人教版七年级数学上册 2. 2 有理数的乘法与除法（第二章 有理数的运算 自学、复习、上课课件）

2.2有理数的乘法与除法第二章有理数的运算2.2.1有理数的乘法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数的乘法法则倒数乘法运算律多个有理数相乘知识点有理数的乘法法则知1－讲11.有理数的乘法法则(1)

两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.(2)任何数与0相乘，都得0.知1－讲2.有理数乘法的符号法则a与b

乘积的符号a

与b

的符号正同号，即a>0，b>0或a<0，b<0负同号，即a>0，b>0或a<0，b<00至少一个为0，即a=0或b=0知1－讲特别解读1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆.2.有理数乘法的运算步骤：(1)确定积的符号；(2)确定积的绝对值.3.两个有理数相乘的积还是有理数.知1－练例1

解题秘方：两个数相乘，根据乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘即可.知1－练

任何数与－1相乘都等于它的相反数知1－练1-1.[期中·威海环翠区]在2，－4，－3，5中，任选两个数相乘，积最小的是(

)A.(－4)×(－3)B.(－3)×5C.(－4)×5D.2×(－4)C知1－练

知1－练根据下列条件，判断a，b

的正负性：(1)a＋b

＜0，ab

＞0；(2)a－b

＜0，ab＜0.例2解题秘方：先根据两个数积的符号判断出两个数是同号还是异号，再根据两个数和(差)的符号判断两个数的正负性.知1－练解：(1)因为ab>0，所以a，b

同号.又因为a＋b<0，所以a，b

同为负.(2)因为ab<0，所以a，b异号.又因为a－b<0，所以a<b.所以a

为负，b为正.知1－练方法点拨：

当逆用法则时，注意结果的多样性，从和或积的符号分析加数或乘数的符号情况不止一种，但两者结合起来分析结果更准确.知1－练2-1.[期中·新乡卫辉市]已知有理数x，y

满足x＋y<0，xy<0，x<y，则有()A.x<0，y>0，x

的绝对值较大B.x>0，y<0，y

的绝对值较大C.x>0，y<0，x

的绝对值较大D.x<0，y>0，y

的绝对值较大A知2－讲知识点倒数21.定义乘积是1的两个数互为倒数.特别解读1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键.2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数.3.取倒数不改变原数的正负性.4.0无倒数，倒数等于它本身的数是±1.知2－讲2.倒数与相反数之间的关系不同点相同点定义表示性质判定倒数乘积是1的两个数互为倒数若a

，b

互为倒数，则a·b=1若a·b=1，则a，b

互为倒数都成对出现相反数只有符号不同的两个数叫作互为相反数a

的相反数是－a若a，b

互为相反数，则a＋b=0若a＋b=0，则a，b

互为相反数知2－练

例3解题秘方：利用倒数的定义确定各数的倒数.知2－练

知2－练方法点拨：求一个数的倒数的方法类型倒数非零整数a小数转化为分数，按求分数倒数的方法进行带分数转化为假分数，按求分数倒数的方法进行知2－练

D知2－练3-2.下列说法错误的是()A.任何有理数都有倒数B.互为倒数的两个数的乘积为1C.互为倒数的两个数的符号相同D.倒数等于本身的数是±1A知3－讲知识点乘法运算律3运算律文字表示用字母表示乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，积不变ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变(ab)c=a(bc)分配律一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b＋c)=ab＋ac知3－讲特别提醒1.交换乘数位置时，要连同乘数性质符号一起交换.2.乘法交换律和结合律可以推广到多个数相乘.3.分配律也可以推广到：a(b＋c＋…＋m)=ab

＋ac

＋…

＋am

，应用时不要漏乘括号内的任何加数和弄错符号，并且可以逆用以简化运算.知3－练

例4解题秘方：运用乘法交换律和结合律，分别将互为倒数和可约分的乘数相结合，以简化运算.

知3－练

知3－练

解题秘方：运用乘法交换律和结合律，将乘积为整数的乘数相结合，以简化运算.

例5知3－练

知3－练

例6解题秘方：形如k(a＋b＋c)的算式，若a，b，c

是分数，k

可以和a，b，c

的分母约分得到整数时，用分配律计算可以简化运算.知3－练

警示误区：用分配律展开算式，相乘时括号内的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号内的任何一项.知3－练

知4－讲知识点多个有理数相乘41.几个不为0的数相乘的法则积的符号由负的乘数的个数决定：当负的乘数的个数是偶数时，积是正数；当负的乘数的个数是奇数时，积是负数.确定积的符号后，再把这几个有理数的绝对值相乘.•••••••••••••••••••知4－讲2.有乘数为0的几个数相乘的法则几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0.同样，若积为0，则至少有一个乘数为0.••••••••知4－讲特别解读知4－练

解题秘方：利用多个有理数相乘的法则，先确定积的符号，再计算绝对值的乘积.例7知4－练解：(1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)=5×4×2×2=80；知4－练

当遇到带分数时，要化为假分数，以便于约分.分数与小数相乘时，一般统一成分数计算知4－练

知4－练

解：原式＝－2×15×18＝－540；知4－练

原式＝0.有理数的乘法两个有理数相乘法则乘法运算律多个有理数相乘符号绝对值互为倒数积为1方法正向运用运算律计算1

例8思路引导：

特别提醒运用乘法运算律时的两点注意：1.乘法运算中经常把两个互为倒数或积为整十、整百的数先结合在一起.2.运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个乘数先进行计算；运用乘法分配律可以打破“先算括号里面”的计算习惯，大大简化乘法与加法的运算.方法逆向运用运算律计算2

例9

解题通法求几个含有相同乘数的乘式的和时，通常逆用分配律，变化为相同的乘数乘另外几个不同乘数和的形式，以简化运算.方法拆项运用运算律计算3

例10思路引导:将其中一个乘数拆分成两个数的和或差，以便运用分配律进行计算.

方法点拨拆项原则：1.接近于整十、整百的带分数拆成整十、整百数与真分数的和或差.2.将整数拆成分数中分母的因数或倍数与另一个数和或差的形式.方法裂项运用运算律计算4

例11思路引导：通过裂项，将分母是两个数相乘的分数转化为两个分数的差，然后运用运算律计算.

易错点运用分配律计算时，易出现漏乘或符号错误

例12

诊误区运用分配律计算时，括号里的每一项都要与括号外的数相乘，并且要注意不要丢掉“－”号.本题易漏乘最后一项－1或忽略“－”号导致出错.考法求一个数的倒数1

例13考法运用有理数乘法法则计算2

例14考法有理数乘法与数轴的综合3

[中考·杭州]已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中－1﹤a﹤0，0﹤b﹤1.若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是图2.2－1中的(

)图2.2－1例15试题评析：本题综合性较强，根据两个乘数判断积的符号的同时，还要估算积的绝对值的大小，对学生的运算能力要求较高.解：因为－1﹤a﹤0，0﹤b﹤1，所以－1﹤a×b﹤0，即－1﹤c﹤0.所以点C应在－1和0之间，则A，C，D不符合题意，B符合题意.答案：B

D

A3.如图，数轴上有①②③④四个部分，已知c﹥0，abc﹤0，则原点所在的部分是(

)

A.① B.② C.③ D.④B4.有四个各不相等的整数a，b，c，d，且abcd＝9，则这四个数的和是(

)A.0 B.4 C.3 D.9A5.新视角新定义型题中考·宜宾如果一个数等于它的全部真因数(含1，不含它本身)的和，那么这个数称为完美数.例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1＋2＋3，则称6为完美数，下列数中为完美数的是(

)A.8 B.18 C.28 D.32C6.若m，n互为倒数，则|mn－3|＝_______.7.绝对值小于3的所有整数的积是_______.20

原式＝2×3×4×1＝24；

原式＝0.

10.小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序.

(1)若输入的数是－4，则执行了程序后，输出的数是多少？(2)若输入的数是2，则执行了程序后，输出的数是多少？解：(1)输入－4，得(－4－8)×9＝－12×9＝－108.|－108|＞100.故输出的数是－108.(2)输入2，得(2－8)×9＝－6×9＝－54.因为|－54|＜100，所以再把－54代入程序，得(－54－8)×9＝－62×9＝－558.|－558|＞100.故输出的数是－558.

(2)7☆(－7)与－7☆7的值相等吗？请说明理由.

2.2有理数的乘法与除法第二章有理数的运算2.2.2有理数的除法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数的除法法则分数的化简有理数的乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算知识点有理数的除法法则知1－讲1

•••••知1－讲2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.••••••••知1－讲特别提醒1.除法法则一——两变：一变，将除号变乘号；二变，将除数变成它的倒数.2.除法法则二——应用步骤：一定符号；二计算绝对值.

▲▲知1－练例1

解题秘方：灵活选择有理数除法的两个法则进行计算.知1－练

互为相反数的两数(0除外)相除，商为－1，反之亦成立相同两数(0除外)相除商为1，反之亦成立知1－练方法点拨：除法法则的选用原则知1－练

CD知1－练1－3.[期末·临沂河东区]在－1，2，－3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小是______

.－5知2－讲知识点分数的化简21.实质分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程.•••••••••••••知2－讲2.分数的符号法则分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变.知2－讲3.分数化简的结果为最简分数或整数.

知2－练

例2解题秘方：用分数的分子除以分母，最终结果写成最简分数或整数的形式.知2－练

知2－练

解：原式＝－9；原式＝－30.知3－讲知识点有理数的乘除混合运算31.有理数的乘除混合运算顺序按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的.2.有理数的乘除混合运算法则有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算.•••••••••••••••••••••••知3－讲

带分数化为假分数

除法转化为乘法确定积的符号知3－讲活学巧记乘除混合有理数，统一为乘第一步，乘法“三律”能简单，负乘个数定正负.知3－练

例3解题秘方：先将除法转化为乘法，带分数化成假分数，根据负的乘数的个数确定积的符号，再计算.知3－练

知3－练

知3－练

知3－练

B知3－练

知3－练

知4－讲知识点有理数的加减乘除混合运算41.有理数的加减乘除混合运算顺序在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.知4－讲2.计算器的使用不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具体操作方法应参考计算器的使用说明.另外，还要注意以下几点：(1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动.(2)计算开始时，要先按开启键ON；停止使用时，要注意按关闭键OFF.(3)每次运算时，要按一下清除键AC.(4)注意负数的输入方式.知4－讲特别提醒1.进行有理数加减乘除混合运算时，要把加减运算统一成加法运算，乘除运算统一成乘法运算.2.能运用运算律的要运用运算律，运用运算律时注意只有加法和乘法有运算律，而减法和除法没有，必须先统一运算再运用运算律.知4－练

例4解题秘方：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的.知4－练

知4－练

知4－练4-1.某同学按计算器上的键：

，其算式是____________，结果是____________.50.6知4－练

解：原式＝5×(－3)＋3＝－15＋3＝－12；知4－练

解：原式＝－3－(－1－0.5)×2＝－3－(－1.5)×2＝－3＋3＝0；有理数的除法有理数的除法倒数法法则法用计算器计算四则混合运算化简分数题型有理数加减乘除的实际应用题1根据实验测定，高度每增加1km，气温大约降低6℃.某登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息，报告他所在高度的气温为－15℃，如果当时地面的温度为3℃，那么登山运动员所在的位置离地面的高度是多少？例5解题秘方：根据高度与气温变化的关系，可求得登山运动员所在的位置离地面的高度.解：(－15－3)÷(－6)×1＝(－18)÷(－6)×1＝3(km).答：登山运动员所在的位置离地面的高度是3km.方法点拨将实际问题转化为数学问题时，往往需要利用建模思想.在本题已提供计算公式的前提下，注意公式的应用前提和条件，然后正确计算即可.题型与绝对值综合题2

例6思路引导：

方法点拨因为本题中a，b，c中两负一正，所以谁是正数有三种情况，但是由于要计算的式子是对称的，所以不论谁是正数，结果都是相同的，因此采取“不妨设”的方法，避免了分类讨论的麻烦.题型新定义运算题3

例7思路引导：

方法点拨观察新运算法则，找出新运算的规律，把新运算转换成几种已学习过的基本运算，同时要注意运算顺序.题型利用计算器探究规律题4(1)用计算器计算：42÷6＝______，4422÷66＝______，444222÷666＝______.(2)根据(1)中的结果和存在的规律猜测：例8解题秘方：针对计算结果，观察被除数、除数和商中数字的变化规律，然后应用于(2)中解决问题.解：用计算器计算可得42÷6＝7，4422÷66＝67，444222÷666＝667，发现商中前面6的个数比除数中6的个数少1，个位数是7，所以答案：(1)7；67；667(2)方法点拨利用计算器探索规律，先从特殊情况入手，再从特殊的结果中找出规律，猜想出一般情况的结果.易错点误用运算律而出错例9诊误区除法没有分配律，只有将除法转化为乘法才能运用分配律进行简便运算.有些除法直接计算较麻烦，若将被除数和除数交换位置(其结果与正确结果互为倒数)，即可转化为常见的除法模型.考法有理数的除法1

例10试题评析：本题考查了有理数的除法，正确掌握有理数的除法法则是解题关键.解：根据有理数的除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，可知(－21)÷7＝－(21÷7)＝－3.答案：B考法有理数加减乘除混合运算2新视角结论开放题中考·烟台小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的数字只能用一次)，使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图2.2－2所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式______.例11试题评析：本题以开放性试题考查有理数的混合运算，解题关键是正确掌握运算法则和运算顺序，并能准确计算.解：由题意，得5×6－2×3＝30－6＝24.答案：5×6－2×3(答案不唯一)考法利用数轴的信息辨析加减乘除结