4.4 数学归纳法（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.4数学归纳法（精讲）考点一等式的证明【例1】（2022·广西河池）用数学归纳法证明：（n为正整数）．【答案】证明见解析【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即，那么当时，．故当时，等式也成立．综上可知等式对任意正整数n都成立．【一隅三反】1．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【答案】证明见解析【解析】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即当n＝k＋1时，等式也成立.由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．【答案】证明见解析【解析】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．则当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即当n＝k＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．3．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.【答案】证明见解析【解析】证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1)＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)＝[2(k＋1)－1](k＋1)，∴当n＝k＋1时，等式成立．由①②知，对一切n∈N*，等式成立．考点二不等式的证明【例2】（2022·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).【答案】证明见解析【解析】(1)当n＝1时，左边右边，即当n＝1时，原不等式成立，(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，即1+++…+≤+k，则当n=k+1时，1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，即当n=k+1时，不等式成立，综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【答案】证明见解析【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，当n＝k＋1时，，所以当n＝k＋1时，不等式成立．综上，原不等式对任意n∈N*都成立．2．（2021·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立.【答案】证明见解析.【解析】当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.3．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析【解析】先证明出，，即，构造函数，当时，则，所以，函数在上单调递增，则，则，即，即，对任意的，当时，.当时，左边，右边，左边右边；假设当时，不等式成立，即.则当时，则.这说明，当时，原不等式也成立.综上所述，对任意的，.考点三数列的证明【例3】（2022·江西赣州）已知数列满足，前n项和．(1)求，，的值并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．【答案】(1)，，，；(2)证明见解析.【解析】(1)∵，前n项和，∴令，得，∴，令，得，∴．令，得，∴．猜想．(2)用数学归纳法给出证明如下①当时，结论成立；②假设当(，)时，结论成立，即，则当时，，，即，∴，∴，∴当时结论成立．由①②可知，对一切都有成立．【一隅三反】1．（2022·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式．【答案】(1)，，猜测(2)见解析【解析】(1)解：由题意得，时，，得，时，，得，故，猜测；(2)证明：当时，，即猜测成立；假设时，猜测成立，即，则时，由，得，所以时也成立，综上可得，成立．2．（2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①②已知数列的前项和为，且，_______.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)(2)猜想，证明见解析【解析】(1)解：选择条件①，当时，，即，当时，，所以，即，当时，，即，故分别为3，5，7.选择条件②，当时，，当时，.当时，故分别为3，5，7.(2)解：猜想，理由如下：选择条件①时，由题知，，猜想成立，假设时，，则，所以两式相减得：即所以，时成立，综上所述，任意，有．选择条件②时，由题知，，猜想成立，假设时，则所以，时成立，综上所述，任意，有．3．（2022·天津市）已知数列满足.(1)写出，并推测的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)时，，则，时，，则，时，，则，猜想.(2)由（1）得：时，成立．假设时，成立，那么当时，，而，所以，即，故时，也成立．综上，对一切n∈N*，都成立，得证．考点四整除问题【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．【答案】证明见解析.【解析】（1）当时，能被64整除．（2）假设当时，能被64整除，则当时，．故也能被64整除．综合（1）（2）可知当时，能被64整除．【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）求证：能被整除．【答案】证明见解析.【解析】当n=1时，能被整除，假设当,时能被整除，则当时，，其中能被整除，所以能被整除，所以能被整除，即当时，能被整除，所以能被整除.2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．3．（2022·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.【答案】证明见解析【解析】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；（2）假设当时，原不等式成立，即，当时，∵∴．即，所以，当时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点五增项【例5-1】（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D【例5-2】（2022·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项【答案】D【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于，左边,时，左边，比较两式，从而等式左边应添加的式子是，故选：．2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，左端，那么当时

左端，故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，即，故选：．3．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（