5－练(1)若某商品价格为x元,则按照方案一购买该商品,需支付的金额为________;按照方案二购买该商品,需支付的金额为____________

.(分别用含有x的式子表示)0.95x元(0.9x＋300)元知5－练(2)若某人计划在该商场购买价格为5880元的电视机一台,请你帮他分析选择哪种方案更省钱.解：方案一：0.95×5880＝5586(元)；方案二：0.9×5880＋300＝5592(元)．因为5586<5592，所以选择方案一更省钱．知5－练(3)在(1)的条件下，请通过计算说明哪种情况下,用两种方案购买商品的支付金额相同.解：由题意得0.95x

＝0.9x＋300，解得x＝6000.所以当商品价格为6000元时，两种方案的支付金额相同．实际问题与一元一次方程实际问题配套工程销售积分方案选择建立一元一次方程模型解决要用总长为20m的篱笆靠墙(墙足够长)围一个长方形的鸡舍，除墙这一边外，其他三边(除门外)都用篱笆围成，且长方形的长是宽的2倍，并要求留2m宽的门，求鸡舍的长和宽.题型图形设计方案1例10思路引导：解：设鸡舍的宽为xm，则长为2xm.如图5.3-1，当鸡舍的长边靠墙时，根据题意，得2x＋x＋x－2=20，解得x=5.5，则2x=11.此时鸡舍的长为11m，宽为5.5m.如图5.3-2，当鸡舍的短边靠墙时，根据题意，得2x＋2x＋x－2=20，解得x=4.4，则2x=8.8.此时鸡舍的长为8.8m，宽为4.4m.答：鸡舍的长为11m，宽为5.5m或长为8.8m，宽为4.4m.方法点拨利用一元一次方程解决几何图形问题时，几何图形的周长和面积公式是常用的相等关系.利用篱笆围鸡舍，关键是要找出篱笆长与长方形的长和宽之间的关系，注意靠墙的边不用篱笆.[新考法分类讨论法]

随着社会的发展，出行方式逐渐多样化，某地区打车有三种方式，收费标准如下(假设打车的平均车速为30km/h)：题型付款方案2例11网约出租车网约经济车网约商务车3km以内：12元1.5元/km2元/km超过3km的部分(含3km)：2.4元/km0.5元/min0.6元/min如：乘车6km，耗时12min时，网约出租车的收费为12＋2.4×(6－3)=19.2(元)；网约经济车的收费为6×1.5＋12×0.5=15(元)；网约商务车的收费为6×2＋12×0.6=19.2(元)．请据此信息解决问题：(1)李校长打车从科技园去生态园，若乘坐网约经济车比乘坐网约出租车节省2元，则从科技园去生态园的路程为多少千米？思路引导：

(2)网约商务车和网约经济车为了竞争客户，分别推出了优惠方案：网约经济车对于乘车路程在5km以上(含5km)的客户每次收费立减6元；网约商务车打车车费一律按七五折优惠，你认为采用哪一种打车方式合算？思路引导：

方法点拨解决付款方案设计问题的方法：1.理清付款方式的种类及各自的计算方法，2.列式分别表示出不同的付款方式；3.根据付款金额相同(或购买商品数量相同)列方程求解；4.根据方程的解作比较定决策.在某市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天.若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成.题型工程承包方案3例12(1)甲、乙两队合作了多少天？思路引导:甲队20天的工作量＋甲、乙合作的工作量=总工作量

(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？思路引导:(甲队工作效率＋乙队工作效率)×工作时间=工作总量

解题通法解决工程类问题中的方案设计的方法：1.弄清有几个施工队.2.弄清施工队施工的方式.3.列方程求出施工队各施工方式的工作时间.4.根据工作时间确定工程款,然后作比较定决策.方法点拨解工程问题的两大关键要素：1.将工作量看作单位1时，工作效率是工作时间的倒数；2.一项工程分几次完工时，几次的工作量之和等于工作总量.易错点列方程时忽视分类而出错[中考·绍兴]有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元.小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是________元.例13100或85错解：设所购商品的标价是x元，

则x－20＋x=150，

解得x=85.故所购商品的标价是85元.正解：设所购商品的标价是x

元，则①

所购商品的标价小于90元，x－20＋x=150，

解得x=85；②所购商品的标价大于90元，x－20＋x－30=150，解得x=100.故所购商品的标价是100元或85元.诊误区：由于A,B两种券优惠时有价格的限制，所以对标价应该分类，不能只考虑都优惠，还应该考虑一种优惠而另一种不优惠的情况.考法利用一元一次方程解决利润问题1

[中考·牡丹江]某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．试题评析：本题考查了一元一次方程在利润问题中的应用，解题的关键是根据利润问题中的相等关系列出方程.解：解：设该商品的标价为每件x

元，由题意得80%x－10=2，解得x=15．故该商品的标价为每件15元．15例14考法利用一元一次方程解决年龄问题2[中考·荆门]已知派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄比派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，派派的年龄为_____岁.12例15试题评析：本题主要考查了一元一次方程在年龄问题中的应用，解决本题的关键是根据年龄之间的相等关系列出方程.解：设今年派派的年龄为x

岁，

则派派的妈妈的年龄是(36－x)岁，由题意得(36－x)＋5=4(x＋5)＋1，解得x=4，所以今年派派的妈妈的年龄是36－4=32(岁).当派派的妈妈40岁时，

派派的年龄为4＋(40－32)=12(岁).考法利用一元一次方程解决增长率问题3[中考·威海]某农场去年计划生产玉米和小麦共200t，采用新技术后，实际产量为225t，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？例16试题评析：本题主要考查的是一元一次方程在增长率问题中的应用，利用增长率及相应量之间的关系解题的关键.解：

设去年计划生产玉米xt，

则计划生产小麦(200－x)t.根据题意，得(1＋5%)x

＋(1＋15%)(200－x)=225.解得x=50.则200－x=150.50×(1＋5%)=52.5(t)，150×(1＋15%)=172.5(t).答：该农场去年实际生产玉米52.5t，小麦172.5t.[情境题游戏活动型中考·河北]某磁性飞镖游戏的靶盘如图5.3-3．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．例17考法利用一元一次方程解决积分问题4投中位置A区B区脱靶一次计分(分)31－2试题评析：本题考查利用一元一次方程解决积分问题，理解积分规则是解题关键.(1)求珍珍第一局的得分；解：4×3＋2×1＋4×(－2)＝6(分).答：珍珍第一局的得分为6分.(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k

的值．解：由题意可得3k＋3×1＋(10－k－3)×(－2)＝6＋13，解得k

＝6．故k

的值为6．

D2.[中考·毕节]由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为()A.230元

B.250元C.270元D.300元D3.为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1)班举行了一次安全知识竞赛，一共20道题，记分规则如下：每答对一道得5分，每答错或不答一道扣1分．小红一共得了70分，则小红答对的道数为()A.14B.15C.16D.17B4.[新考法数形结合法中考·乐山]如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，

既不重叠，

又无缝隙，就称它为“优美长方形”.如图，“优美长方形”ABCD

的周长为26，则正方形d

的边长为______.5

••••

7.[新考向知识情境化]试根据图中的信息，解答下列问题：(1)购买6根跳绳需_____元，购买12根跳绳需_____元.150240(2)小刚比小明多买2根，付款时小刚反而比小明少付5元.你认为有这种可能吗？若有，请求出小刚购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.解：有这种可能．设小刚购买跳绳x根，则25×80%x＝25(x－2)－5，解得x＝11.答：小刚购买跳绳11根．8.[期末·武汉东西湖区]为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下(注：水费一个月结算一次)：价目表每月用水量单价/(元/m3)不超出26m3的部分3超出26m3

不超出34m3的部分4超出34m3的部分7请根据价目表的内容解答下列问题：(1)填空：①若某户居民1月份用水20m3，则应缴水费______元；②若某户居民2月份用水34m3，则应缴水费______元；③若某户居民3月份交水费138元，则其用水量为______m3

.6011038(2)某户居民4月份用水量为am3(其中a

＞34)，求该户居民应缴水费多少元(用含a

的式子表示).解：由题意得110＋7(a－34)＝7a－128(元)．答：该户居民应缴水费(7a－128)元．(3)某户居民5月份的平均水价为3.8元/m3，求该户居民5月份用水量是多少立方米.解：设该户居民5月份用水量是ym3.因为3.8×34＝129.2(元)＞110元，所以y＞34.所以7y－128＝3.8y，解得y＝40.答：该户居民5月份用水量是40m3.9.某超市为尽快清仓决定对某商品调价促销，设该商品原标价为m

元(m>0).(1)若将该商品先提价20%，再降价20%，则最终价格相对于原标价是增长了还是降低了？解：由题意得，先提价20%，再降价20%的最终价格为(1＋20%)m·(1－20%)＝0.96m(元)，由于m＞0，所以0.96m＜m，所以最终价格相对于原标价是降低了．9.[期末·成都金牛区]某工厂现有30m3

木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子，如果1m3

木料可制作40个方桌或制作80个凳子，A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B