6.4.1 正余弦定理（原卷版）（人教A版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二

6.4.1正余弦定理考法一正余弦定理的选择【例1】（2023·高一课时练习）已知△中，(1)若a＝3，，，求c；(2)若a＝8，，，求c；(3)若a＝7，，，求c；(4)若a＝14，，，求∠C．（5）若，，，解此三角形.（6）若，，，解此三角形.【一隅三反】1.（2023·高一课时练习）在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形．2．（2023湖北）在中，，，，求a，c的值．3（2024·上海）在中，已知，，.求、及.4．（2024·上海·高一假期作业）在中，已知，解此三角形.5．（2023甘肃）在中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，，求；(4)已知，，，求．考法二正余弦定理的边角互化【例2】（1）（2023·浙江金华）在中，角所对的边分别为，若，则角。（2）（2023·辽宁）已知中，角的对边分别为，，则角．（3）（2024·北京石景山）在中，，则（4）（2024·北京房山）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则.【一隅三反】1（2023下·贵州黔西）在中，已知，则角A等于2．（2024上·广东汕尾·）在中，角，，所对的边分别是，，，且.求角3（2023·福建厦门·）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，则A的值为4．（2024·四川攀枝花）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则．考法三三角形的面积公式【例3-1】（2023·上海）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为．【例3-2】（2023·北京东城）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则；面积为．【例3-3】（2023·上海闵行）在中，，，，则边上的高为．【一隅三反】1．（2023·福建福州）中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则的面积为.2（2023上·全国）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为．3.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为.考法四判断三角形的形状【例4-1】（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，角的对边分别为，且，则为（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【例4-2】（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【一隅三反】1．（2023·河北）在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（2023下·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3（2023下·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形考法五判断三角形的个数【例5】（2023下·高一课时练习）根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数.(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，.【一隅三反】1．（2023下·高一课时练习）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定4．（2023上·北京顺义）在中，，，，满足条件的（

）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在考法六正余弦定理在几何中的运用【例6-1】（2023·广东珠海）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．【例6-2】（2023·河南）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；(2)证明：．【一隅三反】1．（2023·安徽六安）在中，角所对的边分别为，，，且.(1)求;(2)已知，为边上的一点，若，，求的长.2．（2023·四川绵阳）在平面四边形中.(1)求；(2)若求.3.（2023·江苏南京）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3asinC=4ccosA，.(1)求；(2)如图，点M为边上一点，，，求的面积．考法七距离、高度、角度等测量问题【例7】（2023·全国·高一课堂例题）如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°、距离为10nmile的C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．

【一隅三反】1．（2023·陕西铜川·高二校考期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（

）A． B． C． D．2．（2023下·山东泰安·高一统考期中）湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米3.．（2023下·福建厦门·高一统考期末）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（

）A． B． C． D．4．（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（

）A． B．3 C． D．考法八三角函数性质与正余弦定理综合运用【例8】（2023重庆）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.【一隅三反】1（2023·海南）已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.2（2024广东）在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.单选题1．（2024·北京）在中，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·四川自贡）在中角所对边满足，则（

）A．4 B．5 C．6 D．6或3（2023河南）在中，角，，的对边分别为，，，若的面积等于，则角的大小为（）A． B． C． D．4.（2023北京）在中，角，，的对边分别为，，，若，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5.（2023宁夏）在△ABC中，若，则B＝（）A． B． C．或 D．或6（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（

）A． B．C． D．7．（2023上·福建·高二校联考开学考试）分别为内角的对边．已知，则的值不可能为（

）A． B． C． D．8.．（2023·重庆）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向多选题9．（2024上·云南曲靖）在中，，这个三角形的周长可能等于（

）A． B． C． D．10．（2024上·辽宁大连）在中，角的对边分别是，若，，则（

）A． B．C． D．的面积为11．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．12．（2023·全国·高一专题练习）对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（

）A．若，则一定为等腰三角形B．若，则一定为等腰三角形C．若，则D．若，则一定为锐角三角形填空题13．（2023上·云南昆明）在中，若，，则14．（2022·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是.15．（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）在中，的对边分别为，若，则；的范围.16．（2024·陕西宝鸡）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且，则.解答题17．（2024上·广东汕尾）在中，角，，所对的边分别是，，，且.(1)求角；(2)若，，求的面积.18．（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，